高中數(shù)學階段提升課第二課推理與證明課件新人教A版選修1

階段提升課第二課推理與證明思維導圖·構建網(wǎng)絡考點整合·素養(yǎng)提升

題組訓練一合情推理的應用

【典例1】自然數(shù)按下表的規(guī)律排列那么上起第2014行,左起第2015列的數(shù)為 ()A.20142B.20152C.2013×2014D.2014×2015【解析】選D.經(jīng)觀察可得這個自然數(shù)表的排列特點:①第一列的每個數(shù)都是完全平方數(shù),并且恰好等于它所在行數(shù)的平方,即第n行的第1個數(shù)為n2;②第一行第n個數(shù)為(n-1)2+1;③第n行從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞減1;④第n列從第1個數(shù)至第n個數(shù)依次遞增1.故上起第2014行,左起第2015列的數(shù),應是第2015列的第2014個數(shù),即為[(2015-1)2+1]+2013=2014×2015.【方法技巧】1.歸納推理的特點及一般步驟2.類比推理的特點及一般步驟題組訓練二演繹推理的應用

【典例2】在平面直角坐標系xOy中,點A(-3,4),B(9,0),C,D分別為線段OA,OB上的動點,且滿足AC=BD.(1)假設AC=4,求直線CD的方程.(2)證明:△OCD的外接圓恒過定點(異于原點O).【解析】(1)假設AC=4,那么BD=4,因為B(9,0),故D(5,0),由于A(-3,4),故|AO|=5,那么|OC|=1,直線OA:y=-x,設點C(3a,-4a)(-1<a<0),那么|OC|=5|a|=-5a=1,解得a=-,那么C,故直線CD:x+7y-5=0.(2)設C(3a,-4a)(-1<a<0),那么|AC|=5|a+1|=5(a+1),于是D(4-5a,0),設△OCD外接圓的一般方程為x2+y2+Gx+Ey+F=0,那么圓的方程滿足:即那么圓的方程為:x2+y2+(5a-4)x+(10a-3)y=0,即x2+y2-4x-3y+5a(x+2y)=0,故解得或

即△OCD的外接圓恒過定點(2,-1).【方法技巧】演繹推理的特點及應用(1)特點:演繹推理是由一般到特殊的推理,一般模式為“三段論〞,包括:大前提——的一般原理.小前提——所研究的特殊情況.結論——根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷.(2)應用:演繹推理只要前提正確,推理的形式正確,那么推理所得的結論就一定正確.注意,錯誤的前提和推理形式會導致錯誤的結論.特別提醒:尋找出演繹推理的大前提是解題的關鍵.【補償訓練】在銳角三角形中,求證:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【證明】因為在銳角三角形中,A+B>,所以A>-B,所以0<-B<A<.又因為在內正弦函數(shù)是單調遞增函數(shù),所以sinA>sin=cosB.即sinA>cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.題組訓練三綜合法與分析法

【典例3】a>b>0,求證<<.【證明】欲證<<,只需證因為a>b>0,所以只需證即欲證只需證該式顯然成立.欲證只需證該式顯然成立.所以成立.所以成立.【方法技巧】綜合法和分析法的特點(1)綜合法和分析法是直接證明中最根本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學問題的常用的方法,綜合法是由因導果的思維方式,而分析法的思路恰恰相反,它是執(zhí)果索因的思維方式.(2)分析法和綜合法是兩種思路相反的推理方法:二者各有優(yōu)缺點.分析法容易探路,且探路與表述合一,缺點是表述易錯;綜合法條理清晰,易于表述,因此對于難題常把二者交互運用,互補優(yōu)缺,形成分析綜合法,其邏輯根底是充分條件與必要條件.題組訓練四反證法

【典例4】等差數(shù)列{an}中,首項a1>0,公差d>0.(1)假設a1=1,d=2,且成等比數(shù)列,求正整數(shù)m的值.(2)求證對任意正整數(shù)n,都不成等差數(shù)列.【解析】(1)因為{an}是等差數(shù)列,a1=1,d=2,所以a4=7,am=2m-1.因為成等比數(shù)列,所以,即2m-1=49,所以m=25.(2)假設存在n∈N*,使成等差數(shù)列,即所以化簡得d2=3.(*)又因為a1>0,d>0,所以=a1+nd>d,所以3>3d2>d2,與(*)式矛盾,因此假設不成立,故命題得證.【方法技巧】1.反證法的證題思想反證法是一種間接證明命題的