2020年海南省新【高考】數(shù)學試題及答案

2020年海南省新【高考】數(shù)學試題及答案2020年海南省新【高考】數(shù)學試題及答案2020年海南省新【高考】數(shù)學試題及答案2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（海南）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1.設集合A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，則=（）A.{1，3，5，7} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{1，2，3，5，7，8}2.=（）A. B. C. D.3.在中，D是AB邊上的中點，則=（）A. B. C. D.4.日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°5.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56%C46% D.42%6.要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.2種 B.3種 C.6種 D.8種7.已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）9.我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復工復產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是（）A.這11天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;B.這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;C.第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%;D.第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;10.已知曲線.（）A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m=n>0，則C圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線11.下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）

A. B. C. D.12.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A. B.C. D.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________14.斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．15.將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．16.某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.19.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，20.如圖，四棱錐PABCD底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PDAD1，Q為上的點，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．21.已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.22.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（海南）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的）1.設集合A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，則=（）A.{1，3，5，7} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{1，2，3，5，7，8}【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集的運算可直接得到結果.【詳解】因為A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，所以故選：C【點睛】本題考查的是集合交集的運算，較簡單.2.=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接計算出答案即可.【詳解】故選：B【點睛】本題考查的是復數(shù)的計算，較簡單.3.在中，D是AB邊上的中點，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.【詳解】故選：C【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.4.日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【答案】B【解析】【分析】畫出過球心和晷針所確定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質定理和線面垂直的定義判定有關截線的關系，根據(jù)點處的緯度，計算出晷針與點處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；是晷針所在直線.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.故選：B【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查球體有關計算，涉及平面平行，線面垂直的性質，屬于中檔題.5.某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56%C.46% D.42%【答案】C【解析】【分析】記“該中學學生喜歡足球”為事件，“該中學學生喜歡游泳”為事件，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，然后根據(jù)積事件的概率公式可得結果.【詳解】記“該中學學生喜歡足球”事件，“該中學學生喜歡游泳”為事件，則“該中學學生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，則，，，所以所以該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為.故選：C【點睛】本題考查了積事件的概率公式，屬于基礎題.6.要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.2種 B.3種 C.6種 D.8種【答案】C【解析】【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.7.已知函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調遞增所以在上單調遞增所以故選：D【點睛】在求函數(shù)的單調區(qū)間時一定要先求函數(shù)的定義域.8.若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調性，得到函數(shù)在相應區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分類轉化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調遞減，且，所以在上也是單調遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）9.我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復工復產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是（）A.這11天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加;B.這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;C.第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%;D.第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯誤；注意考查第1天和第11天的復工復產(chǎn)指數(shù)的差的大小，可判定B錯誤；根據(jù)圖象，結合復工復產(chǎn)指數(shù)的意義和增量的意義可以判定CD正確.【詳解】由圖可知，第1天到第2天復工指數(shù)減少，第7天到第8天復工指數(shù)減少，第10天到第11復工指數(shù)減少，第8天到第9天復產(chǎn)指數(shù)減少，故A錯誤；由圖可知，第一天的復產(chǎn)指標與復工指標的差大于第11天的復產(chǎn)指標與復工指標的差，所以這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量小于復工指數(shù)的增量，故B錯誤;由圖可知，第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%，故C正確;由圖可知，第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量，故D正確;【點睛】本題考查折線圖表示的函數(shù)的認知與理解，考查理解能力，識圖能力，推理能力，難點在于指數(shù)增量的理解與觀測，屬中檔題.10.已知曲線.（）A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為D.若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】結合選項進行逐項分析求解，時表示橢圓，時表示圓，時表示雙曲線，時表示兩條直線【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).11.下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）

A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.12.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為____________【答案】【解析】【分析】利用計算即可.【詳解】因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點所以故答案為：【點睛】在求解三棱錐的體積時，要注意觀察圖形的特點，看把哪個當成頂點好計算一些.14.斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點坐標，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉化求得結果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得所以解法二：設，則,過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.故答案為：【點睛】本題考查拋物線焦點弦長，涉及利用拋物線的定義進行轉化，弦長公式，屬基礎題.15.將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結果.【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.16.某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】【解析】【分析】利用求出圓弧所在圓的半徑，結合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得.【詳解】設，由題意，，所以，因為,所以，因為，所以，因為與圓弧相切于點，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因為，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)在實際中應用，把陰影部分合理分割是求解的關鍵，以勞動實習為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】詳見解析【解析】【分析】解法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關系，根據(jù)比例關系，設出長度長度，由余弦定理得到的長度，根據(jù)選擇的條件進行分析判斷和求解.解法二：利用誘導公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得的值，得到角的值，然后根據(jù)選擇的條件進行分析判斷和求解.【詳解】解法一：由可得：，不妨設，則：，即選擇條件①的解析：據(jù)此可得：，，此時.選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：.選擇條件③的解析：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾.【點睛】在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．18.已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由題意得到關于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得數(shù)列的通項公式，然后結合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.【詳解】(1)設等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項公式為：.(2)由于：，故：.【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式是數(shù)列求和的基礎.19.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.20.如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PDAD1，Q為上的點，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理以及性質定理，證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，從而得到平面；（2）根據(jù)題意，建立相應的空間直角坐標系，得到相應點的坐標，設出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標，求得，即可得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則有，設，則有，因為QB=，所以有設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定和性質，線面垂直的判定和性質，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.21.已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)首先利用幾何關系找到三角形面積最大時點N的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合判別式確定點N到直線AM的距離即可求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當y=0時，解得，所以a=4，橢圓過點M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設與直線AM平行的直線方程為：，如圖所