2023-2024學(xué)年銀川市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考后提升卷（一）附答案解析

-2024學(xué)年銀川市高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考后提升卷（一）2024.4注意事項(xiàng)：本試卷共19題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間為120分鐘。答案寫(xiě)在答題卡上的指定位置?？荚嚱Y(jié)束后，交回答題卡。第I卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題中正確的是（

）A．零向量沒(méi)有方向 B．共線(xiàn)向量一定是相等向量C．若向量，同向，且，則 D．單位向量的模都相等2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模是（

）A． B． C． D．3．已知向量，滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．4．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，為底面的圓心，其側(cè)面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．5．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（

）A． B．或C． D．或6．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P，Q分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．2 B． C． D．7．在中，命題，命題，則P是Q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．如圖，風(fēng)景秀美的寶湖公園有一顆高大的銀杏樹(shù)，某研究小組為測(cè)量樹(shù)的高度，在地面上選取了兩點(diǎn)，從兩點(diǎn)測(cè)得樹(shù)尖的仰角分別為和，且兩點(diǎn)間的距離為，則這顆銀杏樹(shù)的高度為（）.A. B. C. D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)符合題意的選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)符合題意的選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分。9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．設(shè)則是純虛數(shù)的充要條件是B．復(fù)數(shù)與在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別在軸上方和下方C．設(shè)復(fù)數(shù)與滿(mǎn)足，則D．若復(fù)數(shù)與滿(mǎn)足，則10．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在方向上的投影向量為B．C．若函數(shù)，則函數(shù)的最大值為D．11．在四棱錐中，已知，，且，則（

）A．四棱錐的體積的取值范圍是B．的取值范圍是C．四棱錐的外接球的表面積的最小值為8πD．與平面所成角的正弦值可能為第II卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于.13．已知，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，，，若與共線(xiàn)，則．14．如圖，一個(gè)水平放置的四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．(本小題13分)已知夾角為，且，求：(1)；（4分）(2)；（4分）(3)與的夾角.（5分）16．(本小題15分)如圖，在梯形中，，，，，過(guò)點(diǎn)作，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．(1)求此旋轉(zhuǎn)體的體積．（7分）(2)求此旋轉(zhuǎn)體的表面積．（8分）17．(本小題15分)已知向量，.(1)當(dāng)k為何值時(shí)，與垂直？（7分）(2)若，，且三點(diǎn)共線(xiàn)，求的值.（8分）18．(本小題15分)在中，已知，，，(1)求角（4分）(2)若角為銳角，求邊；（5分）(3)求．（6分）19．(本小題17分)將所有平面向量組成的集合記作．如果對(duì)于向量，存在唯一的向量與之對(duì)應(yīng)，其中坐標(biāo)由確定，則把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記為或者，簡(jiǎn)記為．例如就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．若在的條件下有最大值，則稱(chēng)此最大值為對(duì)應(yīng)關(guān)系的模，并把的模記作；若存在非零向量及實(shí)數(shù)使得，則稱(chēng)為的一個(gè)特征值．(1)如果，求；（4分）(2)如果，計(jì)算的特征值，并求相應(yīng)的；（6分）(3)若，要使有唯一的特征值，實(shí)數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？試找出一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①有唯一的特征值，②，并驗(yàn)證滿(mǎn)足這兩個(gè)條件．（7分）答案解析1．D【分析】根據(jù)零向量，單位向量，相等向量的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：模為的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：相等向量要求方向相同且模長(zhǎng)相等，共線(xiàn)向量不一定是相等向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：向量不可以比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：?jiǎn)挝幌蛄康哪?，都相等，故D正確.2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念與求模公式計(jì)算即可.【詳解】由，所以.3．C【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合條件即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以?．C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于，可求得圓錐的底面圓半徑，再由體積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，由母線(xiàn)長(zhǎng)為2，側(cè)面積等于，得，解得，因此圓錐的高，所以該圓錐的體積為．5．D【分析】利用正弦定理求出，從而求出.【詳解】由正弦定理，得，解得，又，所以或.6．C【分析】如圖，的周長(zhǎng)為，根據(jù)余弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】如圖，將以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)到與平面同一個(gè)平面，由，得，所以，又，所以的周長(zhǎng)為，又，所以，在中，由余弦定理得，，即的周長(zhǎng)的最小值為.7．B【分析】根據(jù)三角恒等變換解命題P可得A，B，C必有一個(gè)為直角；根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算與垂直關(guān)系的向量表示解命題Q可得A為直角，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳解】命題P：由，及，得，∴，得，則，，必有一個(gè)為0，∴A，B，C必有一個(gè)為直角．命題Q：由得，即，得，即，∴A為直角，故P是Q的必要不充分條件.8．如圖，風(fēng)景秀美的寶湖公園有一顆高大的銀杏樹(shù)，某研究小組為測(cè)量樹(shù)的高度B【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即得.【詳解】在中，，，由正弦定理得，則，在中，，因此，所以這顆銀杏樹(shù)的高度為.9．ABD【分析】A.由一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是實(shí)部為0且虛部不為0判斷；B.由實(shí)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上判斷；C.由得到與都是實(shí)數(shù)判斷；D.分實(shí)數(shù)和虛數(shù)判斷.【詳解】解：一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是實(shí)部為0且虛部不為0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；實(shí)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；說(shuō)明與都是實(shí)數(shù)，所以C正確；選項(xiàng)對(duì)實(shí)數(shù)成立，但對(duì)虛數(shù)未必成立．如但不成立.10．BD【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可判斷B；由投影向量的定義可判斷A；將用數(shù)量積化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)判斷C；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，可分析D.【詳解】對(duì)于B，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，正八邊形的內(nèi)角為，則外角為，即，所以，因此，，故B正確；對(duì)于A，由圖可知，，因此在方向上的投影向量即為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖可知，，，所以由題意可知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，因此，易知當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最大值，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，取得最小值，即，故D正確.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求數(shù)量積關(guān)鍵是進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合平面幾何的知識(shí)求出的取值范圍.11．BC【分析】利用棱錐的體積公式計(jì)算可判定A，利用余弦定理可判定B，利用四棱錐與球的特征確定球半徑在平面時(shí)最小計(jì)算即可判定C，利用P的特殊情況分析線(xiàn)面角的范圍即可判定D.【詳解】由已知可得，四邊形ABCD是上底為1，下底為2，底角為60°的等腰梯形，所以，．對(duì)于A，當(dāng)平面時(shí)，四棱錐的高最大，則體積最大，所以最大體積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，由題設(shè)易知，易知在以D為圓心且與垂直的圓面上（不在平面上），半徑為2，若在平面上時(shí)，當(dāng)與分別在直線(xiàn)的兩側(cè)，此時(shí)最大，當(dāng)與分在線(xiàn)的同側(cè)，此時(shí)最小，所以，用余弦定理可知，則其取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，易知底面的外接圓圓心為的中點(diǎn)，而球心O必在過(guò)E且垂直于底面的直線(xiàn)上，設(shè)與底面夾角為，如下圖所示，P在底面的投影為G，則，過(guò)O作，設(shè)，則有，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)，平面，即球心為中點(diǎn)，故外接球的表面積的最小值為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)與平面所成角為，當(dāng)平面時(shí)，過(guò)B作，易知，計(jì)算可得，所以，當(dāng)P靠近平面時(shí)，θ趨向于0，所以存在某個(gè)P點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抓住P點(diǎn)的軌跡即以D為圓心2為半徑的圓面，且始終垂直于來(lái)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.12．第四象限【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出復(fù)數(shù)，再求出即可得解.【詳解】依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.13．/【分析】根據(jù)給定條件，利用共線(xiàn)向量定理求出即得.【詳解】由向量，不共線(xiàn)，得，由向量與共線(xiàn)，得，則，所以.14．【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則求出，判斷四邊形的形狀，確定，由此求出面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測(cè)畫(huà)法可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以原四邊形的面積是，15．(1)(2)12(3)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和，可求（2）根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求值.（3）欲求向量的夾角，應(yīng)先求兩向量的數(shù)量積，再求兩向量的模，根據(jù)求夾角的余弦，再求夾角.【詳解】（1），所以.（4分）（2）.（4分）（3）（2分）所以，所以.（3分；公式1分，結(jié)果1分）16．(1)(2)【分析】（1）旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐，由此能求出旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）先求出圓柱的側(cè)面積、底面積，再求出圓錐的側(cè)面積、底面積和旋轉(zhuǎn)體上底面的面積，由此能求出結(jié)果.【詳解】（1）旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐，，（1分）所以小圓錐的半徑，（1分）圓柱的體積（2分）圓錐的體積（2分）旋轉(zhuǎn)體的體積；（1分）（2）圓柱的側(cè)面積（1分）圓錐的側(cè)面積（1分）圓柱的底面積，（1分）圓錐的底面積（1分）旋轉(zhuǎn)體上底面的面積（2分）旋轉(zhuǎn)體的表面積.（2分）17．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.（2）利用平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】（1）易知，，（2分）若與垂直，則，解得，（3分）故當(dāng)時(shí)，與垂直.（2分）（2）若三點(diǎn)共線(xiàn)，則與共線(xiàn)，（2分）由題意得，，（2分）可得，解得，（3分）故的值為.（1分）18．(1)或(2)(3)或【分析】（1）由正弦定理得，求出或，檢驗(yàn)后得到答案；（2）求出，利用正弦和角公式求出，由正弦定理得到；（3）利用三角形面積公式得到答案.【詳解】（1）由正弦定理得，即，（2分）故，其中，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿(mǎn)足要求；（2分；經(jīng)檢驗(yàn)1分，未寫(xiě)扣分）（2）角為銳角，則，故，（1分）其中，（2分）由正弦定理得，即，（1分）解得；（1分）（3）當(dāng)時(shí)，由（2）知，（1分）；（1分）當(dāng)時(shí)，（1分），（1分）；（2分）綜上，或.（寫(xiě)出不給分，未寫(xiě)扣1分）19．(1)(2)，其中且(3)，答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，可求得，可求得.（2）利用向量相等的條件可得，進(jìn)而可求得，進(jìn)而可得其中且．（3）利用，可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可證明當(dāng)時(shí)，有唯一的特征值，且．【詳解】（1）由題意（1分），所以，當(dāng)時(shí)，，（2分）最大值也為2，所以．（1分）（2）由（1分），可得：，（2分）解此方程組可得：，解得．（1分）當(dāng)時(shí)，解方程組，此時(shí)這兩個(gè)方程是同一個(gè)方程，（