黑龍江省東部地區(qū)四校聯(lián)考2024年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

黑龍江省東部地區(qū)四校聯(lián)考2024年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的公差為-2，前項(xiàng)和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．252．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．3．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．54．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．5．秦九韶是我國南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、，則輸出的值為（）A． B． C． D．6．過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．7．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．8．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元9．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．310．設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．11．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”．現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么（）A．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)，該命題成立C．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)，該命題成立12．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)，則恰好為非負(fù)數(shù)的概率是________.14．若函數(shù)，則__________；__________.15．已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為__________.16．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求的值．18．（12分）已知函數(shù)，，（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且此時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD，E，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點(diǎn).求證：（1）EF//平面PAD；（2）平面PCE⊥平面PCD．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線、的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于、兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），定點(diǎn)，求的面積21．（12分）如圖，四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.（1）證明：//平面BCE.（2）設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.22．（10分）設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由公差d=-2可知數(shù)列單調(diào)遞減，再由余弦定理結(jié)合通項(xiàng)可求得首項(xiàng)，即可求出前n項(xiàng)和，從而得到最值.【詳解】等差數(shù)列的公差為-2，可知數(shù)列單調(diào)遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內(nèi)角為，由余弦定理得，設(shè)首項(xiàng)為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項(xiàng)和.故的最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查求前n項(xiàng)和的最值問題，同時(shí)還考查了余弦定理的應(yīng)用.2、A【解析】

化簡集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

投影即為，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得：輸入，，，；第一次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)，，，，跳出循環(huán)；輸出.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達(dá)定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計(jì)算，計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.8、D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？碱}型.10、C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱．

∵當(dāng)x≥1時(shí)，為減函數(shù)，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C11、C【解析】

寫出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”的逆否命題，結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知，命題“假設(shè)時(shí)該命題成立，則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立，則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”，由于當(dāng)時(shí)，該命題不成立，則當(dāng)時(shí)，該命題也不成立，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用，解題時(shí)要寫出原命題的逆否命題，結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷，考查邏輯推理能力，屬于中等題.12、B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對應(yīng)的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時(shí)，，區(qū)間長度是，又因?yàn)閷?yīng)的區(qū)間長度是，所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對應(yīng)的區(qū)間長度.14、01【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入即可求解.【詳解】函數(shù)，所以，.故答案為：0；1.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)，，，根據(jù)勾股定理得出，而由橢圓的定義得出的周長為，有，便可求出和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.【詳解】解：由已知，的三邊長，，成等差數(shù)列，設(shè)，，，而，根據(jù)勾股定理有：，解得：，由橢圓定義知：的周長為，有，，在直角中，由勾股定理，，即：，∴離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.16、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【詳解】由，得，．且，則，即．?dāng)?shù)列是以16為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】（1）直線的普通方程為，即，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，，，而，則，即，故直線l的普通方程為，曲線C的直角坐標(biāo)方程（2）點(diǎn)在直線l上，且直線的傾斜角為，可設(shè)直線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入到曲線C的方程得，，，由參數(shù)的幾何意義知．【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,難度一般.18、（1）時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）．【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得結(jié)論．【詳解】（1）函數(shù)定義域是，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，令得，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在上遞減，在上遞增．（2）易知，由函數(shù)單調(diào)性，若有唯一零點(diǎn)，則或．當(dāng)時(shí)，，，從而只需時(shí)，恒成立，即，令，，在上遞減，在上遞增，∴，從而．時(shí)，，，令，由，知在遞減，在上遞增，，∴．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，不等式恒成立問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．這又可通過導(dǎo)數(shù)求解．19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，得到，從而證出平面；（2）先證平面，再利用面面垂直的判定定理得到平面平面．【詳解】證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，是棱的中點(diǎn)，底面是矩形，，且，又，分別是棱，的中點(diǎn)，，且，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2），點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，，底面是矩形，，平面，平面，且，平面，又平面，，，，又平面，平面，且，平面，又平面，平面平面．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的判定，首選判定定理，是中檔題．20、（1），；（2）.【解析】

（1）先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程；（2）先利用極坐標(biāo)求出弦長，再求高，最后求的面積．【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為：，因?yàn)榍€的普通方程為：，曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得：點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，點(diǎn)到射線的距離為的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時(shí)也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算可得BF＝DE，最后利用線面平行的判定定理，可得結(jié)果.（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一個(gè)法向量為，平面CDF的法向量為，然后利用向量的夾角公式以及平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DEAD，因?yàn)锳D＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，又DE⊥