福建省龍巖市新羅區(qū)龍巖蓮東中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年福建省龍巖市新羅區(qū)蓮東中學(xué)九年級（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各運算中，計算正確的是(

)A. B.

C. D.2.如圖是五個大小相同的正方體組成的幾何體，這個幾何體的俯視圖是(

)A.

B.

C.

D.3.某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同．設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是(

)A. B. C. D.4.在中，若，則么一定是(

)A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形5.如圖，A、B、C三點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為a，b，根據(jù)圖中各點的位置，下列各式正確的為(

)A. B. C. D.6.估計的值應(yīng)在(

)A.3和4之間 B.4和5之間 C.5和6之間 D.6和7之間7.若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍為(

)A. B.

C.且 D.且8.如圖，在中，點E、F分別在邊AB、AC上，并且滿足，的面積為2，則的面積為(

)A.4

B.6

C.8

D.129.如圖，在矩形ABCD中，，，將矩形沿AC折疊，則重疊部分的面積為(

)A.6

B.8

C.10

D.1210.若二次函數(shù)當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.5G信號的傳播速度為，將數(shù)據(jù)300000000用科學(xué)記數(shù)法表示為__________.12.在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是______.13.分解因式：______.14.若關(guān)于x的一元一次不等式組有2個整數(shù)解，則a的取值范圍是__________.15.如圖，AD是的外接圓的直徑，若，則______

16.如圖，正方形的頂點A，C分別在y軸和x軸上，邊BC的中點F在y軸上，若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過CD的中點E，則OA的長為______.

三、解答題：本題共9小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題8分

解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．18.本小題8分

先化簡，再求值：，其中19.本小題8分

在?ABCD中，，

在AD邊上求作一點P，使點P到邊AB，BC的距離相等；要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡

在的條件下，連接BP，若，求的面積．20.本小題8分

如圖，為了測量某條河的對岸邊C，D兩點間的距離．在河的岸邊與CD平行的直線EF上取兩點A，B，測得，，，量得AB長為70米．求C，D兩點間的距離參考數(shù)據(jù)：，，

21.本小題8分

某校舉辦“創(chuàng)建全國文明城市”知識競賽，計劃購買甲、乙兩種獎品共30件．其中甲種獎品每件30元，乙種獎品每件20元．

如果購買甲、乙兩種獎品共花費800元，那么這兩種獎品分別購買了多少件？

若購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的3倍．如何購買甲、乙兩種獎品，使得總花費最少？22.本小題12分

如圖所示，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限的點和點，過A點作x軸的垂線，垂足為點C，的面積為

分別求出a和b的值；

結(jié)合圖象直接寫出中x的取值范圍；

在y軸上取點P，使取得最大值時，求出點P的坐標．23.本小題10分

某生活小區(qū)鮮奶店每天以每瓶3元的價格從奶場購進優(yōu)質(zhì)鮮奶，然后以每瓶6元的價格出售，如果當天賣不完，剩余的只有倒掉．店主記錄了30天的日需求量單位：瓶，整理得下表：日需求量2627282930頻數(shù)58764求這30天內(nèi)日需求量的眾數(shù)；

假設(shè)鮮奶店在這30天內(nèi)每天購進28瓶，求這30天的日利潤單位：元的平均數(shù)；

以30記錄的各需求量的頻率作為各需求是發(fā)生的概率．若鮮奶店每天購進28瓶，求在這記錄的30天內(nèi)日利潤不低于81元的概率．24.本小題12分

如圖，在中，，AD平分交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC、AB于點E、

試判斷直線BC與的位置關(guān)系，并說明理由；

若，，求陰影部分的面積結(jié)果保留25.本小題14分

已知點是拋物線為常數(shù)，，與x軸的一個交點．

Ⅰ當，時，求該拋物線的頂點坐標；

Ⅱ若拋物線與x軸的另一個交點為，與y軸的交點為C，過點C作直線l平行于x軸，E是直線l上的動點，F(xiàn)是y軸上的動點，

①當點E落在拋物線上不與點C重合，且時，求點F的坐標；

②取EF的中點N，當m為何值時，MN的最小值是？

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、，原計算正確，故此選項符合題意；

B、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；

C、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；

D、，原計算錯誤，故此選項不符合題意．

故選：

直接利用單項式乘單項式的運算法則、合并同類項法則、完全平方公式以及積的乘方的運算法則分別化簡得出答案．

此題主要考查了整式的運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．2.【答案】D

【解析】解：從上面看得到的圖形是.

故選：

根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．

本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程，設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，則實際平均每天生產(chǎn)臺機器，根據(jù)題意可得，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同，據(jù)此列方程即可．

【解答】解：設(shè)原計劃平均每天生產(chǎn)x臺機器，則實際平均每天生產(chǎn)臺機器，

由題意得

故選4.【答案】D

【解析】解：由，得

，

解得，，

則一定是等腰直角三角形，

故選：

根據(jù)非負數(shù)的和為零，可得每個非負數(shù)同時為零，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得A、B的值，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案．

本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．5.【答案】D

【解析】解：由數(shù)軸知，，則，，，，

則D選項正確，

故選：

根據(jù)數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大，得出a、b、c的大小關(guān)系和正負關(guān)系，再逐一判斷各選項．

本題主要考查了數(shù)軸上的點的大小關(guān)系，有理數(shù)的乘法與減法運算，關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合，正確判斷a、b、c的正確與大小關(guān)系．6.【答案】B

【解析】解：，

，

故選：

根據(jù)被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大，可得答案．

本題考查了估算無理數(shù)的大小，利用被開方數(shù)越大算術(shù)平方根越大得出是解題關(guān)鍵，又利用了不等式的性質(zhì)．7.【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．

分式方程去分母化為整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解為正數(shù)且列式求出m的范圍即可．

【解答】

解：去分母得：，

解得：，

由方程的解為正數(shù)且，得到，且，

解得且，

故選：D8.【答案】B

【解析】解：的面積為2，

，

，

∽，

，

，

的面積，

故選：

根據(jù)的面積為2，求得，通過∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得，即可得到結(jié)論．

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．9.【答案】C

【解析】解：矩形ABCD，

，，，

由翻折變換的性質(zhì)可得，，，

，

≌，

，，

設(shè)，則，

在中，，

即，

解得，

故選：

根據(jù)矩形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)求得AF，根據(jù)題意可得，，求解即可．

本題考查了翻折變換的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)．10.【答案】C

【解析】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，

當時，y隨x的增大而減小，

，

故選：

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不大于1列式計算即可得解．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】【分析】

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示數(shù)據(jù)時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．

【解答】

解：

故答案為：12.【答案】

【解析】解：由題意得，，

解得

故答案為：

根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．

本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查提公因式法與公式法分解因式．

本題應(yīng)先提取公因式，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．

【解答】

解：，

，

14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，根據(jù)不等式組的整數(shù)解得出關(guān)于a的不等式組是解答此題的關(guān)鍵．

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大小小大中間找確定不等式組的解集，再結(jié)合不等式組的整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于a的不等式組，解之可得答案．

【解答】

解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

則不等式組的解集為，

不等式組有2個整數(shù)解，

不等式組的整數(shù)解為2、3，

則，

解得，

故答案為：15.【答案】50

【解析】解：連接BD，如圖，

為的外接圓的直徑，

，

，

故答案為

連接BD，如圖，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．16.【答案】

【解析】解：過E作軸于H，連接OE，

設(shè)：，，

過點B作y軸的平行線交x軸于點N，作于點M，

四邊形ABCD是正方形，

，，

，

，

點F與點E分別是BC，CD的中點，

，

≌，

點F是BC的中點，則，，

同理≌，

則，，

，故，

點，則，而，

解得：，，

，

故答案為：

證明≌，點F是BC的中點，則，，同理≌，則，，，故，點，則，而，解得：，，，即可求解．

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形．17.【答案】解：

解不等式①，得，

解不等式②，得

所以原不等式組的解集為：

在數(shù)軸上表示為：

.

【解析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．

本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．18.【答案】解：

，

當時，原式

【解析】先根據(jù)分式的減法法則進行計算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．

本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．19.【答案】解：點P即為所求；如圖，

過點P作BA延長線的垂線，垂足為E，

在?ABCD中，，，

，，

平分，

，

，

在中，

，

答：的面積為

【解析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)準確畫圖．

根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可在AD邊上求作一點P，使點P到邊AB，BC的距離相等；

根據(jù)，即可求的面積．20.【答案】解：過點C、D分別作，，垂足為M、N，

在中，，

，

在中，，，

，

，

，

在中，，

，

，

答：C，D兩點間的距離為米，

【解析】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及幾個直角三角形之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．

通過作輔助線，在三個直角三角形中，根據(jù)邊角關(guān)系，分別求出CM、BM、DN、BN，進而求出答案．21.【答案】解：設(shè)甲種獎品購買了x件，乙種獎品購買了件，

根據(jù)題意得，

解得，

則，

答：甲種獎品購買了20件，乙種獎品購買了10件；

設(shè)甲種獎品購買了x件，乙種獎品購買了件，設(shè)購買兩種獎品的總費用為w元，

根據(jù)題意得，解得，

，

，

隨x的增大而增大，

又x是整數(shù)，

時，w有最小值為：

答：當購買甲種獎品8件、乙種獎品22件時，總花費最小，最小費用為680元．

【解析】本題考查了一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)的應(yīng)用，屬于中等題.

設(shè)甲種獎品購買了x件，乙種獎品購買了件，利用購買甲、乙兩種獎品共花費了800元列方程，然后解方程求出x，再計算即可；

設(shè)甲種獎品購買了x件，乙種獎品購買了件，設(shè)購買兩種獎品的總費用為w元，由購買乙種獎品的件數(shù)不超過甲種獎品件數(shù)的3倍，可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再由總價=單價數(shù)量，可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．22.【答案】解：的面積為4，

，

解得，，或不符合題意舍去，

反比例函數(shù)的關(guān)系式為，

把點和點代入得，

，；

答：，；

根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可知，不等式的解集為或；

點關(guān)于y軸的對稱點，

又，則直線與y軸的交點即為所求的點P，

設(shè)直線的關(guān)系式為，

則有，

解得，，

直線的關(guān)系式為，

直線與y軸的交點坐標為，

即點P的坐標為

【解析】根據(jù)的面積為4和反比例函數(shù)圖象的位置，可以確定k的值，進而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，代入可求出點A、B的坐標，求出a、b的值；

根據(jù)圖象直接寫出的解集；

求出點關(guān)于y軸的對稱點，根據(jù)題意直線與y軸的交點即為所求的點P，求出直線的關(guān)系式，進而求出與y軸的交點坐標即可．

本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)和應(yīng)用，把點的坐標代入是求函數(shù)關(guān)系式常用方法，作對稱點是求線段和或差最小值的常用方法．23.【答案】解：出現(xiàn)了8次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

這30天內(nèi)日需求量的眾數(shù)是27，

假設(shè)鮮奶店在這30天內(nèi)每天購進28瓶，

則這30天的日利潤的平均數(shù)是：

元，

；

設(shè)每天的需求量為x瓶時，日利潤不低于81元，根據(jù)題意得：

，

解得：，

則在這記錄的30天內(nèi)日利潤不低于81元的概率為：

【解析】根據(jù)眾數(shù)的定義即眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即可得出答案；

根據(jù)平均數(shù)的計算公式列式計算即可；

設(shè)每天的需求量為x瓶時，日利潤不低于81元，根據(jù)圖表所給出的數(shù)據(jù)列出算式，求出x的取值范圍，再根據(jù)概率公式進行計算即可．

此題考查了眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)和利用頻率估計概率，掌握這些基本概念才能熟練解題．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24.【答案】直線BC是的切線

證明：連接OD，如圖：

，

，

平分，

，

，

，

，

即，

又為的半徑，

直線BC是的切線；

解：設(shè)，則，