2022版線性代數(shù)證明題題庫

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2022版線性代數(shù)證明題題庫

1.設(shè)方陣A滿足T—A—2E=0,證明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)1

證明：由A2_A_2E=O=A(A_E)=2EnA_l=g(A_E)

又由一A—2E=O=(A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)=-4E

.■.(A+2￡)-l=-(3E-A)

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2、設(shè)/為方陣，若存在某個(gè)正整數(shù)左上2使A*=0,證E-A可逆且并寫出其逆矩陣的表達(dá)式(E為"階單位陣).

(可逆陣為E+A+A?+…+A"】)

證明：(E—A)(E+A+A2+...+A*-)=E—A*

=0(E-A)(E+A+A2+...+)=E

故E-A可逆，其逆矩陣為E+A+A2+...+Ai

AB

3、設(shè)為”階方陣，試證明：=\A+B\\A-B\.

BA1111

ABA+BB+AA+B0

證明=\A+B\\A-B\

BABABA-B

CAB、

4、設(shè)AB為”階方陣，試證明:可逆的充要條件是(A+5),(A-5)都可逆.

IB4

ABA+BB+AA+B0

證明=\A+B\\A-B\,

BABABA-B

,ABA

可逆<=>其行列式不等于0〈=>(A+B),(A—3)的行列式也不等于0<=>(A+5),(A—3)也者B可逆。

5.設(shè)A為可逆方陣，試證明：A的伴隨矩陣也可逆且(4*廠=?*.

證明:矩陣A可逆0小0,且AA*=|A|En俞A*=E，故A的伴隨矩陣也可逆，且(■)

又由矩陣A可逆oA」1也可逆且=百，

而川.(*)*=陰忸o(1)*=甲|A=備，則(A*廠=⑷)*。

lAl

6.設(shè)〃階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明：⑴若兇=0,則,*卜0；(2)|A*|=|4-1.

證明:

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（1）用反證法證明.假設(shè)|A*|W0則有A*（A*）-1=E

由此得A=AA*（A*）T=|4|E（A*）T=O：.A*=O

這與|A*|WO矛盾，故當(dāng)|H=0時(shí)有|A*|=0

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⑵由于A-1=閔A*,則AA*=\A\E取行列式得到：IA（A*J=同”

若則|A*|=|A「T若=o由⑴知A*=o此時(shí)命題也成立

故有㈤=ML

7.設(shè)A為〃階矩陣，若Ac=O只有零解，證明：方程組A/x=O也只有零解，其中左為正整數(shù).

證明:?.?4=0只有零解nR（A）=〃，可逆=閾20.則W]=|A[#0

R（A"）="=>=0只有零解.

8、設(shè)%,%,%為Ax=0的基礎(chǔ)解系。證明￡]=%+2%,，2=2%+3%,夕3=3%+/也是Ax=。的基礎(chǔ)解

系。

證明：只要證笈,A，鳳是線性無關(guān)即可，

令kxf3x+k^/32+k3/33=0左]（tZ]+2%）+左2（2%+3%）+左3（34+%）=0

（k[+左3）%+（2左]+2kqec2+（3左2+3左§）。3=°又4,a、,a、線性無關(guān),故左]=&=%=0

二.后,尸2,鳳線性無關(guān)。即尸i=%+2%,/2=2%+3%，夕3=3%+%也是Ax=0的基礎(chǔ)解系。

9.設(shè)在向量組中外W0且每個(gè)小（i=2,3,,m）都不能由…,4-1線性表示，

證明該向量組線性無關(guān)。

證明：（反證法）假設(shè)該向量組線性相關(guān)，即存在不全為零的數(shù)匕狀2,…，心使得

ks+k2a2+---kmam=0成立。

假設(shè)々，42,…，⑥從右向左第一個(gè)不為0的數(shù)為與，則上式變?yōu)閗s+k2a2+…kjdj=0,

即a=一’（占%+七出+…%,i'i）與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即該向量組線性無關(guān)。

房一

10.若向量組a,民/線性無關(guān)證明。+民/?+7，7+。也線性無關(guān)

證明：設(shè)有一組數(shù)左],《，匕，使得：勺（a+4）+eO+7）+&（7+a）=0成立。

整理得：a（%+&）+/?（匕+左2）+/（&+^3）=0o

女1+%3=0

因?yàn)橄蛄拷Ma,國/線性無關(guān)，故可得：仁+%2=0。

%2+%3=0

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101

又由于該齊次線性方程組的系數(shù)行列式110=200故方程組只有零解,

011

也即是左=修=%=0,從而a+夕,尸+7,y+a線性無關(guān)..

11.證明：當(dāng)。=-1或0或1時(shí)，向量組％=(a』/)、?=(1,。,一1)‘，%=(1，—1，。廠?線性相關(guān).

a11

證明：以所給向量為列向量的矩陣記為4由|A|=1a—1=。(。一l)(a+l)

1-1a

知，當(dāng)a=-1、0、1時(shí),兄(0<3,此時(shí)向量組線性相關(guān).

12.設(shè)%,%,…,凡是一組〃維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一〃維向量都可由它們線性表示.

證明：必要性：設(shè)a為任一n維向量.因?yàn)閍i,a2,?…，防線性無關(guān)，而ai,。2,??、a是n+1個(gè)n維向量，是線

性相關(guān)的，所以a能由ai,a2,???,斯線性表示，且表示式是唯一的.

充分性：已知任一n維向量都可由ai,02,…,環(huán)線性表示，故單位坐標(biāo)向量組ei,e2,?…，/能由ai,02,■--,an

線性表示，于是有n=R(ei,62,???,en)</?(ai,02,■■■,an)<n,即R(ai,a2,■■■,an)=n,所以ai,a2,■--,an線性無關(guān).

13、設(shè)向量組A：%,-2,……(Z"的秩為S,向量組向4,。2,…%的秩為t

試證：r+s—mo

證明：設(shè)向量組A去掉向量組B后的向量組為C,則R(C)Wm—r,R(A)WR(B)+R(C)

所以R(B)》R(A)-R(C),tNs-R(C)^r+s-m

14.設(shè)4=ax+a2,b2=a2+a3,b3=%+4也=4+%，證明：向量組年也也，為線性相關(guān)?

證明：由已知條件得：4=4-g,口2=為一%，。3=4一。4，。4="一。1，

于是％—by—b、+—by一仇+4一&=4一4+4一仇+，

從而2—d+&—仇=°，故向量組偽，仇力3,,線性相關(guān).

15、A,B為同型矩陣，證明R(A+3)<R(A)+RCB)。

(AOA(AA+B\八<0A+B}

證明：R(A)+R(B)=R=R”(5分)>R=R(A+B)

<0BJ10BJ(00,

16、已知向量組名,%,…,見線性無關(guān)，證明：4=%,尸2=%+%，…血=生+%+%也線性無關(guān)。

證明:=KA.

因?yàn)椋阂?120可知K可逆，從而可知廠(A)=r(3),故可證得:

I=%,尸2=%+%,…血=/+%+…+%也線性無關(guān)..

17.判斷下面命題是否正確？若正確，證明之；若錯(cuò)誤，給出反例。

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命題：若向量組4,…(是線性相關(guān)的,則%可由％,?,?5,線性表示.

解：命題是錯(cuò)誤的.

反例：設(shè)G二,=(1,0,0,…,0)a=a=---=a=0

1,23m

滿足勾，“2,…，線性相關(guān)，但%不能由。2,…，線性表示.

18.設(shè)向量組%,%，%線性相關(guān)，向量組%，13，*線性無關(guān)，試證明:

(1)向量%可由%,%線性表示；⑵向量%不能由%線性表示

證明：(1)因?yàn)?，%，%線性無關(guān)，故％,%也線性無關(guān)。又因?yàn)槊?%，%線性相關(guān)，

可知向量%可由%,%線性表示并且表示方法唯一。

(2)反證：假設(shè)存在不全為零的常數(shù)匕，左2,左3，使得左6+左2%+左3。3=%，又由于%可由%,%線性

表示。則：(Z4可由%，%線性表示，也即是%，%，%線性相關(guān)，與題設(shè)矛盾，從而證得向量%不能由%，%,火線

性表示..

19、已知向量組名,%,%線性無關(guān)，證明：=%,尸2=4+。2，尸3=%+%+%也線性無關(guān)?

[4Iqo0、

0=KA.

證明:B=Aax+%iia.

+%+%/J1L

因?yàn)椋簗K|=lwO可知K可逆，從而可知r(A)=r(B),又因?yàn)?,%，%線性無關(guān)，

故可證得：4=%,爭(zhēng)=%+%，，63=%+%+。3也線性無關(guān)。

20、設(shè)A,3為九階反對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)且僅當(dāng)A3=-R4時(shí)，A3是反對(duì)稱矩陣.

證明：因?yàn)锳3為”階反對(duì)稱矩陣，^-A,BT^-B,^AB=-BA,

貝i](A5)，="AT=-3(-A)=8A=-BA,可得AB是反對(duì)稱矩陣。反之，AB是反對(duì)稱矩陣,

即若(AB)'=—8A,則有：AB=—(AB)，=—=—(―3)(—A)=BA=—切證畢。

21.設(shè)A,3為”階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明37也是對(duì)稱矩陣.

證明：已知不=4,則從而3,AB也是對(duì)稱矩陣.

22.設(shè)A,B都是〃階對(duì)稱矩陣，證明是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AB^BA.

證明：Ar=ABT=B

充分性：AB=BA=>AB=B7^=AB=(AB)r即AB是對(duì)稱矩陣.

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必要性：(AB)「二人臺(tái)二⑶丁/^二鉆二胡二鉆.

23.已知”階方陣A滿足A?A=O,證明：A=0

證明：設(shè)A=(旬)，則考查A'A的第i個(gè)主對(duì)角元為￡成=0,故陽=0,即A=0

k=l

24、設(shè)4與B都是n階正交陣，證明AB也是正交陣.

證明：因?yàn)锳,B是n階正交陣，故AT=M,B-1^BT,(AB)T(AB)=BTATAB=B1A-1AB=E,故AB也是正交陣.

25.設(shè)/為正交陣，且|川=-1,證明彳=-1是/的特征值.

證明：因?yàn)?為正交矩陣，所以/的特征值為-1或1.

因?yàn)棰榈扔谒刑卣髦抵e(2分)，又|川=-1,所以必有奇數(shù)個(gè)特征值為-1,即彳=-1是/的特征值.

26.設(shè)方陣A滿足條件A'AnE,其中是A的轉(zhuǎn)置矩陣，E為單位陣.試證明A的實(shí)特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值

的絕對(duì)值等于1.

證明：設(shè)4的實(shí)特征向量x#0所對(duì)應(yīng)的特征值為2,則Ac=疝.

又：

(AX)T(AX)=(2x)7(2x)(3分)

=>xTx=分)

=^>1=A2=>|A|=1(2分)

27.設(shè)是矩陣A的不同特征值4，22的特征向量.證明無1+々不是A的特征向量.

證明：(反證法)假設(shè)為+%是A的特征向量，相應(yīng)特征值為2,則有A(七+/)=2(x1+x2)=2Xf+Ax2

而AX]=4X],AX,=22x2故/IX]+/l/l%2=4%+4，即(4一4)%1+(2—A2)x2=0

又西,彳2線性無關(guān)，所以4=%=/I矛盾。故證。

28、設(shè)木一3A+2E=。，證明A的特征值只能取1