同濟六版高數(shù)下教案

第十章重積分【教學(xué)目標與要求】1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。3.掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。4.會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）?！窘虒W(xué)重點】1.二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；2.三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。3.二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點】1.利用極坐標計算二重積分；2.利用球坐標計算三重積分；3.物理應(yīng)用中的引力問題?！?01二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：二重積分的概念及性質(zhì)重點難點：二重積分的概念及性質(zhì)一、引例1曲頂柱體的體積V設(shè)有一立體它的底面是xOy面上的閉區(qū)域D其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面其頂是曲面zf(xy)非負連續(xù)稱為曲頂柱體若立體的頂是平行于xoy面的平面。體積=底面積高現(xiàn)在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積（i）分割：用任意曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域：12n分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線作母線平行于z軸的柱面這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體（ii）代替：在每個i中任取一點(ii)以f(ii)為高而底為i的平頂柱體的體積為f(ii)i(i12n)（iii）近似和：整個曲頂柱體體積V分割得越細,則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得"無限細",則右端近似值會無限接近于精確值V.（iv）取極限： 其中的直徑是指中相距最遠的兩點的距離。則其中2平面薄片的質(zhì)量當平面薄板的質(zhì)量是均勻分布時,質(zhì)量=面密度×面積.若平面薄板的質(zhì)量不是均勻分布的.這時,薄板的質(zhì)量不能用上述公式算,應(yīng)如何算該薄板的質(zhì)量M?設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D它在點(xy)處的面密度為這里非負連續(xù)現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M（i）分割：用任意一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域：12n（ii）代替：把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量(ii)i（iii）近似和：各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值將分割加細取極限得到平面薄片的質(zhì)量（iv）取極限：則兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同：“分割,代替,近似和,取極限”(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:二、二重積分的定義及可積性定義：設(shè)f(xy)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域12n其中i表示第i個小區(qū)域也表示它的面積在每個i上任取一點(ii)作和如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在閉區(qū)域D上的二重積分記作即f(xy)被積函數(shù)f(xy)d被積表達式d面積元素xy積分變量D積分區(qū)域積分和直角坐標系中的面積元素如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域設(shè)矩形閉區(qū)域i的邊長為xi和yi則ixiyi因此在直角坐標系中有時也把面積元素d記作dxdy而把二重積分記作其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素二重積分的幾何意義如果f(xy)0被積函數(shù)f(xy)可解釋為曲頂柱體的在點(xy)處的豎坐標所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積如果f(xy)是負的柱體就在xOy面的下方二重積分的絕對值仍等于柱體的體積但二重積分的值是負的說明：當函數(shù)f(xy)在閉區(qū)域D上連續(xù)時則f(xy)在D上的二重積分必存在。于是我們總假定函數(shù)f(xy)在閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(xy)在D上的二重積分都是存在的。例1.利用二重積分定義計算：，其中。三.二重積分的性質(zhì)設(shè)D為有界閉區(qū)域，以下涉及的積分均存在。性質(zhì)1性質(zhì)2設(shè)k為常數(shù)，則性質(zhì)3，其中(為D的面積)性質(zhì)4設(shè)，且無公共內(nèi)點，則性質(zhì)5.若在D上f(xy)g(xy)則特殊：（1）若在D上，則（2）這是因為性質(zhì)6設(shè)M、m分別是f(xy)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值為D的面積則性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(xy)在閉區(qū)域D上連續(xù)為D的面積則在D上至少存在一點，使例2.比較下列積分的大?。?，，其中小結(jié)1.二重積分的定義：，2.二重積分的性質(zhì)（與定積分性質(zhì)相似）教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意二重積分的定義，性質(zhì)以及應(yīng)用，并且要與定積分的定義、性質(zhì)進行比較，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè)P137:4（1）（3），5（1）（4）§102二重積分的計算法教學(xué)內(nèi)容：二重積分的計算重點難點：區(qū)域類型的劃分、利用極坐標計算一、利用直角坐標計算二重積分X型區(qū)域D1(x)y2(x)axbY型區(qū)域D1(x)y2(x)cyd混合型區(qū)域設(shè)f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}此時二重積分在幾何上表示以曲面zf(xy)為頂以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積對于x0[ab]曲頂柱體在xx0的截面面積為以區(qū)間[1(x0)2(x0)]為底、以曲線zf(x0y)為曲邊的曲邊梯形所以這截面的面積為根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法得曲頂柱體體積為即V可記為類似地如果區(qū)域D為Y型區(qū)域D1(x)y2(x)cyd則有例1計算其中D是由直線y1、x2及yx所圍成的閉區(qū)域解畫出區(qū)域D方法一可把D看成是X型區(qū)域1x21yx于是注積分還可以寫成解法2也可把D看成是Y型區(qū)域1y2yx2于是例2計算其中D是由直線y1、x1及yx所圍成的閉區(qū)域解畫出區(qū)域D可把D看成是X型區(qū)域1x1xy1于是也可D看成是Y型區(qū)域：1y11x<y于是例3計算其中D是由直線yx2及拋物線y2x所圍成的閉區(qū)域解積分區(qū)域可以表示為DD1+D2其中于是積分區(qū)域也可以表示為D1y2y2xy2于是討論積分次序的選擇例4求兩個底圓半徑都等于的直交圓柱面所圍成的立體的體積解設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為x2y22及x2z22利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性只要算出它在第一卦限部分的體積V1然后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0y,0x}為底以頂?shù)那斨w于是二利用極坐標計算二重積分有些二重積分積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便且被積函數(shù)用極坐標變量、表達比較簡單這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分按二重積分的定義下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域小閉區(qū)域的面積為其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值在i內(nèi)取點設(shè)其直角坐標為(ii)則有于是即若積分區(qū)域可表示為1()2()則討論如何確定積分限?例5計算其中D是由中心在原點、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域解在極坐標系中閉區(qū)域D可表示為0a02于是注此處積分也常寫成利用計算廣義積分設(shè)D1{(xy)|x2y2R2x0y0}D2{(xy)|x2y22R2x0y0}S{(xy)|0xR0yR}顯然D1SD2由于從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式因為又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有于是上面的不等式可寫成令R上式兩端趨于同一極限從而例6求球體x2y2z24a2被圓柱面x2y22ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積解由對稱性立體體積為第一卦限部分的四倍其中D為半圓周及x軸所圍成的閉區(qū)域在極坐標系中D可表示為02acos于是小結(jié)1.二重積分化為累次積分的方法；2.積分計算要注意的事項。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意二重積分化為累次積分的方法：分直角坐標和極坐標，以及在計算時要注意事項，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè)P154:1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）§103三重積分教學(xué)內(nèi)容：三重積分的概念及其計算重點難點：三重積分的計算一、三重積分的概念定義設(shè)f(xyz)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)將任意分成n個小閉區(qū)域：v1v2vn其中vi表示第i個小閉區(qū)域也表示它的體積在每個vi上任取一點(iii)作乘積f(iii)vi(i12n)并作和如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在閉區(qū)域上的三重積分記作即三重積分中的有關(guān)術(shù)語——積分號f(xyz)——被積函數(shù)f(xyz)dv——被積表達式dv體積元素xyz——積分變量——積分區(qū)域在直角坐標系中如果用平行于坐標面的平面來劃分則vixiyizi因此也把體積元素記為dvdxdydz三重積分記作當函數(shù)f(xyz)在閉區(qū)域上連續(xù)時極限是存在的因此f(xyz)在上的三重積分是存在的以后也總假定f(xyz)在閉區(qū)域上是連續(xù)的三重積分的性質(zhì)與二重積分類似比如其中V為區(qū)域的體積二、三重積分的計算1利用直角坐標計算三重積分三重積分的計算三重積分也可化為三次積分來計算設(shè)空間閉區(qū)域可表為z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb則即其中D:y1(x)yy2(x)axb它是閉區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域提示設(shè)空間閉區(qū)域可表為z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb計算基本思想對于平面區(qū)域Dy1(x)yy2(x)axb內(nèi)任意一點(xy)將f(xyz)只看作z的函數(shù)在區(qū)間[z1(xy)z2(xy)]上對z積分得到一個二元函數(shù)F(xy)然后計算F(xy)在閉區(qū)域D上的二重積分這就完成了f(xyz)在空間閉區(qū)域上的三重積分則即其中D:y1(x)yy2(x)axb它是閉區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域例1計算三重積分其中為三個坐標面及平面x2yz1所圍成的閉區(qū)域解作圖區(qū)域可表示為:0z1x2y0x1于是討論其它類型區(qū)域呢?有時我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分設(shè)空間閉區(qū)域{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}其中Dz是豎坐標為z的平面截空間閉區(qū)域所得到的一個平面閉區(qū)域則有例2計算三重積分其中是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域解空間區(qū)域可表為:czc于是練習：例3將三重積分化為三次積分其中(1)是由曲面z1x2y2z0所圍成的閉區(qū)域(2)是雙曲拋物面xyz及平面xy10z0所圍成的閉區(qū)域(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域例4將三重積分化為先進行二重積分再進行定積分的形式其中由曲面z1x2y2z0所圍成的閉區(qū)域2利用柱面坐標計算三重積分設(shè)M(xyz)為空間內(nèi)一點并設(shè)點M在xOy面上的投影P的極坐標為P()則這樣的三個數(shù)、、z就叫做點M的柱面坐標這里規(guī)定、、z的變化范圍為0<02<z<坐標面00zz0的意義點M的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系xcosysinzz柱面坐標系中的體積元素dvdddz簡單來說dxdydddxdydzdxdydzdddz柱面坐標系中的三重積分例5利用柱面坐標計算三重積分其中是由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域解閉區(qū)域可表示為2z40202于是3利用球面坐標計算三重積分設(shè)M(xyz)為空間內(nèi)一點則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、、來確定其中r為原點O與點M間的距離為與z軸正向所夾的角為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段的角這里P為點M在xOy面上的投影這樣的三個數(shù)r、、叫做點M的球面坐標這里r、、的變化范圍為0r<0<02坐標面rr000的意義，點的直角坐標與球面坐標的關(guān)系xrsincosyrsinsinzrcos球面坐標系中的體積元素dvr2sindrdd球面坐標系中的三重積分例6求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積解該立體所占區(qū)域可表示為0r2acos002于是所求立體的體積為提示球面的方程為x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐標下此球面的方程為r22arcos即r2acos小結(jié)1.三重積分的定義和計算；2.換元積分公式。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意三重積分的定義和計算以及換元積分公式的應(yīng)用，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè)P164:4，5，7，9（1）§104重積分的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：曲面的面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、引力重點難點：曲面面積、質(zhì)心一、曲面的面積設(shè)曲面S由方程zf(xy)給出D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域函數(shù)f(xy)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(xy)和fy(xy)現(xiàn)求曲面的面積A在區(qū)域D內(nèi)任取一點P(xy)并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點P(xy)的小閉區(qū)域d其面積也記為d在曲面S上點M(xyf(xy))處做曲面S的切平面T再做以小區(qū)域d的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值記為dA又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為則這就是曲面S的面積元素于是曲面S的面積為或設(shè)dA為曲面S上點M處的面積元素dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域dM在xOy面上的投影為點P(xy)因為曲面上點M處的法向量為n(fxfy1)所以提示dA與xOy面的夾角為(n^k)dAcos(n^k)dnk|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|1討論若曲面方程為xg(yz)或yh(zx)則曲面的面積如何求？或其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域例1求半徑為R的球的表面積提示解球面的面積A為上半球面面積的兩倍上半球面的方程為而所以例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星距地面的高度為h36000km運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R6400km)二、質(zhì)心設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D在點P(xy)處的面密度為(xy)假定(xy)在D上連續(xù)現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標在閉區(qū)域D上任取一點P(xy)及包含點P(xy)的一直徑很小的閉區(qū)域d(其面積也記為d)則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標為平面薄片的質(zhì)量為M則有于是提示將P(xy)點處的面積元素d看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域D上任取一點P(xy)及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d(其面積也記為d)則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為討論如果平面薄片是均勻的即面密度是常數(shù)則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？求平面圖形的形心公式為例3求位于兩圓2sin和4sin之間的均勻薄片的質(zhì)心解因為閉區(qū)域D對稱于y軸所以質(zhì)心必位于y軸上于是因為所以所求形心是類似地占有空間閉區(qū)域、在點(xyz)處的密度為(xyz)(假寬(xyz)在上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標是其中例4求均勻半球體的質(zhì)心提示0ra02三、轉(zhuǎn)動慣量設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D在點P(xy)處的面密度為(xy)假定(xy)在D上連續(xù)現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量在閉區(qū)域D上任取一點P(xy)及包含點P(xy)的一直徑很小的閉區(qū)域d(其面積也記為d)則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為例5求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常量)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量解取坐標系如圖則薄片所占閉區(qū)域D可表示為D{(xy)|x2y2a2y0}而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix其中為半圓薄片的質(zhì)量類似地占有空間有界閉區(qū)域、在點(xyz)處的密度為(xyz)的物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為例6求密度為的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量解取球心為坐標原點z軸與軸l重合又設(shè)球的半徑為a則球體所占空間閉區(qū)域{(xyz)|x2y2z2a2}所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz其中為球體的質(zhì)量提示x2y2r2sin2cos2r2sin2sin2r2sin2四、引力我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0y0z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力問題設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域它在點(xyz)處的密度為(xyz)并假定(xyz)在上連續(xù)在物體內(nèi)任取一點(xyz)及包含該點的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)把這一小塊物體的質(zhì)量dv近似地看作集中在點(xyz)處這一小塊物體對位于P0(x0y0z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力近似地為其中dFx、dFy、dFz為引力元素dF在三個坐標軸上的分量G為引力常數(shù)將dFx、dFy、dFz在上分別積分即可得Fx、Fy、Fz從而得F(Fx、Fy、Fz)例7設(shè)半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域{(xyz)|x2y2z2R2)求它對于位于點M0(00a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力解設(shè)球的密度為0由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0,所求引力沿z軸的分量為其中為球的質(zhì)量上述結(jié)果表明勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點間的引力小結(jié)1.曲面面積的計算；2.質(zhì)心的計算；3.轉(zhuǎn)動慣量的定義和求解。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意曲面面積的計算，質(zhì)心的計算，轉(zhuǎn)動慣量的定義和求解，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。作業(yè)P175:1，2，4（1），7（1）第十一章曲線積分與曲面積分教學(xué)目的：理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。掌握計算兩類曲線積分的方法。熟練掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會用高斯公式計算曲面積分。知道散度與旋度的概念，并會計算。會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。教學(xué)重點:兩類曲線積分的計算方法；格林公式及其應(yīng)用；兩類曲面積分的計算方法；高斯公式、斯托克斯公式；兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。教學(xué)難點：兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系；對坐標的曲線積分與對坐標的曲面積分的計算；應(yīng)用格林公式計算對坐標的曲線積分；應(yīng)用高斯公式計算對坐標的曲面積分；應(yīng)用斯托克斯公式計算對坐標的曲線積分。§11.1對弧長的曲線積分教學(xué)內(nèi)容：對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)及計算重點難點：對弧長的曲線積分的概念與計算一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上已知曲線形構(gòu)件在點(xy)處的線密度為(xy)求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量把曲線分成n小段s1s2sn(si也表示弧長)任取(ii)si得第i小段質(zhì)量的近似值(ii)si整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為令max{s1s2sn}0則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為這種和的極限在研究其它問題時也會遇到定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧函數(shù)f(xy)在L上有界在L上任意插入一點列M1M2Mn1把L分在n個小段.設(shè)第i個小段的長度為si又(ii)為第i個小段上任意取定的一點作乘積f(ii)si(i12n)并作和如果當各小弧段的長度的最大值0這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作即其中f(xy)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段設(shè)函數(shù)f(xy)定義在可求長度的曲線L上并且有界將L任意分成n個弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧長在每一弧段si上任取一點(ii)作和令max{s1s2sn}如果當0時這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作即其中f(xy)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段曲線積分的存在性當f(xy)在光滑曲線弧L上連續(xù)時對弧長的曲線積分是存在的以后我們總假定f(xy)在L上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值其中(xy)為線密度對弧長的曲線積分的推廣如果L(或)是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2則規(guī)定閉曲線積分如果L是閉曲線那么函數(shù)f(xy)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2則性質(zhì)3設(shè)在L上f(xy)g(xy)則特別地有二、對弧長的曲線積分的計算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(xy)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為另一方面若曲線L的參數(shù)方程為x(t)y(t)(t)則質(zhì)量元素為曲線的質(zhì)量為即定理設(shè)f(xy)在曲線弧L上有定義且連續(xù)L的參數(shù)方程為x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且2(t)2(t)0則曲線積分存在且(<)證明（略）應(yīng)注意的問題定積分的下限一定要小于上限討論(1)若曲線L的方程為y(x)(axb)則?提示L的參數(shù)方程為xxy(x)(axb)(2)若曲線L的方程為x(y)(cyd)則?提示L的參數(shù)方程為x(y)yy(cyd)(3)若曲的方程為x(t)y(t)z(t)(t)則?提示例1計算其中L是拋物線yx2上點O(00)與點B(11)之間的一段弧解曲線的方程為yx2(0x1)因此例2計算半徑為R、中心角為2的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為1)解取坐標系如圖所示則曲線L的參數(shù)方程為xRcosyRsin(<)于是R3(sincos)例3計算曲線積分其中為螺旋線xacost、yasint、zkt上相應(yīng)于t從0到達2的一段弧解在曲線上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2并且于是小結(jié)用曲線積分解決問題的步驟(1)建立曲線積分(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標方程)確定參數(shù)的變化范圍(3)將曲線積分化為定積分(4)計算定積分§11.2對坐標的曲線積分教學(xué)內(nèi)容：對坐標的曲線積分的概念、性質(zhì)與計算教學(xué)內(nèi)容：對坐標的曲線積分的概念與計算一、對坐標的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功設(shè)一個質(zhì)點在xOy面內(nèi)在變力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B試求變力F(xy)所作的功用曲線L上的點AA0A1A2An1AnB把L分成n個小弧段設(shè)Ak(xkyk)有向線段的長度為sk它與x軸的夾角為k則(k012n1)顯然變力F(xy)沿有向小弧段所作的功可以近似為于是變力F(xy)所作的功從而這里(xy){cossin}是曲線L在點(xy)處的與曲線方向一致的單位切向量把L分成n個小弧段L1L2Ln變力在Li上所作的功近似為F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi變力在L上所作的功近似為變力在L上所作的功的精確值其中是各小弧段長度的最大值提示用si{xiyi}表示從Li的起點到其終點的的向量用si表示si的模對坐標的曲線積分的定義定義設(shè)函數(shù)f(xy)在有向光滑曲線L上有界把L分成n個有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起點為(xi1yi1)終點為(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)為Li上任意一點為各小弧段長度的最大值如果極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分記作即如果極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分記作即設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線{cossin}是與曲線方向一致的單位切向量函數(shù)P(xy)、Q(xy)在L上有定義如果下列二式右端的積分存在我們就定義前者稱為函數(shù)P(xy)在有向曲線L上對坐標x的曲線積分后者稱為函數(shù)Q(xy)在有向曲線L上對坐標y的曲線積分對坐標的曲線積分也叫第二類曲線積分定義的推廣設(shè)為空間內(nèi)一條光滑有向曲線{coscoscos}是曲線在點(xyz)處的與曲線方向一致的單位切向量函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定義我們定義(假如各式右端的積分存在)對坐標的曲線積分的簡寫形式對坐標的曲線積分的性質(zhì)(1)如果把L分成L1和L2則(2)設(shè)L是有向曲線弧L是與L方向相反的有向曲線弧則兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè){cosisini}為與si同向的單位向量我們注意到{xiyi}si所以xicosisiyisinisi即或其中A{PQ}t{cossin}為有向曲線弧L上點(xy)處單位切向量drtds{dxdy}類似地有或其中A{PQR}T{coscoscos}為有向曲線弧上點(xyz)處單們切向量drTds{dxdydz}At為向量A在向量t上的投影二、對坐標的曲線積分的計算定理設(shè)P(xy)、Q(xy)是定義在光滑有向曲線Lx(t)y(t)上的連續(xù)函數(shù)當參數(shù)t單調(diào)地由變到時點M(xy)從L的起點A沿L運動到終點B則討論？提示定理若P(xy)是定義在光滑有向曲線Lx(t)y(t)(t)上的連續(xù)函數(shù)L的方向與t的增加方向一致則簡要證明不妨設(shè)對應(yīng)于t點與曲線L的方向一致的切向量為{(t)(t)}所以從而應(yīng)注意的問題下限a對應(yīng)于L的起點上限對應(yīng)于L的終點不一定小于討論若空間曲線由參數(shù)方程xt)y=(t)z(t)給出那么曲線積分？如何計算提示其中對應(yīng)于的起點對應(yīng)于的終點例題例1計算其中L為拋物線y2x上從點A(11)到點B(11)的一段弧解法一以x為參數(shù)L分為AO和OB兩部分AO的方程為x從1變到0OB的方程為x從0變到1因此第二種方法以y為積分變量L的方程為xy2y從1變到1因此例2計算(1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2(2)從點A(a0)沿x軸到點B(a0)的直線段解(1)L的參數(shù)方程為xacosyasin從0變到因此(2)L的方程為y0x從a變到a因此例3計算(1)拋物線yx2上從O(00)到B(11)的一段弧(2)拋物線xy2上從O(00)到B(11)的一段弧(3)從O(00)到A(10)再到R(11)的有向折線OAB解(1)Lyx2x從0變到1所以(2)Lxy2y從0變到1所以(3)OAy0x從0變到1ABx1y從0變到1011例4計算其中是從點A(321)到點B(000)的直線段解直線AB的參數(shù)方程為x3ty2txtt從1變到0所以所以例5設(shè)一個質(zhì)點在M(xy)處受到力F的作用F的大小與M到原點O的距離成正比F的方向恒指向原點此質(zhì)點由點A(a0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0b)求力F所作的功W例5一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0b)F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比方向恒指向原點求力F所作的功W解橢圓的參數(shù)方程為xacostybsintt從0變到其中k>0是比例常數(shù)于是三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系由定義得其中F{PQ}T{cossin}為有向曲線弧L上點(xy)處單位切向量drTds{dxdy}類似地有其中F{PQR}T{coscoscos}為有向曲線弧上點(xyz)處單們切向量drTds{dxdydz}§113格林公式及其應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容:格林公式、曲線積分與路徑無關(guān)的條件重點難點：曲線積分與路徑無關(guān)一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域D的邊界曲線L我們規(guī)定L的正向如下當觀察者沿L的這個方向行走時D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊區(qū)域D的邊界曲線的方向定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成函數(shù)P(xy)及Q(xy)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有其中L是D的取正向的邊界曲線簡要證明僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進行證明設(shè)D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因為連續(xù)所以由二重積分的計算法有另一方面由對坐標的曲線積分的性質(zhì)及計算法有因此設(shè)D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}類似地可證由于D即是X－型的又是Y－型的所以以上兩式同時成立兩式合并即得應(yīng)注意的問題對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L取PyQx則由格林公式得或例1橢圓xacosybsin所圍成圖形的面積A分析只要就有解設(shè)D是由橢圓xacosybsin所圍成的區(qū)域令則于是由格林公式ab例2設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線證明證令P2xyQx2則因此由格林公式有(為什么二重積分前有“”號？)例3計算其中D是以O(shè)(00)A(11)B(01)為頂點的三角形閉區(qū)域分析要使只需P0解令P0則因此由格林公式有例4計算其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線L的方向為逆時針方向解令則當x2y20時有記L所圍成的閉區(qū)域為D當(00)D時由格林公式得當(00)D時在D內(nèi)取一圓周lx2y2r2(r>0)由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取逆時針方向于是2解記L所圍成的閉區(qū)域為D當(00)D時由格林公式得當(00)D時在D內(nèi)取一圓周lx2y2r2(r0)由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1應(yīng)用格林公式得即其中l(wèi)的方向取順時針方向于是2分析這里當x2y20時有二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)設(shè)G是一個開區(qū)域P(xy)、Q(xy)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2等式恒成立就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)否則說與路徑有關(guān)設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線則有因為所以有以下結(jié)論曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當于沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分等于零定理2設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域函數(shù)P(xy)及Q(xy)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立充分性易證若則由格林公式對任意閉曲線L有必要性假設(shè)存在一點M0G使不妨設(shè)>0則由的連續(xù)性存在M0的一個鄰域U(M0,)使在此鄰域內(nèi)有于是沿鄰域U(M0,)邊界l的閉曲線積分這與閉曲線積分為零相矛盾因此在G內(nèi)應(yīng)注意的問題定理要求區(qū)域G是單連通區(qū)域且函數(shù)P(xy)及Q(xy)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)如果這兩個條件之一不能滿足那么定理的結(jié)論不能保證成立破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點稱為奇點例5計算其中L為拋物線yx2上從O(00)到B(11)的一段弧解因為在整個xOy面內(nèi)都成立所以在整個xOy面內(nèi)積分與路徑無關(guān)討論設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線L的方向為逆時針方向問是否一定成立？提示這里和在點(00)不連續(xù)因為當x2y20時所以如果(00)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)則結(jié)論成立而當(00)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時結(jié)論未必成立三、二元函數(shù)的全微分求積曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)表明曲線積分的值只與起點從點(x0y0)與終點(xy)有關(guān)如果與路徑無關(guān)則把它記為即若起點(x0y0)為G內(nèi)的一定點終點(xy)為G內(nèi)的動點則u(xy)為G內(nèi)的的函數(shù)二元函數(shù)u(xy)的全微分為du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy表達式P(xy)dxQ(xy)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)但它未必就是某個函數(shù)的全微分那么在什么條件下表達式P(xy)dxQ(xy)dy是某個二元函數(shù)u(xy)的全微分呢？當這樣的二元函數(shù)存在時怎樣求出這個二元函數(shù)呢？定理3設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域函數(shù)P(xy)及Q(xy)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則P(xy)dxQ(xy)dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u(xy)的全微分的充分必要條件是等式在G內(nèi)恒成立簡要證明必要性假設(shè)存在某一函數(shù)u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy則有因為、連續(xù)所以即充分性因為在G內(nèi)所以積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)在G內(nèi)從點(x0y0)到點(xy)的曲線積分可表示為考慮函數(shù)u(xy)因為u(xy)所以類似地有從而duP(xy)dxQ(xy)dy即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函數(shù)的全微分求原函數(shù)的公式例6驗證在右半平面(x>0)內(nèi)是某個函數(shù)的全微分并求出一個這樣的函數(shù)解這里因為P、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且有所以在右半平面內(nèi)是某個函數(shù)的全微分取積分路線為從A(10)到B(x0)再到C(xy)的折線則所求函數(shù)為思考與練習1在單連通區(qū)域G內(nèi)如果P(xy)和Q(xy)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有那么(1)在G內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3)在G內(nèi)P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函數(shù)u(xy)的全微分?2在區(qū)域G內(nèi)除M0點外如果P(xy)和Q(xy)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且恒有G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域那么(1)在G1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3)在G1內(nèi)P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函數(shù)u(xy)的全微分?3在單連通區(qū)域G內(nèi)如果P(xy)和Q(xy)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)但非常簡單那么(1)如何計算G內(nèi)的閉曲線積分?(2)如何計算G內(nèi)的非閉曲線積分?(3)計算其中L為逆時針方向的上半圓周(xa)2y2a2y0§114對面積的曲面積分教學(xué)內(nèi)容：對面積分的曲面積分概念、性質(zhì)與計算重點難點：對面積分的曲面積分概念、計算一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題設(shè)為面密度非均勻的物質(zhì)曲面其面密度為(xyz)求其質(zhì)量把曲面分成n個小塊S1S2Sn(Si也代表曲面的面積)求質(zhì)量的近似值((iii)是Si上任意一點)取極限求精確值(為各小塊曲面直徑的最大值)定義設(shè)曲面是光滑的函數(shù)f(xyz)在上有界把任意分成n小塊S1S2Sn(Si也代表曲面的面積)在Si上任取一點(iii)如果當各小塊曲面的直徑的最大值0時極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(xyz)在曲面上對面積的曲面積分或第一類曲面積分記作即其中f(xyz)叫做被積函數(shù)叫做積分曲面對面積的曲面積分的存在性我們指出當f(xyz)在光滑曲面上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的今后總假定f(xyz)在上連續(xù)根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)(xyz)的光滑曲面的質(zhì)量M可表示為(xyz)在上對面積的曲面積分如果是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和例如設(shè)可分成兩片光滑曲面1及2(記作12)就規(guī)定對面積的曲面積分的性質(zhì)(1)設(shè)c1、c2為常數(shù)則(2)若曲面可分成兩片光滑曲面1及2則(3)設(shè)在曲面上f(xyz)g(xyz)則(4)其中A為曲面的面積二、對面積的曲面積分的計算面密度為f(xyz)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為另一方面如果由方程zz(xy)給出在xOy面上的投影區(qū)域為D那么曲面的面積元素為質(zhì)量元素為根據(jù)元素法曲面的質(zhì)量為因此化曲面積分為二重積分設(shè)曲面由方程zz(xy)給出在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)f(xyz)在上連續(xù)則如果積分曲面的方程為yy(zx)Dzx為在zOx面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(xyz)在上對面積的曲面積分為如果積分曲面的方程為xx(yz)Dyz為在yOz面上的投影區(qū)域則函數(shù)f(xyz)在上對面積的曲面積分為例1計算曲面積分其中是球面x2y2z2a2被平面zh(0ha)截出的頂部解的方程為Dxyx2y2a2h2因為所以提示例2計算其中是由平面x0y0z0及xyz1所圍成的四面體的整個邊界曲面解整個邊界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分依次記為1、2、3及4于是提示4z1xy§115對坐標的曲面積分教學(xué)內(nèi)容：對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)及計算重點難點：對坐標的曲面積分的概念與計算一、對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)有向曲面通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的例如由方程zz(xy)表示的曲面分為上側(cè)與下側(cè)設(shè)n(coscoscos)為曲面上的法向量在曲面的上側(cè)cos0在曲面的下側(cè)cos0閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分類似地如果曲面的方程為yy(zx)則曲面分為左側(cè)與右側(cè)在曲面的右側(cè)cos0在曲面的左側(cè)cos0如果曲面的方程為xx(yz)則曲面分為前側(cè)與后側(cè)在曲面的前側(cè)cos0在曲面的后側(cè)cos0設(shè)是有向曲面在上取一小塊曲面S把S投影到xOy面上得一投影區(qū)域這投影區(qū)域的面積記為()xy假定S上各點處的法向量與z軸的夾角的余弦cos有相同的符號(即cos都是正的或都是負的)我們規(guī)定S在xOy面上的投影(S)xy為其中cos0也就是()xy0的情形類似地可以定義S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx流向曲面一側(cè)的流量設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))給出是速度場中的一片有向曲面函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)都在上連續(xù)求在單位時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量即流量如果流體流過平面上面積為A的一個閉區(qū)域且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速為(常向量)v又設(shè)n為該平面的單位法向量那么在單位時間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個底面積為A、斜高為|v|的斜柱體當(v^n)時這斜柱體的體積為A|v|cosAvn當(v^n)時顯然流體通過閉區(qū)域A的流向n所指一側(cè)的流量為零而Avn0,故Avn當(v^n)時Avn0這時我們?nèi)园袮vn稱為流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量它表示流體通過閉區(qū)域A實際上流向n所指一側(cè)且流向n所指一側(cè)的流量為Avn因此不論(v^n)為何值流體通過閉區(qū)域A流向n所指一側(cè)的流量均為Avn把曲面分成n小塊S1S2Sn(Si同時也代表第i小塊曲面的面積)在是光滑的和v是連續(xù)的前提下只要Si的直徑很小我們就可以用Si上任一點(i,i,i)處的流速viv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)k代替Si上其它各點處的流速以該點(i,i,i)處曲面的單位法向量nicosiicosijcosik代替Si上其它各點處的單位法向量從而得到通過Si流向指定側(cè)的流量的近似值為viniSi(i1,2,,n)于是通過流向指定側(cè)的流量但cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy因此上式可以寫成令0取上述和的極限就得到流量的精確值這樣的極限還會在其它問題中遇到抽去它們的具體意義就得出下列對坐標的曲面積分的概念提示把Si看成是一小塊平面其法線向量為ni則通過Si流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積此斜柱體的斜高為|vi|高為|vi|cos(vi^ni)vini體積為viniSi因為nicosiicosijcosikviv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)kviniSi[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Si而cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy所以viniSiP(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(Si)xy對于上的一個小塊顯然在t時間內(nèi)流過的是一個彎曲的柱體它的體積近似于以為底而高為(|V|t)cos(V^n)Vnt的柱體的體積VntS這里n(coscoscos)是上的單位法向量S表示的面積所以單位時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于VnS(P(xyz)cosQ(xyz)cosR(xyz)cos)S如果把曲面分成n小塊i(i12···n)單位時間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于按對面積的曲面積分的定義舍去流體這個具體的物理內(nèi)容我們就抽象出如下對坐標的曲面積分的概念定義設(shè)為光滑的有向曲面函數(shù)R(xyz)在上有界把任意分成n塊小曲面Si(Si同時也代表第i小塊曲面的面積)在xOy面上的投影為(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一點如果當各小塊曲面的直徑的最大值0時總存在則稱此極限為函數(shù)R(xyz)在有向曲面上對坐標x、y的曲面積分:記作即類似地有其中R(xyz)叫做被積函數(shù)叫做積分曲面定義設(shè)是空間內(nèi)一個光滑的曲面n(coscoscos)是其上的單位法向量V(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))是確在上的向量場如果下列各式右端的積分存在我們定義并稱為P在曲面上對坐標y、z的曲面積分為Q在曲面上對坐標z、x的曲面積分為R在曲面上對坐標y、z的曲面積分其中P、Q、R叫做被積函數(shù)叫做積分曲面以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分對坐標的曲面積分的存在性對坐標的曲面積分的簡記形式在應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是流向指定側(cè)的流量可表示為一個規(guī)定如果是分片光滑的有向曲面我們規(guī)定函數(shù)在上對坐標的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和對坐標的曲面積分的性質(zhì)對坐標的曲面積分具有與對坐標的曲線積分類似的一些性質(zhì)例如(1)如果把分成1和2則(2)設(shè)是有向曲面表示與取相反側(cè)的有向曲面則這是因為如果n(coscoscos)是的單位法向量則上的單位法向量是n(coscoscos)二、對坐標的曲面積分的計算法將曲面積分化為二重積分設(shè)積分曲面由方程zz(xy)給出的在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)R(xyz)在上連續(xù)則有其中當取上側(cè)時積分前取“”當取下側(cè)時積分前取“”這是因為按對坐標的曲面積分的定義有當取上側(cè)時cos0所以(Si)xy(i)xy又因(i,i,i)是上的一點故iz(i,i)從而有令0取上式兩端的極限就得到同理當取下側(cè)時有因為當取上側(cè)時cos0(Si)xy(i)xy當(i,i,i)時iz(i,i)從而有同理當取下側(cè)時有這是因為n(coscoscos)類似地如果由xx(yz)給出則有如果由yy(zx)給出則有注意的問題符號的確定例1計算曲面積分其中是長方體的整個表面的外側(cè)((xyz)|0xa0yb0zc)解把的上下面分別記為1和2前后面分別記為3和4左右面分別記為5和61zc(0xa0yb)的上側(cè)2z0(0xa0yb)的下側(cè)3xa(0yb0zc)的前側(cè)4x0(0yb0zc)的后側(cè)5y0(0xa0zc)的左側(cè)6yb(0xa0zc)的右側(cè)除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影為零因此a2bc類似地可得于是所求曲面積分為(abc)abc例2計算曲面積分其中是球面x2y2z21外側(cè)在x0y0的部分解把有向曲面分成以下兩部分(x0y0)的上側(cè)(x0y0)的下側(cè)1和2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxyx2y21(x0y0)于是三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)積分曲面由方程zz(xy)給出的在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy函數(shù)zz(xy)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)被積函數(shù)R(xyz)在上連續(xù)如果取上側(cè)則有另一方面因上述有向曲面的法向量的方向余弦為故由對面積的曲面積分計算公式有由此可見有如果取下側(cè)則有但這時因此仍有類似地可推得綜合起來有其中cos、cos、cos是有向曲面上點(xyz)處的法向量的方向余弦兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫成如下向量的形式或其中A(PQR)n(coscoscos)是有向曲面上點(xyz)處的單位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)稱為有向曲面元An為向量A在向量n上的投影例3計算曲面積分其中是曲面介于平面z0及z2之間的部分的下側(cè)解由兩類曲面積分之間的關(guān)系可得在曲面上提示曲面上向下的法向量為(xy1))故8解由兩類曲面積分之間的關(guān)系可得8提示§116高斯公式通量與散度教學(xué)內(nèi)容：高斯公式、通量與散度重點難點：高斯公式一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有或簡要證明設(shè)是一柱體上邊界曲面為1zz2(x,y)下邊界曲面為2zz1(x,y)側(cè)面為柱面31取下側(cè)2取上側(cè)3取外側(cè)根據(jù)三重積分的計算法有另一方面有以上三式相加得所以類似地有把以上三式兩端分別相加即得高斯公式例1利用高斯公式計算曲面積分其中為柱面x2y21及平面z0z3所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)解這里P(yz)xQ0Rxy由高斯公式有例2計算曲面積分其中為錐面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之間的部分的下側(cè)cos、cos、cos是上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦解設(shè)1為zh(x2y2h2)的上側(cè)則與1一起構(gòu)成一個閉曲面記它們圍成的空間閉區(qū)域為由高斯公式得提示而因此提示根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性例3設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和v(x,y,z)在閉區(qū)域上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)證明其中是閉區(qū)域的整個邊界曲面為函數(shù)v(x,y,z)沿的外法線方向的方向?qū)?shù)符號稱為拉普拉斯算子這個公式叫做格林第一公式證因為方向?qū)?shù)其中cos、cos、cos是在點(xyz)處的外法線向量的方向余弦于是曲面積分利用高斯公式即得將上式右端第二個積分移至左端便得所要證明的等式二、通量與散度高斯公式的物理意義將高斯公式改寫成其中vnvnPcosQcosRcosn{coscoscos}是在點(xyz)處的單位法向量公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量左端可解釋為分布在內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量散度設(shè)的體積為V由高斯公式得其左端表示內(nèi)源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值由積分中值定理得令縮向一點M(xyz)得上式左端稱為v在點M的散度記為divv即其左端表示單位時間單位體積分內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量一般地設(shè)某向量場由A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k給出其中PQR具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)是場內(nèi)的一片有向曲面n是上點(xyz)處的單位法向量則叫做向量場A通過曲面向著指定側(cè)的通量(或流量)而叫做向量場A的散度記作divA即高斯公式的另一形式或其中是空間閉區(qū)域的邊界曲面而AnAnPcosQcosRcos是向量A在曲面的外側(cè)法向量上的投影§117斯托克斯公式環(huán)流量與旋度教學(xué)內(nèi)容：斯托克斯公式環(huán)流量與旋度重點難點：斯托克斯公式一、斯托克斯公式定理1設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線是以為邊界的分片光滑的有向曲面的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則函數(shù)P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(連同邊界)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有記憶方式或其中n(coscoscos)為有向曲面的單位法向量討論如果是xOy面上的一塊平面閉區(qū)域斯托克斯公式將變成什么?例1利用斯托克斯公式計算曲線積分其中為平面xyz1被三個坐標面所截成的三角形的整個邊界它的正向與這個三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則解按斯托克斯公式有由于的法向量的三個方向余弦都為正又由于對稱性上式右端等于其中Dxy為xOy面上由直線xy1及兩條坐標軸圍成的三角形閉區(qū)域因此解設(shè)為閉曲線所圍成的三角形平面在yOz面、zOx面和xOy面上的投影區(qū)域分別為Dyz、Dzx和Dxy按斯托克斯公式有例2利用斯托克斯公式計算曲線積分其中是用平面截立方體0x10y10z1的表面所得的截痕若從x軸的正向看去取逆時針方向解取為平面的上側(cè)被所圍成的部分的單位法向量即按斯托克斯公式有其中Dxy為在xOy平面上的投影區(qū)域于是提示二、環(huán)流量與旋度旋度向量場A(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))所確定的向量場稱為向