2021年山東省青島市中考數(shù)學真題（解析版）

2021年山東省青島市中考數(shù)學真題

第I卷（共24分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.剪紙是我國古老的民間藝術，下列四個剪紙圖案為軸對稱圖形的是（）

W

D.

【答案】C

【解析】

【分析】過一個圖形的一條直線，把這個圖形分成可以完全重合的兩個部分，這個圖形就叫

做軸對稱圖形；根據軸對稱圖形的概念求解即可.

【詳解】解：A、不軸對稱圖形，本選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，本選項符合題意；

D、不是軸對稱圖形，本選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合.

2.下列各數(shù)為負分數(shù)的是（）

A.11B.----C.0D.y/^

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據負分數(shù)的定義，在正分數(shù)前面加負號的數(shù)叫做負分數(shù)，即可判斷.

【詳解】解：A、-1是負整數(shù)，故本選項不符合題意；

B、是負分數(shù)，故本選項符合題意；

2

C、0是整數(shù)，故本選項不符合題意；

D、73是無理數(shù)，故本選項不符合題意;

故選:B.

【點睛】本題主要考查了負分數(shù)的概念，解題的關鍵是要熟練掌握負分數(shù)的定義.

3.如圖所示的幾何體，其左視圖是（）

【答案】A

【解析】

【分析】左視圖：從左邊看幾何體，看到的平面圖形即是左視圖，能看到的棱用實線表示,

不能看到的用虛線，根據左視圖的含義可得答案.

【詳解】解：從左邊看過去，可以看到這個幾何體的兩個面，兩個面都是長方形,

兩個長方形是上下兩個長方形，中間的棱可以看到，

所以左視圖是：

故選：A

【點睛】本題考查的是簡單幾何體的三視圖，掌握“從左邊看幾何體，畫左視圖”是解題的

關鍵.

4.2021年3月5日，李克強總理在政府工作報告中指出，我國脫貧攻堅成果舉世矚目，5575

萬農村貧困人口實現(xiàn)脫貧.5575萬=55750000,用科學記數(shù)法將55750000表示為（）

A.5575xlO4B.55.75xlO5C.5.575xlO7D.

0.5575xlO8

【答案】C

【解析】

【分析】根據科學記數(shù)法的定義“把一個大于10的數(shù)表示成ax10"的形式(其中a是整數(shù)

位只有一位的數(shù)，即。大于或等于1且小于10,〃是正整數(shù))，這樣的記數(shù)方法叫做科學記

數(shù)法”進行解答即可得.

【詳解】解：55750000=5.575x1()7,

故選C.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法，解題的關鍵是熟記科學記數(shù)法的定義.

5.如圖，將線段AB先繞原點。按逆時針方向旋轉90°,再向下平移4個單位，得到線段

A'3'，則點A的對應點A'的坐標是()

A.(1,—6)B.(-1,6)C,(1,-2)D.

(T-2)

【答案】D

【解析】

【分析】先求出A點繞O點逆時針旋轉90。后的坐標為(-1,2),再求向下平移4個單位后

的點的坐標即可.

【詳解】解：如圖連接OA將。4點繞O點逆時針旋轉90。，得到點2),A"向下平

移4個單位，得到4(-1,-2)；

【點睛】本題考查坐標與圖形變化，能夠根據題意得出旋轉、平移后的點坐標是解題的關鍵.

6.如圖，A3是OO的直徑,點E，。在0。上，點A是EC的中點，過點A畫。。的切

連接EC.若NA￡>6=58.5°,則NACE的度數(shù)為（）

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

【答案】B

【解析】

【分析】根據切線的性質得到根據直角三角形的性質求出根據圓周角定理

得至|JNAC8=9O°,進而求出N84C,根據垂徑定理得到BA,EC,進而得出答案.

【詳解】解：是。。的切線，

：.BA±AD,

'：ZADB=5S.5°,

：.ZB=90°-ZADB=3l.5°,

,：AB是。。的直徑，

，ZACB=90°,

.".ZBAC=90o-ZB=58.5°,

??,點A是弧EC的中點，

：.BA±EC,

：.ZACE=90°-ZBAC=31.5°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經過切點

的半徑是解題的關鍵.

7.如圖，在四邊形紙片ABCZ）中，AD//BC,AB=10,4=60。.將紙片折疊，使點

8落在邊上的點G處，折痕為E/L若NBFE=45。,則8尸的長為（）

A.5B.3#>C.56D.岸

【答案】C

【解析】

【分析】過點A作A”_L8c于”，由折疊知識得：ZBFG=90°,再由銳角三角函數(shù)可

得AH=56，然后根據A。/ABC，可證得四邊形AHFG是矩形，即可求解.

【詳解】解：過點A作A”_LBC于"，

?;NBFE=45。,

ZBFG=90°,

在RMABH中，AB=10,NB=60°,

A"=sin3xAB=sin60°xl0=—xlO=5>/3

2

-,-AD//BC,

ZGAH=ZAHB=90°,

ZGAH=ZAHB=ZBFG=90°,

四邊形A”FG是矩形，

：.FG=AH=56，

BF=GF=573.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質，熟練掌握相關知識

點是解題的關鍵.

8.已知反比例函數(shù)y=2的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=5+a和二次函數(shù)

X

y=o?+bx+c在同一直角坐標系中的圖象可能是（）

【解析】

【分析】根據反比例函數(shù)的圖象得出b<0,逐一分析四個選項，根據二次函數(shù)圖象的開口

以及對稱軸與y軸的關系，拋物線與y軸的交點，即可得出“、氏c的正負，由此即可得出

一次函數(shù)圖象經過的象限，再與函數(shù)圖象進行對比即可得出結論.

【詳解】解：???反比例函數(shù)的圖象在二、四象限，

：.b<0,

A、?.?二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在），軸右側，交y軸的負半軸，

Z?<0,c<0,

一次函數(shù)圖象應該過第一、二、四象限，A錯誤;

B、；二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在），軸右側，

.'.a<0,b>0,

.?.與人<0矛盾，B錯誤；

c、?.?二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在），軸右側，

：.a<0,h>0,

.?.與。<0矛盾，C錯誤；

D、?.?二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，交y軸的負半軸，

.,.a<0,b<0,c<0,

，一次函數(shù)圖象應該過第一、二、四象限，D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質，根據函數(shù)圖象與

系數(shù)的關系進行判斷是解題的關鍵，同時考查了數(shù)形結合的思想.

第II卷（共96分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.計算：氓+1>啦=.

【答案】5

【解析】

【分析】先運用乘法分配律展開，再利用二次根式的乘法法則計算即可，

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握運算法則是關鍵.

10.在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色外完全相同.搖勻后從

中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中.不斷重復這一過程，共摸球100次.其中有40次

摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是.

【答案】6

【解析】

【分析】估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為益，然后根據概率公式構建方

程求解即可.

【詳解】解：設袋中紅球的個數(shù)是x個，根據題意得：

4_40

4+x-100'

解得：x=6,

經檢驗：尸6是分式方程的解，

即估計袋中紅球的個數(shù)是6個.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，解題的關鍵是熟練掌握大量重復試驗時，事件發(fā)生

的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩(wěn)定性定理，可

以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率用頻率估計概率得

到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

11.列車從甲地駛往乙地.行完全程所需的時間f(h)與行駛的平均速度y(km/h)之間的反

比例函數(shù)關系如圖所示.若列車要在2.5h內到達，則速度至少需要提高到

_________km/h.

【解析】

k

【分析】由設/=一，再利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，把f=2.5h代入函數(shù)解析式

v

求解U的值，結合圖象上點的坐標含義可得答案.

k

【詳解】解：由題意設「=一，

V

把(200,3)代入得：4="=200x3=600,

600

t=----,

v

當f=2.5h時，u==240km/h，

所以列車要在2.5h內到達，則速度至少需要提高到240km/h,

故答案為：240km/h.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應用，掌握利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式是

解題的關鍵.

12.已知甲、乙兩隊員射擊的成績如圖，設甲、乙兩隊員射擊成績的方差分別為S,1蹬，

則足一般.(填“>"、"="、“<”)

【答案】>

【解析】

【分析】先計算兩組數(shù)據的平均數(shù)，再計算它們的方差，即可得出答案.

【詳解】解：甲射擊的成績?yōu)椋?,7,7,7,8,8,9,9,9,10,

乙射擊的成績?yōu)椋?,7,7,8,8,8,8,9,9,10,

則X甲-x(6+7x3+8x2+9x3+10)=8,

-1

x乙=-x(6+7x2+8x4+9x2+10)=8,

10

222222

/.51P=—x[(6-8)+3x(7-8)+2x(8-8)+3x(9-8)+(10-8)]

10

1

=—x[4+3+3+4]

-1.4；

Sz.2=—x[(6-8)2+2x(7-8)2+4x(8-8)2+2x(9-8)2+(10-8)2]

10

=—x14+2+2+4J

10

=1.2；

V1.4>1.2,

*'?S甲2>S乙?，

故答案為：>.

【點睛】題主要考查了平均數(shù)及方差的知識.方差的定義：一般地設n個數(shù)據，汨，尬，…心

1-

的平均數(shù)為1，則方差群=-I(XI-%)2+(及7)2+…+)2],它反映了一組數(shù)據的

n

波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.

13.如圖，正方形ABCO內接于。。，PA，PD分別與。。相切于點A和點。，PO的

延長線與8c的延長線交于點E.已知AB=2,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】5—萬

【解析】

【分析】連接AC,0D,根據已知條件得到AC是。。的直徑，NAO￡>=90。，根據切線的性

質得到/匕1。=/「。。=90。，得到△CCE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得

到PE=342，根據梯形和圓的面積公式即可得到答案.

【詳解】解：連接AC,0D,

?.?四邊形BCO是正方形，

ZB=90°,

.?.AC是。。的直徑，ZAOD=90°,

'.'PA,PD分別與。。相切于點A和點。，

：.ZPAO=ZPDO=90°,

四邊形AODP是矩形，

,/OA=OD,

矩形40DP是正方形，

ZP=90°,AP=AO,AC//PE,

：.NE=/ACB=45。,

/XCDE是等腰直角三角形，

'：AB=2,

.??AC=2AO=2狡，OE=08=20,

：.AP=PD=A0=y/2，

:.PE=3O,

；?圖中陰影部分的面積

=L（AC+PE）?AP—，40?.?=_LQa+3及）x及一，（及）2.?=5—萬

2222

故答案為：5-n.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質，切線的性質，等腰直角三角形的判定和

性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

14.已知正方形A8C。的邊長為3,E為CD上一點,連接AE并延長，交8C的延長線于

點、F，過點。作。G_LAE,交AF于點H,交BF于點G,N為EF的中點、,M為BD

【答案】2M

【解析】

［分析］由正方形的性質，可得A點與C點關于對稱，則有MN+CM=MN+AM>AN,

所以當A、M、N三點共線時，MN+CM的值最小為AN,先證明△QCG~4FCE,再由

S入ncc1CD1

=~,可得---=一,分別求出DE=1,CE=2,CF=6,即可求出AN.

Sc"CE4CF2

【詳解】解：,?,四邊形43CO是正方形，

??.A點與C點關于8。對稱，

.?.CM=AM,

/.MN+CM=MN+AM，AN,

???當4、M、N三點共線時，MN+CM的值最小，

9：AD//CF,

：.ZDAE=ZF,

???ZDAE+ZDEH=90°t

?；DG_LAF,

，NCDG+/DEH=90。,

:?NDAE=NCDG,

：.ZCDG=ZF,

:?△DCG~2FCE,

..$4DCG=J_

S△尸CE4

?CD1

??=—f

CF2

?.?正方形邊長為3,

：.CF=6,

'：AD//CF,

ADDE1

^F~^E~2，

：.DE=\,CE=2,

在對△（?￡：尸中，EgCU+CF2,

二EF=4爰+?=2亞，

是反的中點,

EN=M,

在R/Z\A￡?E中，EA^AD^DE2,

AE=d乎+F=V10,

AN=2M，

??.MN+MC的最小值為2廂.

故答案為：2JIU-

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握正方形的性質，用軸對稱求最短距離的方法,

靈活應用三角形相似、勾股定理是解題的關鍵.

三、作圖題（本大題滿分4分）

15.己知：NO及其一邊上的兩點A,B.

求作：RSABC,使NC=90°,且點CN。內部，ZBAO=ZO.

oB

【答案】見解析

【解析】

【分析】先在NO的內部作ND4B=N。，再過B點作的垂線，垂足為C點.

【詳解】解：如圖，為所作.

O

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結

合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

四、解答題（本大題共9小題，共74分）

,,..（2x+1）x1-1

16.（1）計算：I-----I-----;

1-2%<3

（2）解不等式組：\-ix-2，并寫出它的整數(shù)解.

----<1

I4

Y-4-1

【答案】（1）-~-；（2）-l<x<2,整數(shù)解為-1,0,1

X—1

【解析】

［分析】（1）根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式即可；

（2）首先分別求出兩個不等式的解集，注意不等式②要改變不等號方向，再利用不等式取解

集的方法，即可求出解集。

【詳解】（1）解：原式=『±2五1+二21

XX

(x+1)2X

XU-DU+1)

x+1

X—1

（2）解：解不等式①得：x>-l,

解不等式②得：x<2,

不等式組的解集為-l<x<2.

，不等式組的整數(shù)解為-1,0,1.

【點睛】本題考查的主要知識點是分式的混合運算順序、運算法則化以及一元一次不等式組

的解法,解題的關鍵是掌握分式混合運算順序、運算法則和一元一次不等式組的解法.

17.為踐行青島市中小學生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和小麗想合唱一首

歌.小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》.她們想通過做游戲的方式來決定

合唱哪一首歌，于是一起設計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分

成面積相等的幾個扇形.同時轉動兩個轉盤，若兩個指針指向的數(shù)字之積小于4,則合唱《大

海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉動轉盤.請

用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲是否公平.

A轉盤

【答案】不公平，見解析

【解析】

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與數(shù)字之積小于4

的情況，再利用概率公式求出合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》和合唱《紅旗飄飄》的概率，然后進行

比較，即可得出答案.

【詳解】解：根據題意畫樹狀圖如下：

開始

123

/TV.

123412341234

?共有12種等可能的結果，其中數(shù)字之積小于4的有5種結果,

...合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》的概率是2，

12

7

???合唱《紅旗飄飄》的概率是一，

12

,57

?—〈—，

1212

游戲不公平.

【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率

相等就公平，否則就不公平.

18.某校數(shù)學社團開展“探索生活中的數(shù)學”研學活動，準備測量一棟大樓8C的高度.如

圖所示，其中觀景平臺斜坡￡>￡的長是20米，坡角為37。，斜坡。E底部。與大樓底端C

的距離C￡>為74米，與地面8垂直的路燈AE的高度是3米，從樓頂5測得路燈AE項

端A處的俯角是42.6°.試求大樓8c的高度.

3431734

（參考數(shù)據：sin37°，2，cos37°?-,tan37°a-,sin42.6°儀一，cos42.6°?—,

5542545

【答案】96米

【解析】

【分析】延長AE交CD延長線于M,過A作AN1.BC于N,則四邊形AMCN是矩形，得

NC=AM,AN=MC,由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長，得出AN的長，然后由銳角

三角函數(shù)求出BN的長，即可求解.

【詳解】延長AE交8于點例，

過點A作交BC于點N,

由題意得，ZAMC=/NCM=ZANC=90。,

...四邊形AMCN為矩形，

:.NC=AM,NA=CM.

在用中，NEMD=90°,

.EMDM

sinZ.EDM=-----,cosNEDM=-------,

EDED

Asin37°=—,cos370=—

2020

3

EM=20-sin37°*20x—=12,

5

4

ZW=20-cos370=20x—=16.

5

在心△BN4中，ZBNA=90°,

BN

：.tan4BAN=——

AN

“c/°BN

/.tan42.6=---------,

74+16

9

BA^=90tan42.6°?90x—=81,

10

BC=BN+AE+￡M=81+3+12=96.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題意作出

輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

19.在中國共產黨成立一百周年之際，某校舉行了以“童心向黨”為主題的知識競賽活

動.發(fā)現(xiàn)該校全體學生的競賽成績（百分制）均不低于60分，現(xiàn)從中隨機抽取〃名學生的

競賽成績進行整理和分析（成績得分用x表示，共分成四組），并繪制成如下的競賽成績分

組統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.其中“90<%<100”這組的數(shù)據如下：

90,92,93,95,95,96,96,96,97,100.

競賽成績分組統(tǒng)計表

組別競賽成績分組頻數(shù)平均分

160<x<70865

270<x<80a75

380<x<90h88

490<x<1001095

競賽成績扇形統(tǒng)計圖競賽成績扇形統(tǒng)計圖

請根據以上信息，解答下列問題：

(1)。=—;

(2)“90Wx〈100”這組數(shù)據的眾數(shù)是分；

(3)隨機抽取的這"名學生競賽成績的平均分是分；

(4)若學生競賽成績達到96分以上(含96分)獲獎，請你估計全校1200名學生中獲獎的

人數(shù).

【答案】(1)12；(2)96；(3)82.6；(4)120人

【解析】

【分析】(1)先由1組的信息求解總人數(shù)，再利用總人數(shù)乘以24%,可得。的值;

(2)由90WXW100這一組出現(xiàn)次數(shù)最多的是：96分，從而可得答案；

(3)先求解。的值，再求解50人的總得分，再除以總人數(shù)即可得到答案;

(4)由1200乘以96分及96分以上的學生的占比即可得到答案.

【詳解】解：(1)由扇形圖可得：1組頻數(shù)為8人，占比16%,

所以總人數(shù)為：8+16%=50人，

由2組占24%,

所以：a=50x24%=12,

故答案為：12

(2)由90<x<100這一組的數(shù)據為：90,92,93,95,95,96,96,96,97,100.

出現(xiàn)次數(shù)最多的是：96分，

所以這一組的眾數(shù)為：96分，

故答案為：96

(3)由扇形圖可得：3組占：1-20%—16%—24%=40%,

所以〃=50x40%=20人，

所以隨機抽取的這50名學生競賽成績的平均分:

媼(8x65+12x75+20x88+10x95)=82.6分,

故答案為：82.6

（4）由4組成績可得96分及96分以上的學生有5人，

所以全校1200名學生中獲獎的人數(shù)為：1200*2=120人.

50

【點睛】本題考查的是從扇形圖與頻數(shù)分布表中獲取信息，頻數(shù)與頻率，利用樣本估計總體,

眾數(shù)的含義，加權平均數(shù)的計算，熟悉扇形圖與頻數(shù)分布表之間的關聯(lián)關系是解題的關鍵.

20.某超市經銷甲、乙兩種品牌的洗衣液，進貨時發(fā)現(xiàn)，甲品牌洗衣液每瓶的進價比乙品牌

4

高6元，用1800元購進甲品牌洗衣液的數(shù)量是用100元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的銷售

時，甲品牌洗衣液的售價為36元/瓶，乙品牌洗衣液的售價為28元/瓶.

（1）求兩種品牌洗衣液的進價；

（2）若超市需要購進甲、乙兩種品牌的洗衣液共120瓶，且購進兩種洗衣液的總成本不超

過3120元，超市應購進甲、乙兩種品牌洗衣液各多少瓶，才能在兩種洗衣液完全售出后所

獲利潤最大？最大利潤是多少元？

【答案】（1）甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶；（2）購進甲品

牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元

【解析】

【分析】（1）設甲品牌洗衣液每瓶的進價是x元，則乙品牌洗衣液每瓶的進價是（片6）元,

4

根據數(shù)量=總價+單價，結合用1800元購進乙品牌洗衣液數(shù)量的彳，即可得出關于x的分式

方程，解之經檢驗后即可得出結論；

（2）設可以購買加瓶乙品牌洗手液，則可以購買（100-機）瓶甲品牌洗手液，根據總價=單

價x數(shù)量，結合總費用不超過1645元，即可得出關于，〃的一元一次不等式，解之即可得出〃?

的取值范圍,再取其中的最大整數(shù)值即可得出結論.

【詳解】解:（1）設甲品牌洗衣液進價為X元/瓶，則乙品牌洗衣液進價為（％-6）元/瓶，

180041800

由題意可得,-----=---------,

x5x—6

解得x=30,

經檢驗x=30是原方程的解.

答：甲品牌洗衣液進價為30元/瓶，乙品牌洗衣液進價為24元/瓶.

（2）設利潤為y元，購進甲品牌洗衣液加瓶，

則購進乙品牌洗衣液（120-租）瓶，

由題意可得，30加+24（120）43120,

解得m<40.

由題意可得，y=（36-30）zn+（28-24）（120-m）=2m+480,

Vk=2>0,y隨加的增大而增大，

當相=40時，y取最大值，y最大值=2x40+480=560.

答：購進甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶時所獲利潤最大，最大利潤是560元.

【點睛】本題考查分式方程的應用，一次函數(shù)的應用，一元一次不等式的應用，解題的關鍵

是靈活運用所學知識解決問題.

21.如圖，在nABCD中，E為8邊的中點，連接8E并延長，交A。的延長線于點尸，

延長皮）至點G,使DG=DE,分別連接AE,AG,FG.

（1）求證：ABCEMFDE；

（2）當BE平分NABC時，四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）矩形，見解析

【解析】

【分析】（1）利用平行四邊形的性質證明=利用中點的性質證明OE=CE,

結合對頂角相等，從而可得結論；

（2）先證明結合GO=QE,證明四邊形AEFG是平行四邊形，再利用等腰三

角形的性質證明從而可得結論.

【詳解】（1）證明：?..四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,：.ZDFE=ZCBE

又?:￡為CO邊的中點，

/.DE=CE

,：/FED=ZBEC,ZDFE=ZCBE,DE=CE,

：.ABCE=AFDE

（2）答：四邊形A￡FG是矩形，理由如下：

V四邊形A6CO是平行四邊形，

:.AD=BC,

???/\FDE=ABCE,

：.BC=FD,FE=EB，

FD=AD,

?：GD=DE,

：.四邊形AEFG是平行四邊形.

?/平分NA8C,

/CBF=ZABF.

又；ZAFB=ZFBC,

:.ZABF^ZAFB，

/?AB=AF

又「FE=EB，

；?AEA.FE,

：.ZAEF=90°,

.??YAEFG是矩形

【點睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質，平行四邊形的性質與判定，矩形的判定，

等腰三角形的判定與性質，掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”是證題的關鍵.

22.科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運動的相關數(shù)

據.無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不

計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽路空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6

秒時，它們距離地面的高度也相同.其中無人機離地面高度以（米）與小鋼球運動時間x（秒）

之間的函數(shù)關系如圖所示；小鋼球離地面高度內（米）與它的運動時間x（秒）之間的函

(1)直接寫出川與X之間的函數(shù)關系式;

(2)求出力與x之間的函數(shù)關系式；

(3)小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米？

2

【答案】(1)y=5x+30；(2)y2=-5x+40x；(3)70米

【解析】

【分析】(1)先設出一次函數(shù)的解析式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(3)當1〈爛6時小鋼球在無人機上方，因此求當6〈爛8時，無人機在小鋼球的上

方，因此求)土"，然后進行比較判斷即可.

【詳解】解：(1)設M與x之間的函數(shù)關系式為y尸質+〃，

?.?函數(shù)圖象過點(0,30)和(1,35),

k=5

解得

6=30,

與x之間的函數(shù)關系式為X=5無+30.

(2)：x=6時，x=5x6+30=60,

???力的圖象是過原點的拋物線,

設為=加+bx,

2

點(1,35),(6,60)在拋物線y2=ax+bx!..

。+力=35a+b=35

36a+6。=606。+6=10’

a=-5

解得《

6=40

2

y2=-5x+40x.

答：內與x的函數(shù)關系式為％=-5/+40X.

(3)設小鋼球和無人機的高度差為＞米,

由一5/+40%=0得玉=0或％=8

①1時,

尸必一弘

=-5x2+40x-5x-30

=-5X2+35X-30

：Q=-5<0,，拋物線開口向下,

又：1<xW6,

7125

???當尤=一時，V的最大值為——；

24

②6<xW8時，

=5x+30+5x2-40x

=5X2-35X+30

(7?125

=5x——----，

I2j4

：a=5>0,.?.拋物線開口向上，

7

又?.?對稱軸是直線》=—,

2

7

當龍〉一時，》隨》的增大而增大，

2

V6<x<8,

.?.當x=8時，y的最大值為70.

??旦7。，

4

高度差的最大值為70米.

答：高度差的最大值為70米.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的應用，關鍵是根據根據實際情況判斷無人機和

小鋼球的高度差.

23.問題提出：

最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？(整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角

形.)

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的

結論.

(1)如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1,第三邊長也是1.按照

（最長邊長，最短邊長，第三邊長）的形式記為（1,1,1）,有1個，所以總共有1X1=1個整

數(shù)邊三角形.

表①

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

11（1,1,1）11個11x1

（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2.根據三角形任意兩邊之和

大于第三邊，當最短邊長為1時，第三邊長只能是2,記為（2,1,2）,有1個；當最短邊長

為2時，顯然第三邊長也是2,記為（2,2,2）,有1個，所以總共有1+I=lx2=2個整數(shù)

邊三角形.

表②

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（2J2）1

1x2

22個1

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中總結最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表③

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（3,1,3）1

2x2

32（3,2,2）,（3,2,3）22個2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中總結最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表④

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（4L4）1

2x3

43個2

2（4,2,3）,（4,2,4）2

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

(5)請在表⑤中總結最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空:

表⑤

最長邊長最短邊長(最長邊長，最短邊長，第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

53————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

問題解決:

(1)最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有個.

(2)在整數(shù)邊三角形中，設最長邊長為〃，總結上述探究過程，當〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)時,

整數(shù)邊三角形個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為〃的整數(shù)邊三角形的個數(shù).

(3)最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有個.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有個.

【答案】問題探究：見解析；問題解決：(1)12；(2)當及為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為

史U;當“為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為+(3)4160；拓展延伸：295

44

【解析】

【分析】問題探究：

根據(1)(2)(3)(4)的具體推算，總結出相同的規(guī)律，按規(guī)律填好表格即可；

問題解決：

(1)由最長邊長分別為1,2,3,4,5總結出能反應規(guī)律的算式，再根據規(guī)律直接寫出最

長邊長為6時的三角形的個數(shù)：

(2)分兩種情況討論：當〃為奇數(shù)，當〃為偶數(shù)，再從具體到一般進行推導即可；

⑶當最長邊長，:128時，〃為偶數(shù)，再代入一進行計算，即可得到答案;

拓展延伸：

分兩種情況討論：當9是底邊的棱長時，由最長邊長為9的三角形個數(shù)有：

日包=@=25個，當9是側棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,

44

7,8,底邊三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70個，從而可得答案.

【詳解】解：問題探究：

最長邊長最短邊長(最長邊長，最短邊長，第三邊長)整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

53（5,3,3）,（5,3,4）,（5,3,5）33個33x3

問題解決：

(1)最長邊長為1的三角形有：1x1個，

最長邊長為2的三角形有：1x2個，

最長邊長為3的三角形有：2x2個，

最長邊長為4的三角形有：2x3個，

最長邊長為5的三角形有：3x3個，

所以最長邊長為6的三角形有：3x4=12個，

故答案為：12

(2)由(1)得：

最長邊長為1的三角形有：1X1=『=山個，

2J

3+1

最長邊長為3的三角形有：2x2=2?=個,

F

最長邊長為5的三角形有：3x3=32=(21個,

I2)

所以當〃為奇數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為如上;

4

22+2

最長邊長為2的三角形有：1x2=-x——個，

22

44+2

最長邊長為4的三角形有：2x3=-x——個，

22

最長邊長為6的三角形有：3x4=9x&±2個,

22

所以當〃為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形個數(shù)為小〃+2).

4

(3)當最長邊長〃=128時，〃為偶數(shù)，

可得此時的三角形個數(shù)為：〃5+2)=128(128+2)=64X130=4160.

42

故答案為：4160

拓展延伸：

當9是底邊的棱長時，

最長邊長為9的三角形個數(shù)有：9±D1=UW=25個，

44

而直三棱柱的高分別為：1,2,3,4,5,6,7,8,9,

所以這樣的直三棱柱共有：25x9=225個，

當9是側棱長時，底邊三角形的最長邊可以為1,2,3,4,5,6,7,8,

底邊三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70個，

所以這樣的直三棱柱共有：70個，

綜上，滿足條件的直三棱柱共有225+70=295個.

故答案為：295.

【點睛】本題考查的是學生的閱讀理解能力，探究規(guī)律的方法，并運用規(guī)律解決問題，同時

考查了立體圖形的含義，三角形的三邊關系，弄懂題意，掌握探究方法，運用規(guī)律的能力都

是解題的關鍵.

24.已知：如圖，在矩形ABCO和等腰心△ADE中，AB=8cm,A￡)=A￡=6cm,

Na4E=90°.點P從點3出發(fā)，沿84方向勻速運動.速度為lcm/s；同時，點。從點D

出發(fā)，沿05方向勻速運動，速度為lcm/s.過點。作QA///8E,交A。于點"，交DE

于點M，過點。作QN//8C,交CO于點N.分別連接PQ,PM，設運動時間為

r(s)(0</<8).

解答下列問題:

(2)設五邊形PMDNQ的面積為S(cm，，求S與f之間的函數(shù)關系式；

(3)當=時，求f的值；

(4)若PM與A。相交于點W,分別連接QW和EW.在運動過程中，是否存在某一時

刻/,使NAWE=NQWD?若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)—s；(2)S=—VH---1；(3)t=—；(4)存，t——s

9255112

【解析】

【分