2023-2024學年重慶市長壽中學高二（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年重慶市長壽中學高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線ax?by?1=0與曲線yA.23 B.?23 C.12.曲線f(x)=x3A.y=?3x?1 B.y3.已知函數(shù)f(x)=f′(πA.26 B.24 C.4.函數(shù)f(x)=13A.?158≤a≤?34 B.?1585.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E.F六個點涂色，求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有(

)A.360種

B.264種

C.192種

D.144種6.中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往A，B，C等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是(

)A.72 B.84 C.88 D.1007.在(x3?2A.28 B.?28 C.?56 8.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的．且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為110，115，120，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)隨機變量ξ的分布列如下：

ξ12345678910paaaaaaaaaa則下列正確的是

(

)A.當an為等差數(shù)列時，a5+a6=15

B.數(shù)列an的通項公式可以為an=109nn+10.已知(2x+1x)nA.n=8 B.展開式中x2項的系數(shù)為560

C.展開式中系數(shù)的最大的項僅為179211.已知函數(shù)f(x)滿足xf′(x)A.f(2)=ln2+1 B.x=2是函數(shù)f(x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.定義方程f(x)=f′(x)的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新駐點”．

(1)若f(x)=lnx+x13.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學生分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的科代表，要求甲不當語文科代表，乙不當數(shù)學科代表，若丙當物理科代表，則丁必須當化學科代表，則不同的選法共有______種.14.已知函數(shù)f(x)=x3?2x,x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球．

(1)從甲袋中取4個球，求這4個球中恰好有2個紅球的概率；

(2)先從乙袋中取2個球放入甲袋，再從甲袋中取2個球，求從甲袋中取出的是16.(本小題15分)

已知二項式(x?2x?2)n．

(1)若展開式中第二項系數(shù)與第四項系數(shù)之比為17.(本小題15分)

已知f(x)=x3?2x?a．

(1)若a=0，求曲線f(x)18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=alnx+x2?3b，曲線y=f(x)在點(1,f(19.(本小題17分)

已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2?10x的一個極值點．

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因為y′=3x2，所以切線的斜率k=3×1=3，

而直線ax?by?1=0的斜率k=a2.【答案】C

【解析】解：由f(x)=x3+1，得f(?1)=?1+1=0，f′(x)=3x23.【答案】A

【解析】解：f′(x)=?2f′(π4)sin2x+cosx，

∴f′(π44.【答案】B

【解析】解：f(x)=13x3+ax2?x+3，x∈(2,4)，則f′(x)=x2+2ax?1，

函數(shù)f5.【答案】B

【解析】解：若4種顏色都用到，先給A、B、C三點涂色，有A43=24種涂法，

再給D、E、F涂色，因為D、E、F中必有一點用到第4種顏色，有C31=3種涂法，

另外兩點用到A、B、C三點所用顏色中的兩種，有C32=3種涂法，

由乘法原理得24×3×3=216種；

若只用3種顏色，先給A、B、C三點涂色，有A43=24種涂法，

再給D、E、F涂色，因為D點與A點不同色，有2種涂法，

若D點與B點同色，則F與C、D不同色，有1種涂法，此時E有1種涂法；

若D點與C點同色，則E與B、D不同色，有1種涂法，此時F有1種涂法．

由乘法原理得24×(1×1+1×16.【答案】D

【解析】解：若甲去B點，則剩余4人，可只去A，C兩個點，也可分為3組去A，B，C3個點．

當剩余4人只去A，C兩個點時，人員分配為1，3或2，2，

此時的分配方法有C43?C11?A22+C42?C22A22?A22=14；

當剩余4人分為3組去A，B，C3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有C42?A33=36，

綜上可得，甲去B點，不同的安排方法數(shù)是14+367.【答案】A

【解析】解：(x3?2x+1x)4的展開式的通項公式：Tr+1=C4r?x?r?(x3?2x)4?r．

(x3?2x)4?r的通項：Tk8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查全概率公式，是中檔題．

以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B【解答】

解：以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，

P(A1)=510，P(A2)=310，P(A3)9.【答案】AC【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列、離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)．

由a1+a2+?+a10=1．

A，利用等差數(shù)列性質(zhì)得a1+a2+?+a10=5(a5+a6)=1，從而a【解答】

解：由題目可知a1+a2+?+a10=1，

A，若{an}為等差數(shù)列，則a1+a2+?+a10=5(a5+a6)=1，所以a5+a6=15，因此選項A正確；

B，an=109n(n+1)=10910.【答案】AD【解析】解：二項式(2x+1x)n的展開式的通項公式為：

Tk+1=Cnk(2x)n?k(1x)k=Cnk2n?kxn?3k2，k=0，1，???，n，

由題意可知，Cn2=Cn6，解得n=8，A正確；

所以二項式(2x+1x)8的展開式的通項公式為Tk+1=C11.【答案】AC【解析】解：∵(xf(x))′=xf′(x)+f(x)，且(xlnx)′=lnx+1，

∴xf(x)=xlnx+c，則f(x)=lnx+cx，

又∵f(1)=c=2，

故f(x)=lnx+2x，且定義域為(0,+∞)，

對A：f(2)=ln2+1，A正確；

對B：f′(x)=1x?2x2=x?2x2，

令f′(x)>0，則x>2；令f′(x)<0，則0<x<2；

則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，12.【答案】1

α<【解析】解：(1)f′(x)=1x+1，

令1x+1=lnx+x+1，可得lnx+x?1x=0，

令g(x)=lnx+x?1x，

則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且g(1)=0，

故f(x)的“新駐點”為1；

(2)因為g′(x)=13.【答案】67

【解析】解：因為丙當物理課代表則丁必須當化學課代表，以丙進行分類：

第一類，當丙當物理課代表時，丁必須當化學課代表，再根據(jù)甲當數(shù)學課代表，乙戊可以當英語和語文中的任一課，有A22=2種，當甲不當數(shù)學課代表，甲只能當英語課代表，乙只能當語文課代表，戊當數(shù)學課代表，有1種，

共計2+1=3種；

第二類，當丙不當物理課代表時，分四類：

①丙為語文課代表時，乙只能從英語、物理和化學中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有A31?A33=18種，

②丙為數(shù)學課代表時，甲只能從英語、物理和化學中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有A31?A33=18種，

③丙為英語課代表時，繼續(xù)分類，甲當數(shù)學課代表時，其他三位同學任意當有A14.【答案】[0【解析】【分析】

本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，求出函數(shù)的導數(shù)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

由g(x)=f(x)?x?a=0得a=f(x)?x，設(shè)h(x)=f(x)?x，求函數(shù)的h(x)的導數(shù)，研究函數(shù)h(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

【解答】

解：由g(x)=f(x)?x?a有3個零點得g(x)=f(x)?x?a=0，即a=f(x)?x有3個根，15.【答案】解：(1)依題意知，從7個球中取4個球有C74種取法，其中4個球中恰好有2個紅球，即恰好有2個紅球、2個白球，有C32C42種取法，

所以4個球中怡好有2個紅球的概率為P=C32C42C74=1835；

(2)記A1為從乙袋中取出1個紅球、【解析】(1)根據(jù)題意，先計算出從7個球中取4個球的種數(shù)，再計算出4個球中恰好有2個紅球的種數(shù)，最后用古典概型的概率公式計算可得；

(2)根據(jù)題意，先計算出P(16.【答案】解：(1)二項式(x?2x?2)n的展開式的通項為Tr+1=Cnr(x)n?r(?2x?2)r=(?2)rCnr【解析】(1)根據(jù)展開式中第二項系數(shù)與第四項系數(shù)之比為1：8，寫出這兩項的系數(shù)的表示式，兩者求比，得到n的值，給x賦值得到各項的系數(shù)之和．

(2)展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式有11項，所以n=10，使得17.【答案】解：(1)當a=0時，f(x)=x3?2x，則f′(x)=3x2+2x2，

所以f(1)=?1，f′(1)=5

所以曲線f(x)在x=1處的切線方程為【解析】(1)先對函數(shù)f(x)求導得到f′(x)，從而得到曲線f(x)在x18.【答案】解：(1)f(x)=alnx+x2?3b的導數(shù)為f′(x)=ax+2x，

由曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為2x+y?4=0，

可得a+2=?2，即a=?4，

又f(1)=1?3b=2，解得b=?13，

即有a=【解析】(1)求得F(x)的導數(shù)，可得在x=1處的切線的斜率，由已知切線的方程，可得a，b的方程組，求得a，b；

(2)求得曲線C19.【答案】解：(Ⅰ)因為f′(x)=a1+x+2x?10

所以f′(3)=a4+6?10=0，

因此a=16．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

f(x)=16