專(zhuān)題6.2等差數(shù)列-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)寶典（新高考專(zhuān)用）

第六章數(shù)列專(zhuān)題6.2等差數(shù)列理解等差數(shù)列的概念.n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)知識(shí)梳理1．等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù)d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱(chēng){an}為等差數(shù)列，其中d稱(chēng)為等差數(shù)列的公差．(2)等差中項(xiàng)如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱(chēng)A為x與y的等差中項(xiàng)，且有A＝eq\f(x＋y,2).2．等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．第一部分核心典例題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算1．在數(shù)列中，，，，則18是數(shù)列中的（

）A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】C【詳解】由，得是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，令，解得，所以18是數(shù)列中的第5項(xiàng)．故選：C2．在數(shù)列中，，，則（

）A．121 B．100 C．81 D．64【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，故?shù)列是公差為的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，則.故選：C3．在數(shù)列中，，，，則的值為（

）A．23 B．17 C．19 D．21【答案】D【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)，所以故選：D.4．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.故選：D5．首項(xiàng)為的等差數(shù)列，中從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，，所以，即，解得，所以公差的取值范圍為.故選：D.題型二等差數(shù)列的判定與證明6．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞減數(shù)列B．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列C．若數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則數(shù)列一定為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則仍為等比數(shù)列；【答案】A【詳解】若數(shù)列的公差，即，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，A選項(xiàng)正確；若數(shù)列的前項(xiàng)和，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有，但，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有，但，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列不一定為等差數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；數(shù)列是等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，當(dāng)公比，為偶數(shù)時(shí)，則均為0，不為等比數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則是（

）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列【答案】A【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，，得，當(dāng)時(shí)，適合上式，因?yàn)?，所以該?shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：A8．已知數(shù)列滿(mǎn)足，那么（

）．A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列【答案】D【詳解】由得，，，故，即有故數(shù)列是等差數(shù)列，故選：D9．現(xiàn)有下列命題：①若，則數(shù)列是等差數(shù)列；②若，則數(shù)列是等差數(shù)列；③若（b、c是常量），則數(shù)列是等差數(shù)列．其中真命題有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】由，得，滿(mǎn)足等差數(shù)列的定義，故①正確；，不是常數(shù)，不滿(mǎn)足等差數(shù)列的定義，故②錯(cuò)誤；，，，滿(mǎn)足等差數(shù)列的定義，故③正確.故選：C10．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則此數(shù)列是（

）A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列【答案】A【詳解】由條件可知，所以數(shù)列是常數(shù)列，，所以，即，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.故選：A題型三等差數(shù)列的性質(zhì)11．已知是等差數(shù)列，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72【答案】B【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得，解得；所以可得，故選：B12．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．13 B．26 C．39 D．52【答案】D【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得，所以．故選：D．13．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，，即，解得，所以（為等差數(shù)列的公差）.故選：D.14．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（

）A．60 B．50 C． D．30【答案】D【詳解】由和，由于為等差數(shù)列，且，所以當(dāng)時(shí)，,故的最大值為，故選：D15．已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿(mǎn)足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，又，解得或，又是遞增數(shù)列，所以，，.故選：C.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．設(shè)數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列，若，，，則數(shù)列的第37項(xiàng)為（

）A．1 B．0 C．100 D．3700【答案】C【詳解】根據(jù)題意，，又?jǐn)?shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以數(shù)列的第37項(xiàng)為100.故選：C.2．已知數(shù)列，通項(xiàng)公式為，那么的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，，前項(xiàng)和取到最小值時(shí)，，故選：B3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且，，則（

）A．2 B．2 C．4 D．6【答案】B【詳解】設(shè)公差為，則，，聯(lián)立可得，故.故選：B4．在數(shù)列中，，，則的值為（

）A．99 B．201 C．102 D．101【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，且公差為，又，所以，故選：B．5．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】C【詳解】由題意得，所以，所以.故選：C.6．在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人分十七，要作第八數(shù)來(lái)言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤(pán)纏．按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多分17斤綿．則年齡最小的兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤【答案】C【詳解】設(shè)個(gè)兒子按年齡從小到大依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列為公差為的等差數(shù)列.因?yàn)榫d的總數(shù)為斤，所以，解得.故選：C.7．已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，故.故選：A.8．已知數(shù)列和均為等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列，又因?yàn)槭顷P(guān)于n的一次式，可得，則，所以.故選：B．二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．最大 C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)?，所以，得，即，則A正確.當(dāng)時(shí)，，則，最小，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，所以，?duì)稱(chēng)軸為，所以，則C錯(cuò)誤.因?yàn)椋訢正確.故選：AD10．公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．時(shí)，的最小值為2022C．有最大值 D．時(shí)，的最大值為4043【答案】CD【詳解】對(duì)于：由可得，故等差數(shù)列的公差，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由A得，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，故時(shí)，的最小值為2023，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由A得，，故是關(guān)于的開(kāi)口向下的二次函數(shù)，其有最大值，沒(méi)有最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閿?shù)列的前2022項(xiàng)均為正數(shù)，且，，時(shí)，的最大值為4043，故D正確故選：CD三、填空題11．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，.故答案為：.12．等差數(shù)列中，，則的前9項(xiàng)和為【答案】90【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?故答案為：90四、解答題13．已知等差數(shù)列中的前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，記，求數(shù)列的前40項(xiàng)的和.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，即解得或，所以或；（2）因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，，，，所以；所以.14．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的前21項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)公差為，由題設(shè)有，解得，，所以.（2）由題設(shè)，.所以數(shù)列的前21項(xiàng)和為211.15．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（