兩點(diǎn)弦方程在拋物線中的應(yīng)用-以2021年全國(guó)乙卷理科第21題為例

兩點(diǎn)弦方程在拋物線中的應(yīng)用——以2021年全國(guó)乙卷理科第21題為例弦是連接曲線上兩點(diǎn)的線段，而拋物線是一種常見的曲線，在許多實(shí)際應(yīng)用中都有廣泛的應(yīng)用。2021年全國(guó)乙卷理科第21題給出了一個(gè)應(yīng)用了弦方程的拋物線問(wèn)題，我們將從以下幾個(gè)方面展開討論：拋物線的基本概念與性質(zhì)、弦方程的推導(dǎo)、題目中的具體應(yīng)用，以及對(duì)這道題目的深入思考和啟示。首先我們來(lái)了解一下拋物線的基本概念與性質(zhì)。拋物線是由平面上一點(diǎn)P到一條給定的直線l的距離與P到一個(gè)定點(diǎn)F的距離相等而得到的軌跡，其中的定點(diǎn)F稱為焦點(diǎn)，給定的直線l稱為準(zhǔn)線。拋物線的特點(diǎn)是對(duì)稱性，即它關(guān)于準(zhǔn)線的中點(diǎn)O對(duì)稱。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以表示為y^2=4ax或x^2=4ay，其中a是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。接下來(lái)我們來(lái)推導(dǎo)一下弦方程。設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），我們要求這兩點(diǎn)所在弦的方程。我們知道，弦的斜率等于兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之差的比值，即m=(y2-y1)/(x2-x1)。設(shè)弦的方程為y=kx+b，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得到y(tǒng)1=kx1+b，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)得到y(tǒng)2=kx2+b。由此得出方程組：（1）y1=kx1+b（2）y2=kx2+b解方程組得到k和b的值，進(jìn)而得到弦的方程。在具體的題目應(yīng)用中，我們以2021年全國(guó)乙卷理科第21題為例，題目如下：已知過(guò)拋物線y=2x^2-4x+1的焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是6，過(guò)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)M（t^2-1，2t）作弦MN與拋物線交于點(diǎn)N。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的位置變動(dòng)時(shí)，過(guò)N點(diǎn)的弦所在直線的斜率的取值范圍是____。首先根據(jù)題目給出的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6，我們可以得到焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6，由此可以求得焦點(diǎn)是（1，6）。接下來(lái)我們求動(dòng)點(diǎn)M所在的直線與拋物線的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）。由于點(diǎn)在拋物線上，所以滿足拋物線的方程：y=2x^2-4x+1。同時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以滿足直線的方程：y=2tx-t^2+2。將這兩個(gè)方程聯(lián)立，即可得到交點(diǎn)的坐標(biāo)。（注意交點(diǎn)的坐標(biāo)也可以替換為直線方程和拋物線方程中的x和y）將直線方程的y代入拋物線方程中，得到2tx-t^2+2=2x^2-4x+1。將方程整理后，得到2x^2-(2t+4)x+t^2-2=0。這是一個(gè)關(guān)于x的二次方程，由于交點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)M所在直線與拋物線的交點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)交點(diǎn)。根據(jù)二次方程的性質(zhì)，方程有兩個(gè)不同的解，即存在實(shí)數(shù)解的充要條件是判別式大于等于0，即(2t+4)^2-4*2*(t^2-2)>=0。將該不等式整理后得到t^2+4t-12>=0。解這個(gè)一元二次不等式，得到t>=2或t<=-6。至此，我們已經(jīng)求得了動(dòng)點(diǎn)M所在直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍。接下來(lái)我們需要求此弦所在直線的斜率的取值范圍。要求直線的斜率，我們需要知道直線上的兩個(gè)點(diǎn)，我們已經(jīng)求得了這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(t^2-1，2t)和(x，y)。根據(jù)弦的斜率公式m=(y2-y1)/(x2-x1)，我們可以計(jì)算出斜率。代入上面求得的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到斜率公式為m=(2t-(t^2+4t-12))/(x-(t^2-1))。將斜率取值范圍考慮到，我們有兩種情況分別討論。情況一：當(dāng)t<=-6時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為(t^2-1)>=-6，即t<=-√5或t>=√5。此時(shí)斜率的取值范圍為(-∞,∞)。情況二：當(dāng)t>=2時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為(t^2-1)<=-6，即-√5<=t<=√5。此時(shí)斜率的取值范圍為(-√5-2,√5+2)。綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的位置變動(dòng)時(shí)，過(guò)N點(diǎn)的弦所在直線的斜率的取值范圍是(-∞,∞)并(-√5-2,√5+2)。通過(guò)解答這道題目，我們不僅了解了如何應(yīng)用弦方程求解拋物線上的問(wèn)題，還探討了拋物線的基本概念與性質(zhì)。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于拋物線上弦方程的求解，實(shí)際上可以歸結(jié)為求解二次方程和斜率的問(wèn)題。同時(shí)，我們也可以發(fā)現(xiàn)，題目中的拋物線的性質(zhì)與求解弦方程密切相關(guān)，我們需要充分利用拋物線的對(duì)稱性和焦點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)求解具體的問(wèn)題。這道題目的解答不僅需要對(duì)拋物線和弦方程有深入的理解，還需要善于運(yùn)用對(duì)稱性和二次方程的求解方法。并且題目中給出的解答步驟也反映了數(shù)學(xué)解題的一般思路，即給定條件->求解方程->分析結(jié)果。這對(duì)我們培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解題能力有著積極的促進(jìn)作用?？傊?，通過(guò)這道題目的解答，我們