【數(shù)學(xué)】安徽省安慶市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末試題（解析版）

安徽省安慶市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，故.故選：C．2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由條件知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理知該函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.3.（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】.故選：C．4.命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槊}“”為真命題，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以只需.故選：A．5.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽“潮涌”的主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽圖形六個(gè)元素組成，其中扇面造型反映江南人文意蘊(yùn)．已知扇面呈扇環(huán)形，內(nèi)環(huán)半徑為1，外環(huán)半徑為3，扇環(huán)所對(duì)圓心角為，則該扇面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，該扇面的面積為.故選：B.6.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】在中，令，得，令，得，令，，解得：，故選：A.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由條件知，，因此.故選：B．8.已知關(guān)于的不等式（其中）在R上恒成立，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得原不等式可化為，因，所以在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，于是且，于是，，.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)椋詁的正負(fù)無法判斷，所以A可能無意義；，故B正確；由于為定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)椋?，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，，但是，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A. B.C.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸【答案】ABD【解析】根據(jù)圖象和題目條件可知，，所以，解得，A正確；將代入，可得，解得，B正確；所以，令得，，C錯(cuò)誤；令得，，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，D正確.故選：ABD．11.已知表示不超過的最大整數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的判斷，其中正確的是（）A.函數(shù)是以為周期的周期函數(shù) B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】選項(xiàng)A：因，，所以，于是函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：由函數(shù)周期可得，只需考慮的情況，而，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，所以，則，此時(shí)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：根據(jù)周期性以及選項(xiàng)C的結(jié)論，可知當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確．故選：AD.12.雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列判斷正確的是（）A.為奇函數(shù)，為偶函數(shù)B.C.函數(shù)在上的最小值為1D.函數(shù)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故A正確；，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為1，C正確；由題意得：，令，結(jié)合C選項(xiàng)可得，于是由，得，解得或（舍去），于是，因此函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ACD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知函數(shù)，則______．【答案】1【解析】因，所以，故答案為：1.14.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_____________________．【答案】【解析】由已知，不等式的解集為，故，且，為方程兩根，所以，解得，故不等式為，即，解得或.故答案為：．15.若函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________________．【答案】【解析】因，，所以，因函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，則的取值范圍是.故答案為：.16.已知且，則的最大值為______，最小值為______．【答案】【解析】由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，即的最大值為；，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取到等號(hào)，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以．（2）因“”是“”的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集，當(dāng)時(shí)，，所以只需，解得；當(dāng)時(shí)，是集合的真子集，符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由題意可知，，展開整理可得，即，解得（舍去），因?yàn)椋裕?）．19.已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值，并求對(duì)應(yīng)的自變量的值．解：（1）根據(jù)題意可得，即，所以，解得，又函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，所以，即函數(shù)的解析式為．（2）由（1）可知因，所以，所以當(dāng)，即，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為7．20.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，且使成立的的最小值為．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最大值．解：（1）由題意可知，于是函數(shù)最大值為1，最小值為，根據(jù)使成立的的最小值為，則是相鄰的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，函數(shù)的最小正周期滿足，解得，所以，解得，所以，于是，解得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）由（1）知，令，則，于是，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)的最大值為．21.茶是中華民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞?dòng)隰斨芄?，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國文化中的一朵奇葩！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌．立德中學(xué)利用課余時(shí)間開設(shè)了活動(dòng)探究課《中國茶文化》，小明同學(xué)用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室內(nèi)，開始時(shí)測得這杯茶的溫度為100℃，經(jīng)過1分鐘測得其溫度變?yōu)?0℃，再經(jīng)過1分鐘測得其溫度變?yōu)?5℃．小明想利用上述數(shù)據(jù)建立這杯茶的溫度y（單位：℃）隨經(jīng)過的時(shí)間t（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，選用了兩種函數(shù)模型：①（為常數(shù)，且）；②（為常數(shù)，）．（1）請(qǐng)通過計(jì)算幫小明同學(xué)選出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；（2）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度不要超過60℃，請(qǐng)利用（1）中選出的模型該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待多長時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）若選用①，根據(jù)條件可得，解得，所以，此時(shí)，隨著的增大而減小，符合生活實(shí)際；若選用②，根據(jù)條件可得，解得，所以，又，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，不符合生活實(shí)際，應(yīng)舍去，所以該函數(shù)模型為．（2）由（1），令，于是，兩邊取常用對(duì)數(shù)得，又，故，所以該杯茶泡好后到適宜飲用至少需要等待2.5分鐘．22.已知函數(shù)且過點(diǎn)．（1）判斷