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第13講獨(dú)立性檢驗(yàn)3種??碱}型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一:2×2列聯(lián)表設(shè)X,Y為兩個(gè)變量,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下:y1y2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d考點(diǎn)二:獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測(cè)值(其中n=a+b+c+d為樣本容量)來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).考點(diǎn)三:當(dāng)χ2>3.841時(shí),有95%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān);當(dāng)χ2>6.635時(shí),有99%的把握說(shuō)事件A與B有關(guān);當(dāng)χ2≤3.841時(shí),認(rèn)為事件A與B是無(wú)關(guān)的.【題型目錄】題型一:2×2列聯(lián)表題型二:等高條形圖題型三:獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題【典型例題】題型一:2×2列聯(lián)表【例1】下列是關(guān)于出生男嬰與女?huà)胝{(diào)查的列聯(lián)表晚上白天總計(jì)男嬰45AB女?huà)隕35C總計(jì)98D180那么__________.【答案】82【分析】根據(jù)列聯(lián)表,可得方程,解之即可得到結(jié)論.【詳解】解:由題意,,,,,,,,,故答案為:82.【例2】如表是列聯(lián)表,則表中的?的值分別為(
)合計(jì)835113445合計(jì)4280A.27?38 B.28?38 C.27?37 D.28?37【答案】A【分析】根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),補(bǔ)全表格,即可判斷選項(xiàng).【詳解】解:,.故選:A.【例3】假設(shè)有兩個(gè)變量x與y的列聯(lián)表如下表:abcd對(duì)于以下數(shù)據(jù),對(duì)同一樣本能說(shuō)明x與y有關(guān)系的可能性最大的一組為(
)A.,,, B.,,,C.,,, D.,,,【答案】B【分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的值,最大的即對(duì)同一樣本能說(shuō)明x與y有關(guān)系的可能性最大.【詳解】對(duì)于A,,對(duì)于B,,對(duì)于C,,對(duì)于D,顯然B中最大,該組數(shù)據(jù)能說(shuō)明x與y有關(guān)系的可能性最大,故選:B.【題型專練】1.為了解某大學(xué)的學(xué)生是否愛(ài)好體育鍛煉,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學(xué)生,得到如下列聯(lián)表:男女總計(jì)愛(ài)好ab73不愛(ài)好c25總計(jì)74則等于(
)A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【分析】根據(jù)列聯(lián)表,先求出、和的值,再計(jì)算的值.【詳解】解:根據(jù)題意,可得;,,,即列聯(lián)表為:男女總計(jì)愛(ài)好522173不愛(ài)好222547總計(jì)7446120.故選:.2.某村莊對(duì)該村內(nèi)名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示:每年體檢每年未體檢合計(jì)老年人年輕人合計(jì)已知抽取的老年人、年輕人各名,則對(duì)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)誤的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題中信息可得出關(guān)于、、、、、的等式,進(jìn)而可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意得,,,,,,所以,,,,,則.故選:D.3.假設(shè)有兩個(gè)分類變量與的列聯(lián)表如下表:對(duì)于以下數(shù)據(jù),對(duì)同一樣本能說(shuō)明與有關(guān)系的可能性最大的一組為(
)A.,,, B.,,,C.,,, D.,,,【答案】D【分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的,比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于兩個(gè)分類變量與而言,的值越大,說(shuō)明與有關(guān)系的可能性最大,對(duì)于A選項(xiàng),,對(duì)于B選項(xiàng),,對(duì)于C選項(xiàng),,對(duì)于D選項(xiàng),,顯然D中最大,故選:D.題型二:等高條形圖【例1】為了解戶籍性別對(duì)生育二胎選擇傾向的影響,某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為100的調(diào)查樣本,其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人,男性40人,女性60人,繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖(如圖所示),其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對(duì)應(yīng)比例,則關(guān)于樣本下列敘述中正確的是(
)A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍無(wú)關(guān)B.是否傾向選擇生育二胎與性別有關(guān)C.傾向選擇生育二胎的人員中,男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.傾向選擇不生育二胎的人員中,農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【答案】D【分析】結(jié)合所給比例圖,依次分析判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A,城鎮(zhèn)戶籍中選擇生育二胎,農(nóng)村戶籍中選擇生育二胎,相差較大,則是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,男性和女性中均有選擇生育二胎,則是否傾向選擇生育二胎與性別無(wú)關(guān),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由于男性和女性中均有選擇生育二胎,但樣本中男性40人,女性60人,則傾向選擇生育二胎的人員中,男性人數(shù)與女性人數(shù)不同,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,傾向選擇不生育二胎的人員中,農(nóng)村戶籍有人,城鎮(zhèn)戶籍有人,農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù),D正確.故選:D.【例2】觀察下面頻率等高條形圖,其中兩個(gè)分類變量x,y之間的隨機(jī)變量的觀測(cè)值最小的是(
)A.B.C.D.【答案】B【分析】直接由等高條形圖中所占比例相差越小,隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小判斷即可.【詳解】等高的條形圖中所占比例相差越小,隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小.故選:B.【例3】在統(tǒng)計(jì)中,研究?jī)蓚€(gè)分類變量是否存在關(guān)聯(lián)性時(shí),常用的圖表有(
)A.散點(diǎn)圖和殘差圖 B.殘差圖和列聯(lián)表C.散點(diǎn)圖和等高堆積條形圖 D.等高堆積條形圖和列聯(lián)表【答案】D【分析】根據(jù)這些統(tǒng)計(jì)量的定義逐個(gè)分析判斷【詳解】散點(diǎn)圖是研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系,列聯(lián)表是研究?jī)蓚€(gè)分類變量的,殘差圖是體現(xiàn)預(yù)報(bào)變量與實(shí)際值間的差距,等高堆積條形圖能直觀的反映兩個(gè)分類變量的關(guān)系,故選:D【例4】某藝術(shù)館為了研究學(xué)生性別和喜歡國(guó)畫(huà)之間的聯(lián)系,隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(其中有男生50名,女生30名),并繪制等高條形圖,則這80名學(xué)生中喜歡國(guó)畫(huà)的人數(shù)為(
)A.24 B.32 C.48 D.58【答案】D【分析】根據(jù)等高條形圖計(jì)算直接得出結(jié)果.【詳解】由等高條形圖可知,這80名學(xué)生中喜歡國(guó)畫(huà)的人數(shù)為:.故選:D【例5】為了解某高校學(xué)生使用手機(jī)支付和現(xiàn)金支付的情況,抽取了部分學(xué)生作為樣本,統(tǒng)計(jì)其喜歡的支付方式,并制作出如下等高條形圖(如圖),根據(jù)圖中的信息,下列結(jié)論中不正確的是()A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量B.樣本中喜歡手機(jī)支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量C.樣本中多數(shù)男生喜歡現(xiàn)金支付D.樣本中多數(shù)女生喜歡手機(jī)支付【答案】C【分析】根據(jù)兩幅圖的信息,逐個(gè)分析判斷即可【詳解】解:對(duì)于A,由左圖可知,樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量,所以A正確;對(duì)于B,由右圖可知,樣本中喜歡手機(jī)支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量,所以B正確;對(duì)于C,由右圖可知,樣本中多數(shù)男生喜歡手機(jī)支付,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由右圖可知,樣本中多數(shù)女生喜歡手機(jī)支付,所以D正確,故選:C【題型專練】1.我國(guó)目前部分普通高中學(xué)生在高一升高二時(shí)面臨著選文理科的問(wèn)題,某學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本,制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖根據(jù)這兩幅圖中的信息,下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論正確的是(
)A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量B.樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量少于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量C.對(duì)理科有意愿的男生人數(shù)多于對(duì)文科有意愿的男生人數(shù)D.對(duì)文科有意愿的女生人數(shù)多于對(duì)理科有意愿的女生人數(shù)【答案】C【分析】由等高條形圖的特點(diǎn)和性質(zhì)進(jìn)行判斷,【詳解】由等高堆積條形圖1可知,不管是文科還是理科,女生占比均高于男生,故樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量,A錯(cuò)誤;從圖2可以看出男生和女生中選擇理科的人數(shù)均高于選擇文科的人數(shù),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)中利用等高條形圖判斷兩個(gè)變量之間的差異,屬于基礎(chǔ)題.2.“微信”和“QQ”是騰訊社交體系中的兩款產(chǎn)品,小明為了解不同群體對(duì)這兩款產(chǎn)品的首選情況,統(tǒng)計(jì)了周?chē)蠋熀屯瑢W(xué)關(guān)于首選“微信”或“QQ”的比例,得到如圖等高條形圖.根據(jù)等高條形圖中的信息,可判斷下列說(shuō)法正確的是(
)A.對(duì)老師而言,更傾向于首選“微信”B.對(duì)學(xué)生而言,更傾向于首選“QQ”C.首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)多D.如果首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)多,則小明統(tǒng)計(jì)的老師人數(shù)一定比學(xué)生多【答案】A【分析】先識(shí)圖再結(jié)合圖象進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理逐一檢驗(yàn)即可得解.【詳解】解:A對(duì)老師群體而言,首選“微信”與首選“QQ”的比例為:,故對(duì)老師而言,更傾向于首選“微信”,即A正確,B對(duì)學(xué)生群體而言,首選“微信”與首選“QQ”的比例為:,故對(duì)學(xué)生而言,更傾向于首選“微信”,即B錯(cuò)誤,C由于老師群體與學(xué)生群體人數(shù)不定,即首選“微信”的老師比首選“微信”的同學(xué)無(wú)法比較,即C錯(cuò)誤,D設(shè)老師群體人,學(xué)生群體人,則有,即,則小明統(tǒng)計(jì)的老師人數(shù)不一定比學(xué)生多,即D錯(cuò)誤,綜上所述得:A正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查等高條形圖及結(jié)合圖象進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,屬簡(jiǎn)單題.3.(多選)2018年12月1日,貴陽(yáng)市地鐵1號(hào)線全線開(kāi)通,在一定程度上緩解了市內(nèi)交通的擁堵?tīng)顩r.為了了解市民對(duì)地鐵1號(hào)線開(kāi)通的關(guān)注情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)在地鐵開(kāi)通后的某兩天抽取了部分乘坐地鐵的市民作為樣本,分析其年齡和性別結(jié)構(gòu),并制作出如下等高條形圖:根據(jù)圖中(35歲以上含35歲)的信息,下列結(jié)論中一定正確的是(
)A.樣本中男性比女性更關(guān)注地鐵1號(hào)線全線開(kāi)通B.樣本中多數(shù)女性是35歲以上C.樣本中35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多D.樣本中35歲以上的人對(duì)地鐵1號(hào)線的開(kāi)通關(guān)注度更高【答案】ABD【解析】根據(jù)等高條形圖數(shù)據(jù)分析即可依次判斷.【詳解】設(shè)等高條形圖對(duì)應(yīng)2×2列聯(lián)表如下:35歲以上35歲以下總計(jì)男性aca+c女性bdb+d總計(jì)a+bc+da+b+c+d根據(jù)第1個(gè)等高條形圖可知,35歲以上男性比35歲以上女性多,即a>b;35歲以下男性比35歲以下女性多,即c>d.根據(jù)第2個(gè)等高條形圖可知,男性中35歲以上的比35歲以下的多,即a>c;女性中35歲以下的比35歲以下的多,即b>d.對(duì)于A,男性人數(shù)為a+c,女性人數(shù)為b+d,因?yàn)閍>b,c>d,所以a+c>b+d,所以A正確;對(duì)于B,35歲以上女性人數(shù)為b,35歲以下女性人數(shù)為d,因?yàn)閎>d,所以B正確;對(duì)于C,35歲以下男性人數(shù)為c,35歲以上女性人數(shù)為b,無(wú)法從圖中直接判斷b與c的大小關(guān)系,所以C不一定正確;對(duì)于D,35歲以上的人數(shù)為a+b,35歲以下的人數(shù)為c+d,因?yàn)閍>c,b>d,所以a+b>c+d,所以D正確.故選:ABD.4.某校為研究該校學(xué)生性別與體育鍛煉的經(jīng)常性之間的聯(lián)系,隨機(jī)抽取100名學(xué)生(其中男生60名,女生40名),并繪制得到如圖所示的等高堆積條形圖,則這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為_(kāi)______.【答案】68【分析】根據(jù)等高堆積條形圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,即可得到答案.【詳解】由等高堆積條形圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為:.故答案為:68題型三:獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題【例1】在研究某高中高三年級(jí)學(xué)生的性別與是否喜歡某學(xué)科的關(guān)系時(shí),總共調(diào)查了N個(gè)學(xué)生(),其中男女學(xué)生各半,男生中60%表示喜歡該學(xué)科,其余表示不喜歡;女生中40%表示喜歡該學(xué)科,其余表示不喜歡.若有99.9%把握認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān),則可以推測(cè)N的最小值為(
)附,A.400 B.300 C.200 D.100【答案】B【分析】根據(jù)題目列出列聯(lián)表,再根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算值,進(jìn)而得到關(guān)于的關(guān)系式,求解即可.【詳解】由題可知,男女各人,列聯(lián)表如下:喜歡不喜歡總計(jì)男30m20m50m女20m30m50m總計(jì)50m50m100m,有99.9%把握認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān),,解得,,,.故選:B【例2】(多選題)為預(yù)防近視,某校對(duì)“學(xué)生性別和喜歡躺著看書(shū)”是否有關(guān)做了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同,男生喜歡躺著看書(shū)的人數(shù)占男生人數(shù)的,女生喜歡躺著看書(shū)的人數(shù)占女生人數(shù)的,若有的把握認(rèn)為是否喜歡躺著看書(shū)和性別有關(guān),則調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)可能是(
)參考公式及數(shù)據(jù):,其中.附:A.8 B.10 C.12 D.14【答案】CD【分析】先設(shè)男生人數(shù)為,,列出列聯(lián)表,利用獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算觀測(cè)值,再結(jié)合觀測(cè)值列關(guān)系式可得答案.【詳解】解:由題意被調(diào)查的男女生人數(shù)相同,設(shè)男生的人數(shù)為:,,由題意可列出列聯(lián)表:男生女生合計(jì)喜歡躺著看書(shū)2m不喜歡躺著看書(shū)合計(jì).由于有的把握認(rèn)為是否喜歡躺著看書(shū)和性別有關(guān),所以;解得:,因?yàn)?,故的可能取值為?2,13,14,15,16,17,18,19,即男生的人數(shù)可以是:12,13,14,15,16,17,18,19,所以選項(xiàng)AB錯(cuò)誤,選項(xiàng)CD正確故選:CD.【例3】某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量,在該批棉花中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本,測(cè)量每個(gè)樣本棉花的纖維長(zhǎng)度(單位:mm,纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間內(nèi),將其按組距為2分組,制作成如圖所示的頻率分布直方圖,其中纖維長(zhǎng)度不小于28mm的棉花為優(yōu)質(zhì)棉.(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于A,B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū),部分?jǐn)?shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表:A試驗(yàn)區(qū)B試驗(yàn)區(qū)合計(jì)優(yōu)質(zhì)棉10非優(yōu)質(zhì)棉30合計(jì)120將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A,B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系;(3)若從這批120個(gè)樣本棉花中隨機(jī)抽取3個(gè),其中有X個(gè)優(yōu)質(zhì)棉,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.注:①獨(dú)立性檢驗(yàn)的臨界值表:②,其中.【答案】(1)(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A,B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系;(3)X的分布列見(jiàn)解析,【分析】(1)利用頻率和為1列出關(guān)于a的方程,解之即可求得a的值;(2)先求得抽取的優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為30,進(jìn)而求得非優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為90,進(jìn)而補(bǔ)全表格;求得的值并與進(jìn)行大小比較即可得到是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A,B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系.(3)先求得X的各可能取值的概率,進(jìn)而得到X的分布列;依據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義即可求得.【詳解】(1)由,解得(2)抽取的優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為則非優(yōu)質(zhì)棉樣本數(shù)為90,則2×2列聯(lián)表如下:A試驗(yàn)區(qū)B試驗(yàn)區(qū)合計(jì)優(yōu)質(zhì)棉102030非優(yōu)質(zhì)棉603090合計(jì)7050120則沒(méi)有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A,B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系.(3)X的可能取值為0,1,2,3則,,則X的分布列如下:X0123P數(shù)學(xué)期望.【例5】某校在高一部分學(xué)生中調(diào)查男女同學(xué)對(duì)某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)的喜好情況,其二維條形圖如圖(黑色代表喜歡,白色代表不喜歡,單位:人).(1)寫(xiě)出列聯(lián)表;(2)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān);(3)在這次調(diào)查中,從喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)的一名男生和兩名女生中任選兩人進(jìn)行專業(yè)培訓(xùn),求恰是一男一女的概率.附表及公式:,其中.【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析;(2)認(rèn)為喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān);(3)【分析】(1)由題圖數(shù)據(jù)列表(2)由公式計(jì)算卡方后判斷(3)由古典概型求解(1)觀察題中二維條形圖,可得被調(diào)查的男生總共45人,其中喜歡這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有15人,不喜歡的有30人;被調(diào)查的女生總共45人,其中喜歡這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的有5人,不喜歡的有40人.由此寫(xiě)出列聯(lián)表如下:?jiǎn)挝唬喝讼矚g不喜歡合計(jì)男153045女54045合計(jì)207090(2)零假設(shè)為:喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān).計(jì)算可得,所以依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立,因此可以認(rèn)為成立,即認(rèn)為喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān).(3)設(shè)喜歡這項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)的一名男生和兩名女生分別為,,.任選兩人的情況有,,,選一名男生和一名女生的情況有,,所以恰是一男一女的概率.【例6】隨著電商事業(yè)的發(fā)展和工作生活節(jié)奏的加快,人們的生活方式和生活理念正在發(fā)生巨大的改變.通過(guò)外賣(mài)App下單訂餐叫外賣(mài),正受到越來(lái)越多的市民尤其是青年上班族的喜愛(ài).為了解市民是否經(jīng)常利用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐,調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了人進(jìn)行抽樣分析,其中經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐的人數(shù)是基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐的人數(shù)的倍;歲以上經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐的人數(shù)和基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐的人數(shù)相等;歲及以下有人基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐.(1)請(qǐng)完善下面列聯(lián)表(單位:人),并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析經(jīng)常利用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐是否與年齡有關(guān)?經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐總計(jì)歲及以下歲以上總計(jì)(2)利用分層抽樣方法在經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐的市民中隨機(jī)抽取人,再?gòu)囊陨先酥须S機(jī)抽取人.記被抽取的人中“歲以上”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列和均值.附:,其中.臨界值表:【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,認(rèn)為經(jīng)常利用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于;(2)分布列見(jiàn)解析,均值.【分析】(1)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表,再運(yùn)用公式分析列聯(lián)表;(2)根據(jù)題意及公式求解隨機(jī)變量的分布列并計(jì)算期望得出結(jié)果.【詳解】解:(1)設(shè)基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐人數(shù)為,得所以基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐人數(shù)為人因?yàn)闅q及以下有15人基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐所以歲以上有10人基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐,歲以上有10人經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐歲及以下有40人經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐列聯(lián)表如下:經(jīng)常用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐基本不用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐總計(jì)歲及以下歲以上總計(jì)由列聯(lián)表可知,因?yàn)樗砸罁?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為經(jīng)常利用外賣(mài)平臺(tái)點(diǎn)餐與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于;(2)由題意可知,抽取的10人中“40歲以上”的市民有2人,的所有可能取值為,,,所以的分布列為012所以【題型專練】1.已知變量,由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的觀測(cè)值,的部分臨界值表如下:則最大有________的把握說(shuō)變量有關(guān)系.(填百分?jǐn)?shù))【答案】【分析】因?yàn)榈挠^測(cè)值,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈挠^測(cè)值的把握說(shuō)變量有關(guān)系.故答案為:2.為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì),充分展示當(dāng)代青少年積極健康向上的精神風(fēng)貌,某學(xué)校在校內(nèi)新開(kāi)設(shè)羽毛球課和健美操課,且每名同學(xué)只選一課.為了研究選課是否與性別有關(guān)系,現(xiàn)隨機(jī)抽取了高一年級(jí)200名學(xué)生選課情況(其中男生120人,女生80人).(1)完成下面的列聯(lián)表,判斷是否有的把握認(rèn)為選課與性別有關(guān),并說(shuō)明理由.羽毛球課健美操課合計(jì)男女48合計(jì)112(2)從上述120名男生中按選羽毛球課和選健美操課進(jìn)行分層抽樣,抽取6人,求從這6人中任取2人,至少有1人選擇了羽毛球課的概率.附:(參考公式:,其中【答案】(1)表格見(jiàn)解析,有,理由見(jiàn)解析;(2)【分析】(1)代入公式求得,再與7.879進(jìn)行比較即可解決;(2)列出所有基本事件,從中選出符合要求的基本事件,以古典概型解之即可.(1)列聯(lián)表如下:羽毛球課健美操課合計(jì)男8040120女324880合計(jì)11288200將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得
因?yàn)?,所以我們有的把握認(rèn)為選課與性別有關(guān)(2)因?yàn)槟猩羞x羽毛球課和選健美操課的人數(shù)之比為,所以用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為6的樣本,得到這6人中選羽毛球課的人數(shù)為4人,記為.選健美操課的人數(shù)為2人,記為.
從中任取兩人的所有基本事件為:共15種.其中至少有一人選擇了羽毛球課包含了14種,故所求的概率.3.為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì),普及冬奧知識(shí),某校開(kāi)展了“冰雪答題王”冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生,將他們的競(jìng)賽成績(jī)(滿分為100分)分為6組:,,,,,,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表),并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)(精確到0.01);(2)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:競(jìng)賽成績(jī)不低于80分為“優(yōu)秀”,競(jìng)賽成績(jī)低于80分為“非優(yōu)秀”.①請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”?②求出等高條形圖需要的數(shù)據(jù),并畫(huà)出等高條形圖(按圖中“優(yōu)秀”和“非優(yōu)秀”所對(duì)應(yīng)陰影線畫(huà)),利用條形圖判斷競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別是否有關(guān)系?列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生10女生50合計(jì)100參考公式及數(shù)據(jù):,,【答案】(1)平均成績(jī)73,中位數(shù)73.33;(2)①表格見(jiàn)解析,沒(méi)有;②答案見(jiàn)解析,有.【分析】(1)根據(jù)頻率直方圖,結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;(2)①根據(jù)頻率直方圖完成列聯(lián)表,結(jié)合題中所給的公式進(jìn)行求解即可;②根據(jù)列聯(lián)表畫(huà)出等高條形圖,再做出判斷即可.(1)這100名學(xué)生的平均成績(jī):,設(shè)成績(jī)的中位數(shù)為,則根據(jù)頻率分布直方圖可知,有,解得;(2)①根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)和頻率分布直方圖得下表優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)男生104050女生203050合計(jì)3070100根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得,因?yàn)?.762<6.635,所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.②根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可知,樣本中男生優(yōu)秀的頻率為,男生非優(yōu)秀的頻率為;女生優(yōu)秀的頻率,女生非優(yōu)秀的頻率為.所畫(huà)等高條形圖如圖所示:根據(jù)等高條形圖,比較圖中兩個(gè)用斜紋實(shí)線所畫(huà)條的高可以發(fā)現(xiàn),女生樣本中成績(jī)優(yōu)秀的頻率明顯高于男生樣本中成績(jī)優(yōu)秀的頻率,因此可以認(rèn)為競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān).4.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家在《“十四五”工業(yè)綠色發(fā)展規(guī)劃》中提出的“推動(dòng)綠色發(fā)展,促進(jìn)人與自然和諧共生”的號(hào)召,推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)高端化轉(zhuǎn)型,決定開(kāi)始投入生產(chǎn)某新能源配件.該企業(yè)初步用甲?乙兩種工藝進(jìn)行試產(chǎn),為了解兩種工藝生產(chǎn)新能源配件的質(zhì)量情況,從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取了件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè),得到下圖所示的頻率分布直方圖,規(guī)定質(zhì)量等級(jí)包含合格和優(yōu)等兩個(gè)等級(jí),綜合得分在的是合格品,得分在的是優(yōu)等品.(1)從這100件甲工藝所生產(chǎn)的新能源配件中按質(zhì)量等級(jí)分層抽樣抽取5件,再?gòu)倪@5件中隨機(jī)抽取2件做進(jìn)一步研究,求恰有1件質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)等品的概率;(2)根據(jù)頻率分布直方圖完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為新能源配件的質(zhì)量等級(jí)與生產(chǎn)工藝有關(guān)?該企業(yè)計(jì)劃大規(guī)模生產(chǎn)這種新能源配件,若你是該企業(yè)的決策者,你會(huì)如何安排生產(chǎn),為什么?合格品優(yōu)等品合計(jì)甲生產(chǎn)工藝乙生產(chǎn)工藝總計(jì)附:,其中.【答案】(1)(2)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析,有的把握認(rèn)為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān),選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件,理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出合格品?優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率,根據(jù)分層抽樣求出5個(gè)配件中,合格品和優(yōu)等品的件數(shù),再根據(jù)古典概型的概率公式可求出結(jié)果;(2)根據(jù)頻率分布直方圖求出合格品?優(yōu)等品的頻數(shù),可得列聯(lián)表,利用公式,其中,求出,對(duì)照臨界值表可得有的把握認(rèn)為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān).根據(jù)優(yōu)等品率可作出決策.【詳解】(1)由甲工藝頻率分布直方圖可知,合格品?優(yōu)等品出現(xiàn)的頻率分別為和,所以按分層抽樣抽取的5個(gè)配件中,有合格品2個(gè)?優(yōu)等品3個(gè),所以從5個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè),恰有1個(gè)質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)等品的概率為:.(2)甲生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有件,優(yōu)等品有件,乙生產(chǎn)工藝生產(chǎn)的合格品有件,優(yōu)等品有件,所以列聯(lián)表為:合格品優(yōu)等品總計(jì)甲生產(chǎn)工藝4060100乙生產(chǎn)工藝5545100總計(jì)95105200所以由于,所以有的把握認(rèn)為配件的質(zhì)量和生產(chǎn)工藝有關(guān).應(yīng)該選擇甲工藝生產(chǎn)新能源配件,因?yàn)榧椎膬?yōu)等品率為,乙的優(yōu)等品率僅為.5.為豐富學(xué)生的校園生活,提升學(xué)生的實(shí)踐能力和綜合素質(zhì)能力,培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好,某校計(jì)劃借課后托管服務(wù)平臺(tái)開(kāi)設(shè)書(shū)法興趣班,為了解學(xué)生對(duì)這個(gè)興趣班的喜愛(ài)情況,該校隨機(jī)抽取了該校名學(xué)生,調(diào)查他們對(duì)這個(gè)興趣班的喜愛(ài)情況,得到下面的2×2列聯(lián)表:喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)男女合計(jì)以調(diào)查得到的男、女學(xué)生喜歡書(shū)法興趣班的頻率代替概率.(1)完成題中的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為是否喜歡書(shū)法興趣班與性別有關(guān);(2)從該校喜歡書(shū)法興趣班的學(xué)生中,用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生,再?gòu)倪@名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,求這名學(xué)生中至少有名女學(xué)生的概率.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).【分析】(1)根據(jù)題意完成列聯(lián)表,并根據(jù)計(jì)算公式計(jì)算的值,比較判斷可得結(jié)論;(2)找到總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),和事件對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),代入古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算可得答案.【詳解】(1)完成列聯(lián)表如下:喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)男女合計(jì),所以有的把握認(rèn)為是否喜歡書(shū)法興趣班與性別有關(guān);(2)該校喜歡書(shū)法興趣班的學(xué)生中,男女生的比例為,用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生,所以男女生各有各學(xué)生,從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,記為事件,則總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是,全是男生的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是,所以這名學(xué)生中至少有名女學(xué)生的概率為.6.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一規(guī)格(直徑)的機(jī)器零件,為了比較這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件精度的差異,隨機(jī)選取了一個(gè)時(shí)間段,對(duì)該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的所有機(jī)器零件直徑的大小進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下:規(guī)定誤差不超過(guò)的零件為一級(jí)品,誤差大于的零件為二級(jí)品.附,其中.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異:一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)甲機(jī)床乙機(jī)床總計(jì)(2)以該時(shí)間段內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品的一級(jí)品和二級(jí)品的頻率代替概率,從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取2個(gè),從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè),比較甲、乙機(jī)床取到一級(jí)品個(gè)數(shù)的期望的大?。敬鸢浮?1)表格見(jiàn)解析,沒(méi)有;(2)甲的期望大.【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),可以得出兩機(jī)床一、二級(jí)品的數(shù)量,將得到的數(shù)據(jù)補(bǔ)充在列聯(lián)表中,根據(jù)公式即可解出的值;(2)由題意可設(shè)這2個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為X,3個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為Y,則隨機(jī)變量X,Y服從二項(xiàng)分布,根據(jù)二項(xiàng)分布,即可解出期望值,得出結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得,甲機(jī)床的二級(jí)品有19.7,20.3,共2個(gè),其余16個(gè)為一級(jí)品;乙機(jī)床的二級(jí)品有19.5,19.6,19.7,20.3,20.4,共5個(gè),其余7個(gè)為一級(jí)品.所以,列聯(lián)表如下:一級(jí)品二級(jí)品總計(jì)甲機(jī)床16218乙機(jī)床7512總計(jì)23730根據(jù)列聯(lián)表得,因?yàn)椋詻](méi)有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異.答:沒(méi)有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的機(jī)器零件的精度存在差異.(2)由(1)可知,從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取1個(gè),取到一級(jí)品的概率為,從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取1個(gè),取到一級(jí)品的概率為.從甲機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取2個(gè),設(shè)這2個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為X,從乙機(jī)床生產(chǎn)的零件中任取3個(gè),設(shè)這3個(gè)零件中一級(jí)品的個(gè)數(shù)為Y,則隨機(jī)變量X,Y服從二項(xiàng)分布,即,,所以,,所以甲的期望的大.答:甲的期望的大.7.2022年12月6日中國(guó)職業(yè)籃球聯(lián)賽將開(kāi)始第二階段比賽,某隊(duì)為了考察甲球員對(duì)籃球隊(duì)的貢獻(xiàn),通過(guò)對(duì)甲參加的50場(chǎng)比賽和末參加的50場(chǎng)比賽調(diào)查,得到如下等高堆積條形圖:(1)根據(jù)等高堆積條形圖,填寫(xiě)列聯(lián)表,并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析該球隊(duì)勝利與甲球員參賽是否有關(guān)甲參加比賽甲末參加比賽合計(jì)球隊(duì)勝球隊(duì)負(fù)合計(jì)(2)在訓(xùn)練過(guò)程中,甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練.已知甲控制球時(shí),傳給乙的概率為,傳給丙的概率為;乙控制球時(shí),傳給甲和丙的概率均為;丙控制球時(shí),傳給甲的概率為,傳給乙的概率為.若先由甲控制球,經(jīng)過(guò)3次傳球后,球員乙控制球的次數(shù)為,求的分布列與期望.附表及公式:.【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān);(2)分布列見(jiàn)解析,.【分析】(1)根據(jù)等高條形圖完成列聯(lián)表,利用表中數(shù)據(jù)計(jì)算出觀測(cè)值,與臨界值進(jìn)行比較即可求解.(2)根據(jù)已知條件寫(xiě)出隨機(jī)變量的取值,求出隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率,結(jié)合離散型隨機(jī)變量的期望公式即可求解.【詳解】(1)列聯(lián)表如下:甲參加比賽甲末參加比賽合計(jì)球隊(duì)勝453075球隊(duì)負(fù)52025合計(jì)5050100零假設(shè)為:球隊(duì)勝利與甲球員參賽無(wú)關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算得到,依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷不成立,即該球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān).(2)由題知的所有可能取值為,;;;所以的分布列為:012.8.北京時(shí)間2022年4月16日09時(shí)56分,神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸,神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)取得成圓滿成功.某校為了解本校學(xué)生對(duì)此新聞事件的關(guān)注度,從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查樣本中有80名女生.根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的等高堆積條形圖.關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生女生合計(jì)(1)完成上面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否關(guān)注“神州十三號(hào)飛船成功著陸”新聞事件與性別有關(guān).(2)從這200名學(xué)生里對(duì)“神州十三號(hào)飛船成功著陸”新聞事件不關(guān)注的學(xué)生中,按性別采用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生,再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人參與該新聞事件的學(xué)習(xí).求這2名學(xué)生不全是男生的概率.附:,其中.【答案】(1)答案見(jiàn)解析;(2)【分析】(1)利用條形圖進(jìn)行完成列聯(lián)表,根據(jù)所給的卡方公式,結(jié)合臨界值進(jìn)行求解判斷即可.(2)根據(jù)分層抽樣的性質(zhì),結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)女生中關(guān)注該新聞事件的人數(shù)為,不關(guān)注的女生人數(shù)為,男生中關(guān)注該新聞事件的人數(shù)為,不關(guān)注的男生人數(shù)為,列聯(lián)表如下:關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男生6060120女生206080合計(jì)80120200因?yàn)?,所以有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否關(guān)注“神州十三號(hào)飛船成功著陸”新聞事件與性別有關(guān);(2)因?yàn)樵诓魂P(guān)注該新聞事件中男生與女生的人數(shù)一樣多,所以這6人中男生與女生的人數(shù)也相同,因此這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2人參與該新聞事件的學(xué)習(xí).求這2名學(xué)生不全是男生的概率
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