專訓4-應用三角函數(shù)解實際問題的是四種常見問題

階段方法技巧訓練（二）專訓4應用三角函數(shù)解實際問題的四種常見問題習題課

在運用解直角三角形的知識解決實際問題時，要學會將千變?nèi)f化的實際問題轉化為數(shù)學問題，要善于將某些實際問題中的數(shù)量關系歸結為直角三角形中的元素(邊、角)之間的關系，若不是直角三角形，應嘗試添加輔助線，構造出直角三角形進行解答，這樣才能更好地運用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的應用問題，方向角的應用問題，坡度、坡角的應用問題要熟練掌握其解題思路，把握解題關鍵．1類型定位問題1．【中考·天津】某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美

景．如圖，游輪出發(fā)點A與望海樓B的距離為300m，

在A處測得望海樓B位于A的北偏東30°方向，游輪

沿正北方向行駛一段時間后到達C，在C處測得望海

樓B位于C的北偏東60°方向，求此時游輪與望海樓

之間的距離BC.(取1.73，結果

保留整數(shù))根據(jù)題意可知AB＝300m.如圖所示，過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D.在Rt△ADB中，因為∠BAD＝30°，所以BD＝

AB＝×300＝150(m)．在Rt△CDB中，因為sin∠DCB＝

，所以BC＝≈173(m)．答：此時游輪與望海樓之間的距離BC約為173m.解：本題也可過C作CD⊥AB于D，由已知得BC＝AC，則AD＝

AB＝150m，所以在Rt△ACD中，AC＝

≈173(m)．所以BC＝AC≈173m.2．如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE

＝45°，壩高BE＝20米．汛期來臨，為加大水壩的

防洪強度，將壩底從A處向后水平延伸到F處，使新

的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的長度.(結果精

確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)2類型坡壩問題在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，∴AE＝20米．在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，∴EF＝(米)．∴AF＝EF－AE＝20－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．即AF的長度約是15米．解：3測距問題類型3．【2017·呼和浩特】如圖，地面上小山的兩側有A，B

兩地，為了測量A，B兩地的距離，讓一熱氣球從小

山西側A地出發(fā)沿與AB成30°角的方向，以每分鐘40m的速度直線飛行，10分鐘后到達C處，此時熱氣

球上的人測得CB與AB成70°角，請你用測得的數(shù)據(jù)

求A，B兩地的距離AB長．(結果用

含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示

即可)如圖，過點C作CM⊥AB交AB延長線于點M.由題意得，AC＝40×10＝400(m)．在Rt△ACM中，∵∠A＝30°，∴CM＝

AC＝200m，AM＝

AC＝200m.在Rt△BCM中，∠CBM＝70°，∴∠BCM＝20°.∴BM＝CM·tan20°.∴AB＝AM－BM＝200－200tan20°＝200(－tan20°)m，因此A，B兩地的距離AB長為200(－tan20°)m.解：4測高問題類型4．【2016·海南】如圖，在大樓AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小紅在斜坡下的點C處

測得樓頂B的仰角為60°，在斜坡上的點D處測得樓

頂B的仰角為45°，其中點A，C，E在同一直線上.(1)求坡角CD的高度DE；(2)求大樓AB的高度．(結果保留根號)(1)在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∠DEC＝90°，∴DE＝

DC＝2(米)．(2)如圖，過點D做DF⊥AB，交AB于點F，則∠BFD＝90°，∠BDF＝45°，∴∠DBF＝45°，即△BFD為等腰直角三角形.設BF＝DF＝x米，∵四邊形DEAF為矩形，

∴AF＝DE＝2米，即AB＝(x＋2)米，解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴BC＝(米)，∵∠DCE＝30°，∠ACB＝60°，∴∠DCB＝90°，在Rt△BCD中，BD＝

BF＝