北理工06-08年歷年真題講解

北京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化專業(yè)

2006年真題及解析

科目一：代碼810科目名稱自動(dòng)控制理論

、真題

吐東理工大學(xué)

2006年自動(dòng)控制理論考試試題

一、根軌跡方法（25分）

單位反饋系統(tǒng)如圖1,期1G3=點(diǎn)。為簡(jiǎn)便起見，圖中用R表示r(t)的Laplace變換R(s)。

其余的符號(hào)和以后的圖均采用這種簡(jiǎn)便記法。

（1）設(shè)G《)=K,畫出根軌跡圖;

（2）確定K的值，使閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量為計(jì)算相應(yīng)的上升時(shí)間小

&a(Ts+l)使最大超調(diào)量”保持不變,上升時(shí)間為紅，并使閉環(huán)

設(shè)計(jì)控制器G,(s)=

aTs+1"r8

系統(tǒng)盡可能地簡(jiǎn)單。

圖1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)

二、狀態(tài)空間方法（30分）

（］）

考慮系統(tǒng)<x=Ax+Bu

y-Cx+Du

00—a。

先設(shè)

A=10-ax

01一%

(i)證明：若/(s)=s3+”2+qs+ao=(s—4X”友r，其中4*4，則可通過(guò)狀態(tài)空間中的線

性變換￡=△,將狀態(tài)空間表達(dá)式(1)變?yōu)?/p>

第1頁(yè)共36頁(yè)

x-Ax+Bu(2)

y-Cx+Du

2,00

其中A=J=02,1

0022

i4升

T可取為7=012%

1%為

"00o-

(ii)設(shè)A=100

01-1

求/和*。

(iii)A同(ii),B=[l10]7,C=[001]

判斷系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。若系統(tǒng)不可控或不可觀測(cè)，確定不可控或不可觀測(cè)的模態(tài);

(iv)A,B,C同(iii),D=0,x(0)=[l-1是狀態(tài)方程在初態(tài)x(0)下的解，證明

r,

x(O)x(/)=3e-VM(fV>O,并解釋這個(gè)結(jié)果。

-1000-

0000

(v)又設(shè)A

0100

001-1

B,C,D待定。若要通過(guò)狀態(tài)反饋“(f)=Kx(f)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，至少需要幾個(gè)獨(dú)立的控制變

量很B至少要有幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量)？請(qǐng)說(shuō)明理由。若要通過(guò)狀態(tài)反饋“(f)=Kx(。使

閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，至少需要幾個(gè)獨(dú)立的控制變量？請(qǐng)說(shuō)明理由。

三、頻率響應(yīng)分析(25分)

考慮圖2所示的控制系統(tǒng)，其中G,(s)，G(s)和G2(s)均為最小相位系統(tǒng)，其漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

如圖3,H⑸=1。

第2頁(yè)共36頁(yè)

圖2：由一:個(gè)最小相位環(huán)節(jié)構(gòu)成的反饋控制系統(tǒng)

a>

圖3：漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線

⑴確定開環(huán)傳遞函數(shù)G0（S）=G,（S）G（S）G2（S）”（S）并畫出其漸近對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性曲線（要求

按圖3中的尺寸自制兩張對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙）；

（2）畫出Nyquist曲線G（）（j0卜

（3）由Nyquist曲線確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值，并用根軌跡方法驗(yàn)證；

（4）求K=1和K=2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差和加速度誤差。

四、非線性控制系統(tǒng)（25分）

系統(tǒng)的方框圖如圖4所示，其中A=42=4=1，〃2=%=1，KI=1,所有的非線性特性

均關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，G（s）=2，。畫出負(fù)倒特性曲線和線性部分G（s）的Nyquist圖，以此分析

S

系統(tǒng)是否存在自激振蕩及其穩(wěn)定性；如果存在自激振蕩，請(qǐng)計(jì)算輸出）6）的振幅和頻率。圖中死

區(qū)、飽和特性和繼電特性等非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)分別為：

第3頁(yè)共36頁(yè)

&

N2

圖4：具有非線性特性的反饋控制系統(tǒng)

五、離散控制系統(tǒng)（25分）

考慮如圖5所示的直流電機(jī)速度控制系統(tǒng)，ZOH表示零階保持器。設(shè)模擬被控對(duì)象的傳遞函

數(shù)如下：

G(力261714.877

卜(s+297.456)($+879.844)

數(shù)字控制器由微處理器實(shí)現(xiàn)，其脈沖傳遞函數(shù)為

+號(hào)國(guó)

式中，T=0.001s、K?=1和KR=295.276

口⑶Z0H―?Gp”

圖5：直流電機(jī)速度控制系統(tǒng)的框圖

第4頁(yè)共36頁(yè)

(1)求數(shù)字控制系統(tǒng)的開環(huán)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)；

(2)判斷整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

(3)當(dāng)%為單位階躍函數(shù)時(shí)，求數(shù)字系統(tǒng)在采樣時(shí)刻的輸出響應(yīng)；

(4)重新設(shè)計(jì)數(shù)字控制器O(z)，使數(shù)字系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入具有最小拍輸出響應(yīng)。

常用函數(shù)的z-變換表：

六、Lyapunov穩(wěn)定性(20分)

設(shè)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述如下：

X+X4~X~-1=0

(i)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；

(ii)求系統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)；

(iii)判斷每一個(gè)平衡點(diǎn)在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，并闡明理由。

2007年自動(dòng)控制理論考試試題

一、選擇填空(每小題10分，共60分

1采樣系統(tǒng)的特征方程為D(Z)=Z2+(2K-L75)Z+2.5=0,使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值是()

(a)K>2.63

(b)0<K<2.63

(c)所有K>0

(d)不存在這樣的K值。

2采樣系統(tǒng)的輸出出T的z-變換為為z)=+則前四個(gè)采樣時(shí)刻的輸出為()

（a）y（0）=0,y（T）=27,y（2T）=47,y（3T）=60.05

（b））（0）=1,y（T）=27,y（2T）=674.4,y（3T）=16845.8

第5頁(yè)共36頁(yè)

(c))，(o)=1,y(T)=27,y(2T)=647,y(3T)=660.05

(d)y(0)=1,y(T)=647,y(2T)=47,y(3T)=27

10

3s-域的傳遞函數(shù)為G(s)=T為采樣周期。經(jīng)采樣后z-域的脈沖傳遞函數(shù)G(z)是

s(s+2)(s+6)

()

5z5z5z

(a)6(z)=

6z-14z-e~bT12z-e-T

6(z)=_5zz5z

(b)-6T-T

6z-lz-e12z—e

0(z)=_5z5z5z

(c)-2T-6T

6z-l4z-e12z-e

(A}@(z)=1zZ+5z

6z-lz-e~2T6z--e~bT

4線性系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為)?)=，-4+4e%,則該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為該系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)為

5最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖1,則該系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kv=________,加速度誤

差系數(shù)K“=

第6頁(yè)共36頁(yè)

6非線性系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)x,位于不穩(wěn)定的極限環(huán)內(nèi)，該極限環(huán)內(nèi)沒(méi)有其它極限環(huán)。下述說(shuō)法

正確的是()o

(a)%是不穩(wěn)定平衡態(tài)。

(b)x,是穩(wěn)定平衡態(tài)，以極限環(huán)內(nèi)的點(diǎn)為初始狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡都趨于X,。

(c)%是穩(wěn)定平衡態(tài)，以極限環(huán)外的點(diǎn)為初始狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡都趨于演。

(d)上述說(shuō)法都不對(duì)，根本無(wú)法判定々是否穩(wěn)定。

二、根軌跡方法(20分)

單位反饋系統(tǒng)如圖2,其中6($)=竽々，a>0,b>0為待定參數(shù)。為簡(jiǎn)便起見，圖中用R表示

r(t)的Laplace變換R(s)。其余的符號(hào)和均采用這種簡(jiǎn)便記法。

(1)設(shè)G,(s)=K>0,已知根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)分別是1和-3。確定參數(shù)a和b并畫出根軌

跡圖；

(2)確定根軌跡和虛軸的交點(diǎn)并由此確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。

(3)說(shuō)明在穩(wěn)定的前提下該反饋系統(tǒng)和標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)在快速性和超調(diào)量?jī)煞矫嬗泻?/p>

不同。

圖2：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)

三、狀態(tài)空間方法(20分)

考慮系統(tǒng)x(f)=Ax(f)+歷

j(/)=c'x(f)+力，(f)

其中Aw/?3x3,b,ce/?3,deR

(i)設(shè)"(f)=0,已知：若七(0)=[10則x/)=boof；

若々(0)=[11則々(/)=『e'oj；

第7頁(yè)共36頁(yè)

若%3（0）=111『，則%3。）=卜，e'+te'e'],且

[*）/（f）匕（川=6%（0）x2（0）x3（0）]

確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣*和系統(tǒng)矩陣Ao

(ii)設(shè)

400仇

C2C3]

A=0A，21,b—b2,

00%A.

4工4,碓（A,8為可控性和仇，%,乙的關(guān)系，以及（A,M）的可觀測(cè)性和Gq的

關(guān)系。

四、頻率法(20分)

考慮圖2所示的控制系統(tǒng)，其中G（s）=7^F，a>0。

（1）用Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)證明閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)任何比例控制器G,（s）=K,都不穩(wěn)定。

（2）設(shè)64）=給（1+益）為PD控制器。用Nyquist判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K,和r的值。

五、離散控制系統(tǒng)（20分）

離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

x(A+1)=Ax(k)+bu(k)

山)=c，x(A)

其中

010-

A=001,8=[00l]7',cr=[-0.2501]

-0.5-2.25-3

(i)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（ii）令“（女）=4）+/々卜），求狀態(tài)反饋陣/使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-0.5,0.5,0。

六、Lyapunov穩(wěn)定性（10分）

設(shè)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述如卜.:

第8頁(yè)共36頁(yè)

y+y+sin金=0

(i)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；

(ii)求系統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)；

(iii)判斷每一個(gè)平衡點(diǎn)在Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，并闡明理由。

2008年自動(dòng)控制理論考試試題

-：選擇填空(每小題10分，共50分)

1.離散時(shí)間系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為T(z)=f(z-+2z),以下結(jié)論正確的是()：

z2+0.2Z-0.5

(a)對(duì)任意有限的K值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。

(b)當(dāng)且僅當(dāng)-0.5<K<8時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(c)對(duì)所有K值系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。

(d)當(dāng)-0.5<K<8時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

2.單位反饋系統(tǒng)如圖1,其中G,(s)=--一，G0(s)為零階保持器，采樣周期T=0.4秒。部

5(0.25+1)

分常用函數(shù)的z-變換見第五題。以下結(jié)論正確的是()：

圖1采樣控制系統(tǒng)

(a)對(duì)任意的K值閉環(huán)系統(tǒng)都穩(wěn)定。

(b)對(duì)任意的K值閉環(huán)系統(tǒng)都不穩(wěn)定。

(c)存在>0,當(dāng)Ke(0,K0)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

第9頁(yè)共36頁(yè)

（d）對(duì)任意的K>0閉環(huán)系統(tǒng)都穩(wěn)定。

3.具有非線性特性的單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其前向通道中線性部分的頻率特性曲線G（_/g）和非線性

負(fù)倒特性-一二如圖2。圖中箭頭指向分別為X和3增加的方向。下述結(jié)論中正確的是（）:

N（X）

(a)和A/2兩點(diǎn)都是系統(tǒng)穩(wěn)定的自激振蕩狀態(tài)。

(b)BC段是系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)。

(c)X<X",和X〉XM?是系統(tǒng)穩(wěn)定的狀態(tài)。

(d)上述說(shuō)法都不對(duì)。

0.1

0.05

0

h-0.05

￡-o.1

|-0.15

J-0.2

-0.25

-0.3

-0.35

-0.4

-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10

RealAxis

4.若兩個(gè)系統(tǒng)具有完全相同的根軌跡圖，則兩系統(tǒng)具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)（對(duì)，錯(cuò)）和相同的

閉環(huán)傳遞函數(shù)（對(duì)，錯(cuò)）。

5.開環(huán)最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性向右移4倍頻程，則閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間將（增加，不變,

第10頁(yè)共36頁(yè)

減小)，超調(diào)量將(增加，不變，減小)，穩(wěn)態(tài)誤差(增加，不變，減小)，抗高頻噪聲

干擾的能力將(增強(qiáng)，不變，減弱)。

二、根軌跡方法(20分)

單位反饋系統(tǒng)如圖3,其中G(s)=--------------,a〉0,b>0為待定參數(shù)。為簡(jiǎn)便起見，圖

(5-1)(52+as+b)

中用R表示r(t)的Laplace變換R(s)。其余的符號(hào)亦采用這種簡(jiǎn)便記法。已知K為某一正數(shù)時(shí),

閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為T,-1,-lo

(i)確定參數(shù)a和b并由此確定G(s)的另外兩個(gè)極點(diǎn)。

(ii)確定根軌跡的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)、根軌跡的漸近線以及根軌跡與虛軸的交點(diǎn)并畫出根軌

跡圖。

(iii)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。

圖3單位負(fù)反饋

三、狀態(tài)空間法

x(Z)=Ax(t)+bu(t)

考慮系統(tǒng)<(1)

y(t)-cTx(t)+du(t)

(i)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=^,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第11頁(yè)共36頁(yè)

(ii)判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和可觀測(cè)性。

(iii)能否通過(guò)狀態(tài)反饋=將閉環(huán)極點(diǎn)配置在-2,-3和4?若能，求出爐；若不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由。

四、頻率法

考慮圖3所示的控制系統(tǒng)，其中G(s)=-----------彳-----------，a〉0,夕＞0為待定參數(shù)。已知

($-1)畫+為+1)

G(j2)=-0.05o

(i)確定參數(shù)a和B并做出G(s)的Nyquist曲線。

(ii)用Nyquist判據(jù)確定時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

五、采樣控制系統(tǒng)(15分)

Ts

1_e-K

考慮圖1所示的采樣控制系統(tǒng)，其中G0(S)=LJ為零階保持器，G,,(s)=J—,輸入信號(hào)r⑺

ss(s+a)

為單位階躍函數(shù)，T,K,a正的常數(shù)。

(i)寫出上述系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

(ii)設(shè)T=ls,K=\,a=\,計(jì)算采樣輸出c(0),c⑴,c(2),c(3)。

已知:

六、Lyapunov穩(wěn)定性

設(shè)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述如下：

X,=_19.2￡x：—+/

x2--0.64X1-4.8x；光2-L875/?X]X；

第12頁(yè)共36頁(yè)

其中/?為常數(shù)。

(i)寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程￡=/*),證明系統(tǒng)有唯一的平衡狀態(tài)

Xe=lXeA七,2『=0

(ii)取候選Lyapunov函數(shù)V(X],X2)=[X]，研究系統(tǒng)平衡態(tài)比,i七二『的穩(wěn)定性及

其與B的關(guān)系，其中Q可選為正定對(duì)角矩陣。

七、描述函數(shù)分析方法

單位負(fù)反饋系統(tǒng)的前向通道為如圖4所示的Hammerstein模型，其中線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

20

G(s)=—--,非線性環(huán)節(jié)為有滯環(huán)的繼電非線性。已知滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

5(0.15+1)

4〃I(/7YAhM

N(X)二菽刀山市

其中"=1。確定繼電器參數(shù)h,使得自激振蕩頻率,自激振蕩幅值XW0.7。

二、解析

2006年真題解析

一、解：(1)系統(tǒng)的開環(huán)傳函G0(S)=/F

s(s+2)

繪制根軌跡的步驟如卜一:

第13頁(yè)共36頁(yè)

①開環(huán)極點(diǎn)化=0,p2=-2數(shù)目n=2；無(wú)零點(diǎn)

系統(tǒng)有兩條根軌跡，分別起始于外，p2,終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。

②實(shí)軸上根軌跡段為（-2,0）；

③漸近線與實(shí)軸夾角為（pa=±90°；

漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為％=上工=-1；

“2

I

④由行+d+2-

=＞分離點(diǎn)d=-1

由以上計(jì)算得到的參數(shù)，得根軌跡如圖所示：

(2)由M=「=4=顯=0.707

p2

閉環(huán)傳遞函數(shù)為①($)=一

''S2+2.S+K

K=2

由

=V①“=Q

n-p3

上升時(shí)間t=.----=71

r①"鏟4

結(jié)合。=兀：B=。兀,得到g=20

（3）要保持不變，即4=

2coj-e8

第14頁(yè)共36頁(yè)

由題意得,

開環(huán)傳遞函數(shù)G(；(s)=G,(s)G(s)=1

s(s+2)

I，K

為使閉環(huán)系統(tǒng)盡可能簡(jiǎn)單，取工=2,即T=0.5,此時(shí)G°(6)=/y

S54--

I。

K”比=8，所以G,(s)=%⑵

由42

—=2/y〃=4=>a=0.55+4

注：要熟記二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)指標(biāo)，O%,ts3，tp等。

二、解：(i)x=7x,貝1」苫=7-峰代人(1)可得

T-'^AT-'x+Bu\^TAT-'x+TBu

y=CT~xx+Duy=CT~lx+Du

^A=TAT-[B=TB^=。廣|,即可得至1〃￡=個(gè)￡+8說(shuō)

y-Cx+Du

-1400一即400

0i2%,A—10-a\計(jì)算得A—J-041

1A01—卅00%

2,00'00

(ii)o41=>eJt=0e為加為

002,00

'

000'-00-a0'

A=100相當(dāng)于(i)中的A=10_q有劭=%=0a2=1

01-101—出

1-11

則/(s)=s'+s?=s，(s+1),即4=—1Z,=。'此時(shí)T010

100

第15頁(yè)共36頁(yè)

A可通過(guò)非奇異陣T化為約當(dāng)陣，即TAT-：/。所以

1-11e~'001-11100

eA,=T-\eJ<T0100101010

100001100e-'+t-].l-e-'e~l

100

（iii）rankUc-rank[BABrank110=2<3,

010

所以系統(tǒng)不完全可控;

1

rankVo-13

1

所以系統(tǒng)完全可觀測(cè);

確定不可控模態(tài)是在A為J的情況下，看B中的某一行是否為零。

-1001-1010

此題中A化為J001時(shí)，B=TB=01011

00010001

可見，4=-1所對(duì)應(yīng)的模態(tài)為不可控模態(tài)，即

（iv）珀）=*X（0）+[e*J）B“（7）t/7=e*x（0）+^eA,Bu{t-TY1T

TTr/V

x（0）x?）=x（0p"x（0）+x（0）JeJB?（r-r）dr

10011001

=[1-1110-1+[1TI”101U（t-T）dT

e"+t-i1-e-'e'1e"+t-\\-e"e'0

1

=3e-'+[1-11t+lu（t-rylT

3e-'

NO都有『（0）加）=3/o

-1000

0-100

（v）①將A化為約當(dāng)陣為人,B至少要有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。原因:

0001

0000

第16頁(yè)共36頁(yè)

若要通過(guò)狀態(tài)反饋“(f)=Kx(f)配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，即保證系統(tǒng)完全可控。

A對(duì)應(yīng)的約當(dāng)陣中出現(xiàn)了兩個(gè)約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)同一特征值-1,若要保證Z(N，回狀態(tài)完全可控，

月中對(duì)應(yīng)人中相等特征值的全部約當(dāng)塊末行的那些行之間是線性無(wú)關(guān)的，即方的第一行、第二行

必須是線性無(wú)關(guān)的。

，月中至少要有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。

由于非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的可控性，8中至少要有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，即至少

需要2個(gè)獨(dú)立的控制變量。

②至少需要1個(gè)獨(dú)立的控制變量。原因：

由于特征值T具有負(fù)實(shí)部，可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。所以配置極點(diǎn)時(shí)只需配置特征值0對(duì)應(yīng)

的約當(dāng)塊。特征值-1對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊即使不可控，也不影響系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。只配置可控部分

即可，.?.至少需要1個(gè)獨(dú)立的控制變量。

注：個(gè)人覺(jué)得這個(gè)題出的有點(diǎn)難，但是知識(shí)點(diǎn)都是大綱要求的，但綜合性太強(qiáng)了，可以看

一下這些知識(shí)點(diǎn)。

三、解：(1)由圖可知，G|(s)=-^_rG2(5)=—G<.(s)=2s+l又

+S0.25+1

所以開環(huán)傳遞函數(shù)GO(S)=G,(S)G1(S)G2(S)"(6)

25+1

-52(5+1X0.25+1)

(2)首先求出Go("w)得

G(詞=-”21器1-----r

O()'，_〃(法+1*0.2_/0+1)

1+22〃0.4叱2一0.8.

①2(1+療M+0.04療)+碗+療+0.04/),

1)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)：

由ImGo(j(y)=On<w=±&，此時(shí)ReG0(j(y)=-0.83

即與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)是(-0.83,0)：

2)0+時(shí),G0(>)-?ooZ-180°；

第17頁(yè)共36頁(yè)

3)>+80寸，G0(j(y)—>0Z-270°；

Nyquist曲線G。。/）如下:

（3）1）由Nyquist曲線確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值；如圖所示:

當(dāng)-O.83K>-1時(shí),即K<1.2時(shí),Nyquist曲線不包圍(-1,jO)點(diǎn)，即N=0,

由于P=0,.*=0,所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是:

0<K<1.2

2）用根軌跡方法驗(yàn)證:

K(2s+1)K*(s+0.5)

KG°(s)10K)

S2(s+l)(o.2s+1)―/(s++5)

繪制根軌跡步驟如下:

①開環(huán)極點(diǎn)Pi=P2=0P3=-1，幾=一5數(shù)目n=4;

開環(huán)零點(diǎn)Z=-0.5,數(shù)目m=l。系統(tǒng)有4條根軌跡。

第18頁(yè)共36頁(yè)

②實(shí)軸上根軌跡段為(-8,-5),(-1,-0.5)；

③漸近線與實(shí)軸夾角為9“=±±,±)；

漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)為區(qū),='+L83；

3

④與虛軸的交點(diǎn)：0(s)=$4+6$3+5$2+K*S+0.5K*

54150.5K*

536K*

/胃0.5K,

?K*遣K*)

30—K*

s°0.5K*

.?.K*=12時(shí)，3s2+6=0得對(duì)應(yīng)的0=±五

與虛軸的交點(diǎn)是土正

根據(jù)以上參數(shù)地根軌跡圖如下：

由根軌跡圖可知，當(dāng)0<K*<12,即0<K<1.2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

可見，與由Nyquist曲線得到的結(jié)論是一致的。

(4)K=1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，討論穩(wěn)態(tài)誤差是有意義的。

K,=limsG°(s)=ooK.=lims2Go(s)=l

s->0sf0

第19頁(yè)共36頁(yè)

所以穩(wěn)態(tài)速度誤差

SSV尹。

穩(wěn)態(tài)加速度誤差

K=2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,此時(shí)討論穩(wěn)態(tài)誤差是無(wú)意義的。

四、ft?：(1)將原結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)可得到圖a

負(fù)倒特性曲線和Q("y)曲線如圖b所示:

由圖可知，負(fù)倒特性曲線與G,("y)曲線有交點(diǎn)。所以存在自激振蕩，并且是穩(wěn)定的自激

振蕩。(由不穩(wěn)定區(qū)—穩(wěn)定區(qū))

(2)由---~r—G(jTw))得

N(X)八，19=*序口-?

第20頁(yè)共36頁(yè)

自激振蕩的頻率

自振振幅

將振幅X折算到輸出端,考慮到X=-5丫，所以

Y

輸出振幅為y=—=0.2

5

輸出頻率為co=6.4

五、解：⑴

261714.877

G1(z)=(l-z-')Z

ss(s+297.456)(s+879.844)

11.50.5

7-7+297456s+879.844

1.5z0.5z

CCT+O"?n0,1XT

0.15z+0.03

(z-0.7Xz-04)

開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

G(z)=D(z)G|(z)=O.15z+O.O3

(z-0.7\z-0.4)

0.17(z+0.2)

(z-lXz-0.4)

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

(2)由z?—123z+0.434=0nz=0.615±0.235j

可見，閉環(huán)特征方程的根都在單位圓內(nèi)部，所以整個(gè)控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

(3)當(dāng)為為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸入/?(%)=工"

z-1

0.17(z+0.2)0.17z(z+0.2)

C(z)=*R(z)=z

z2-1.23z+0.434*2

z-1(Z-1XZ-1.23Z+0.434)

0.17Z2+0.034Z

=0.17z-'+0.41z-2+0.64z-3+0.46z-4+…

z3-2.23z2+1.664z-0.434

第21頁(yè)共36頁(yè)

c(f)=0.17g-T)+0.4lb(f-27j+0.646(/-3T)+0.46必-4T)+…

0.17(z+0.2)

(4)由于G(z)=

dz-04)'除有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓上外，所以零極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)部，故

可取6々)=三則①(z)=，(滿足2〃-m)

ZZ

①(z)_1_5.88(Z-0.4)

則

G(z"(z)-G(zXz-1)-z+0.2

C(z)=/儒Mz)=占e+二"

可見輸出cR)在1拍以后就完全跟蹤輸入。

2

六、解：(i)x+x+x-1-0令M=Xx2=x,貝II

X\-x

狀態(tài)方程為:2

Xi———X；—X2+1

修=0,得%2=。X]=-1

(ii)由,C=>

X2=0一玉~—%2+1=0.=0

所以系統(tǒng)所有的平衡點(diǎn)為(1,0)\(-1,0)\

(iii)①在平衡態(tài)%=(1,0)，處:

%=再一1

做偏差置換，令%=乃

力=一才一2月一乃

中第

620101

將其線性化，得A現(xiàn)

明明一2乃一2->,1=0-2-1

)'2=0

01Sy2.H=O

力=0

_-1-jyfl

|A7—A|=0=>Aj=~4

2

兩個(gè)特征值均具有負(fù)的實(shí)部，，平衡點(diǎn)心處是漸近穩(wěn)定的。

②在平衡態(tài)％=(-L0)，處:

第22頁(yè)共36頁(yè)

M=占+1

做偏差置換，令=><%=為

%=%2)2=7+2%一為

第

0101

將其線性化，得4=為

明一2兄+2-1X=o2-1

丫2=°

,如>,1=0

>,2=0

=o=4=1，4=-2

有一個(gè)特征值具有正的實(shí)部,,平衡點(diǎn)也處是不穩(wěn)定的。

2007年真題解析

一、1.d2.b3.c

4解：?jiǎn)挝浑A躍輸入r(t)=l是單位斜坡輸入r(t)=t的導(dǎo)數(shù)，

則單位階躍響應(yīng)是單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，即單位階躍響應(yīng)為

/:(/)=)/(/)=/

對(duì)其做拉氏變換得,

H（5）=-------------1---r

sS+Ls（4s+l）

4

傳遞函數(shù)為

。(小照高

G（S）=7§+

5解：由圖可得，開環(huán)傳遞函數(shù)

（y=l時(shí)，L（（y）=201gK'

卜=>K=10

MD=20.

G（S）=4

則

速度誤差系數(shù)K、,=limsG（s）=8

s->0

加速度誤差系數(shù)K4=lims2G（s）=10

5->0

第23頁(yè)共36頁(yè)

二、解：(1)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)=華±4

心一〃)

根據(jù)分離點(diǎn)、匯合點(diǎn)的計(jì)算公式

]_1_1

dd-ad+b

依題意，得分離點(diǎn)4=1,匯合點(diǎn)4=-3,代入上式

得a=3,b=l

則開環(huán)傳遞函數(shù)G0(s)=純土?

-3)

繪制根軌跡的步驟如下：

①開環(huán)極點(diǎn)Pi=O，P2=3數(shù)目n=2；開環(huán)零點(diǎn)Z=-1,數(shù)目m=l

系統(tǒng)有兩條根軌跡。

②實(shí)軸上根軌跡段為(-8,-巾0,3)；

③漸近線與實(shí)軸夾角為以=±萬(wàn)；

④分離點(diǎn)4=1,匯合點(diǎn)a=-3

由以上計(jì)算得到的參數(shù)，得根軌跡如圖所示：