江蘇省南京市淳化中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

江蘇省南京市淳化中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若不等式|x–m|<1成立的充分不必要條件是2<x<3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）（A）(2，3)

（B）[2，3]

（C）(–∞，2)

（D）[3，+∞)參考答案：B2.已知，，直線，若直線l過線段AB的中點(diǎn)，則a=（

）A.-5 B.5 C.-4 D.4參考答案：B【分析】根據(jù)題意先求出線段的中點(diǎn)，然后代入直線方程求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以線段的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過線段的中點(diǎn)，所以，解得.故選【點(diǎn)睛】本題考查了直線過某一點(diǎn)求解參量的問題，較為簡單.3.函數(shù)定義在正整數(shù)有序?qū)Φ募仙希M足，則的值為

（

）

A．364

B．182

C．91

D．無法計(jì)算參考答案：A4.已知函數(shù)在同一周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)有最大值2，當(dāng)x=0時(shí)有最小值-2，那么函數(shù)的解析式為（ ）A． B．

C． D．參考答案：C略5.函數(shù)y=﹣x2+x﹣1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無法確定參考答案：A【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷求解即可．【解答】解：函數(shù)y=﹣x2+x﹣1，開口向下，又△=1﹣4×（﹣1）（﹣1）=﹣3＜0．拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．6.計(jì)算其結(jié)果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：原式=+﹣lg5+|lg2﹣1|=+﹣lg5﹣lg1+1=1，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7.甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中，成績統(tǒng)計(jì)用莖葉圖表示如圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別用甲、乙表示，則下列結(jié)論正確的是()A.甲>乙，且甲比乙成績穩(wěn)定B.甲>乙，且乙比甲成績穩(wěn)定C.甲<乙，且甲比乙成績穩(wěn)定D.甲<乙，且乙比甲成績穩(wěn)定參考答案：A略8.等比數(shù)列的第四項(xiàng)等于A. B.0 C.12 D.24參考答案：A9.若關(guān)于的不等式的解集為(0,2)，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：A10.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，則A=（）A．60° B．45° C．120° D．30°參考答案：C【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，將已知的等式變形后代入，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)．【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴由余弦定理得：cosA===﹣，又A為三角形的內(nèi)角，則A=120°．故選C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的定義域是（為整數(shù)），值域是，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對(duì)共有

▲

個(gè).參考答案：5略12.對(duì)正整數(shù)n定義一種新運(yùn)算“*”，它滿足;①;②,則=________;=_____________.參考答案：

2

13..已知圓C1：與圓C2：相外切，則ab的最大值為_______.參考答案：【分析】根據(jù)圓與圓之間的位置關(guān)系，兩圓外切則圓心距等于半徑之和，得到a+b=3．利用基本不等式即可求出ab的最大值．【詳解】由已知，

圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4的圓心為C1（a，-2），半徑r1=2．

圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1的圓心為C2（-b，-2），半徑r2=1．

∵圓C1：（x-a）2+（y+2）2=4與圓C2：（x+b）2+（y+2）2=1相外切，

∴|C1C2|==r1+r2=3要使ab取得最大值，則a，b同號(hào)，不妨取a＞0，b＞0，則a+b=3，

由基本不等式，得．

故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓之間的位置關(guān)系，基本不等式等知識(shí)，屬于中檔題．14.若函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)于定義域上的任意，恒有

②對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”。給出下列四個(gè)函數(shù)中：⑴

;

⑵

;⑶

;

⑷，能被稱為“理想函數(shù)”的有_

_（填相應(yīng)的序號(hào)）。參考答案：⑷15.在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，則△ABC的面積為

．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；%H：三角形的面積公式．【分析】由余弦定理算出cosA，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得sinA，最后由正弦定理的面積公式，可得△ABC的面積．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面積公式，得：△ABC的面積為S=bcsinA=×5×4×=，故答案為：．16.若關(guān)于x的不等式的解集是(－1,2)，則a=________，b=_______.參考答案：1

－2【分析】由題得，解方程即得解.【詳解】由題得，所以a=1,b=-2.故答案為：1

－2【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解集，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.17.已知角的終邊過點(diǎn)，則

；

．參考答案：－2，角的終邊過點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義，可知，

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足：（且），.（1）當(dāng)時(shí)，求證：是等差數(shù)列；（2）若，試比較與的大??；（3）在（2）的條件下，已知函數(shù)，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切不等式恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）可證=是以為公差的等差數(shù)列（2）由原式變形得，則.記，則，.又，，從而有，故，于是有.

=

=

=

=，顯然在時(shí)恒有，故.（3）

又顯然，，，，且數(shù)列為遞增數(shù)列只需又，令，，且當(dāng)時(shí)，易證為增函數(shù)，滿足題意的最小正整數(shù)存在，最小值為3略19.已知函數(shù)(Ⅰ)求函數(shù)的定義域和值域；

(Ⅱ)證明函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)；(Ⅲ)試判斷函數(shù)的奇偶性，并證明.參考答案：解:(Ⅰ)定義域

∴值域?yàn)?/p>

(Ⅱ)設(shè)

∴,,∴,即∴函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)

(Ⅲ)函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

設(shè)∵

∴函數(shù)為奇函數(shù).

略20.（12分）（2010秋?淄博校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知=（cos，sin），=（cos，sin），且滿足|+|=．（1）求角A的大小；（2）若||+||=||，試判斷△ABC的形狀．參考答案：考點(diǎn)：三角形的形狀判斷；向量的模；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．

專題：計(jì)算題．分析：（1）由得整理可得cosA=結(jié)合0＜A＜π可求A=．（2）由已知可得b+c=a結(jié)合正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，從而有sinB+sin（﹣B）=×，sin（B+）=．由0＜B＜可得＜B+＜，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求B，進(jìn)一步可求C，判斷三角形的形狀解答：解：（1）由得即1+1+2（coscos+sinsin）=3，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵||+||=||，∴b+c=a，由正弦定理可得，sinB+sinC=sinA，∴sinB+sin（﹣B）=×，即sinB+cosB=，∴sin（B+）=．∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴B+=或，故B=或．當(dāng)B=時(shí)，C=；當(dāng)B=時(shí)，C=．故△ABC是直角三角形．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的向量的模的求解，向量數(shù)量積的運(yùn)算，和角的三角函數(shù)及正弦定理的應(yīng)用，由特殊角的三角函數(shù)值求解角等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于綜合試題．21.已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時(shí)，有成立．（1）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調(diào)性，并證明它；（2）解不等式f（x2）＜f（2x）；（3）若f（x）≤m2﹣2am+1對(duì)所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明：在區(qū)間[﹣1，1]任取x1、x2，且x1＜x2，利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件中的分式，可以證得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函數(shù)f（x）是[﹣1，1]上的增函數(shù)；（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]遞增，不等式即為﹣1≤x2＜2x≤1，解不等式即可得到所求范圍；（3）根據(jù)函數(shù)f（x）≤m2﹣2am+1對(duì)所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，說明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數(shù)，m為參數(shù)系數(shù)，解不等式組，即可得出m的取值范圍．【解答】解：（1）f（x）是[﹣1，1]上的增函數(shù)．理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）∵＞0，即＞0，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．則f（x）是[﹣1，1]上的增函數(shù)．（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]遞增，可得不等式f（x2）＜f（2x），即為即解得0＜x≤，則解集為（0，]；（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1對(duì)所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，只須f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1對(duì)任意的a∈[﹣1，1]恒成立，亦即m2﹣2am≥0對(duì)任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，只須，解得m≤﹣2或m≥2或m=0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m=0或m≤﹣2或m≥2}．22.（本小題滿分12分）已知．（1）求的值；（2）若，求的值．參考答案：（1）由，可得．

…………2分

∵，∴，

…………