浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

杭州學(xué)軍中學(xué)2020學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝lg（x+1）}，B＝{x||x|＜2}，則A∩B＝（）A．（﹣2，1） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣1，2）2．已知a，b∈R，則“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知實數(shù)x，y滿足，則該不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）A． B． C．2 D．34．設(shè)函數(shù)f（x）＝xln，則函數(shù)f（x）的圖象可能為（）A． B． C． D．5．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則（）A．B． C．D．6．如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體中任意兩個頂點間的的最大值為（）A．4 B． C． D．7．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對任意的x∈D，存在y∈D，使得f（x）＝﹣f（y）成立，則稱函數(shù)f（x）為“呆呆函數(shù)”，下列為“呆呆函數(shù)”的是（）A．y＝sinxcosx+cos2x B．y＝2xC.y＝lnx+ex D．y＝x2﹣2x8．從，1，2，3…，20中選取四元數(shù)組（a1，a2，a3，a4），且滿足a2﹣a1≥3，a3﹣a2≥4，a4﹣a3≥5，則這樣的四元數(shù)組（a1，a2，a3，a4）的個數(shù)是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)f（x）＝|x2+ax﹣2|﹣6，若存在a∈R，使得f（x）在[2，b]上恰有兩個零點，則實數(shù)b的最小值為（）A．2 B．4 C．2+2 D．2+210．在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點E，F(xiàn)分別是棱CD，BC上的動點，且BF＝2CE．當(dāng)三棱錐C﹣C′EF的體積取得最大值時，記二面角C﹣EF﹣C′，C′﹣EF﹣A′，A′﹣EF﹣A的平面角分別為α，β，y，則（）A．α＞β＞γ B．α＞γ＞β C．β＞α＞γ D．β＞γ＞α二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11．已知復(fù)數(shù)z滿足z（3﹣i）＝10，則復(fù)數(shù)z的虛部等于，復(fù)數(shù)z的模等于．12．在二項式的展開式中，二項式系數(shù)之和是，含x4的項的系數(shù)是．13．已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）＝，D（X）＝，則p＝；P（X＝1）＝．14．已知數(shù)列{an}滿足n?an﹣（n﹣1）?an+1＝2（n∈N*），則a1＝；設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意的n∈N*，當(dāng)n≠5時，都有Sn＜S5，則S5的取值范圍為．15．設(shè)b＞0，a﹣b2＝1，則+的最小值為．16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝1，點M，N分別是邊AD，BC的中點，延長BA和CD交NM的延長線于不同的兩點P，Q，則的值為．17．設(shè)a，b是正實數(shù)，函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣+xlna，若存在x0∈[，b]，使f（x0）≤g（x0）成立，則的取值范圍為．三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acosC+ccosA﹣2bsinB＝0．（1）求角B；（2）若角B為銳角，sin＝，BC邊上中線長AD＝，求△ABC的面積．19．已知四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD為菱形，AB＝2，AA′＝4，∠BAD＝60°，E為BC中點，C′在平面ABCD上的投影H為直線AE與DC的交點．（1）求證：BD⊥A′H；（2）求直線BD與平面BCC′B′所成角的正弦值．20．已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝4，an+1＝3Sn+4（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足anbn＝log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜．21．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l過點F且與C相交于A、B兩點，當(dāng)直線l的傾斜角為時，|AB|＝8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程．22．函數(shù)，g（x）＝ax+b．（1）若函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若直線g（x）＝ax+b是函數(shù)圖象的切線，求a+b的最小值；（3）當(dāng)b＝0時，若f（x）與g（x）的圖象有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2），試比較x1x2與2e2的大?。ㄈ為2.8，取ln2為0.7，取為1.4）

答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．D2．A3．B4．B5．B6．D7．C8．C9．C10．A二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11．1，．12．32；10．13．，．14．2；（5，6）．15．4．16．0．17．（，]．三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18．解：（1）因為acosC+ccosA﹣2bsinB＝0，所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA﹣2sinBsinB＝0，所以sin（A+C）﹣2sinBsinB＝0，可得sinB（1﹣2sinB）＝0，又因為sinB≠0，所以sinB＝，因為B為三角形內(nèi)角，所以B＝，或．（2）若角B為銳角，由（1）可得B＝，因為cosA＝1﹣2sin2＝1﹣2（）2＝，因為A，所以A＝，所以△ABC為等腰三角形，且C＝，在△ABC中，設(shè)AC＝BC＝2x，在△ADC中，由余弦定理可得AD2＝AC2+DC2﹣2AC?DC?cos＝7x2＝7，解得x＝1，所以AC＝BC＝2，所以S△ABC＝AC?BC?sinC＝，所以三角形的面積為．19．（15分）已知四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，底面ABCD為菱形，AB＝2，AA′＝4，∠BAD＝60°，E為BC中點，C′在平面ABCD上的投影H為直線AE與DC的交點．（1）求證：BD⊥A′H；（2）求直線BD與平面BCC′B′所成角的正弦值．（1）證明：連接A′C′，∵AA′∥CC′，AA′＝CC′，∴四邊形ACC′A′是平行四邊形，∴AC∥A′C′，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴BD⊥A′C′，∵C′H⊥平面ABCD，∴C′H⊥BD，又C′H∩A′C′＝C′，∴BD⊥平面A′C′H，又A′H?平面A′C′H，∴BD⊥A′H．（2）解：∵E是BC的中點，∴BE＝CE，∵AB∥CH，∴∠CHE＝∠BAE，又∠CEB＝∠BEA，∴△ABE≌△BCE，∴BC＝AB＝2，又CC′＝4，C′H⊥CH，∴C′H＝＝2，以H為原點，以HD為x軸，以HC′為z軸建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖所示，則D（4，0，0），C（2，0，0），B（3，，0），C′（0，0，2），∴＝（1，﹣，0），＝（﹣1，﹣，0），＝（﹣2，0，2），設(shè)平面BCC′B′的法向量為＝（x，y，z）則，即，令x＝可得＝（，﹣1，1），∴cos＜，＞＝＝＝，∴直線BD與平面BCC′B′所成角的正弦值為．20．（15分）已知各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝4，an+1＝3Sn+4（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足anbn＝log2an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜．解：（1）各項均不為零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝4，an+1＝3Sn+4（n∈N*）①．則：an＝3Sn﹣1+4②，①﹣②得：an+1＝4an，即：，當(dāng)n＝1時，解得：a1＝4，所以：．證明：（2）數(shù)列{bn}滿足anbn＝log2an，所以：，+…+①，則：…+②，①﹣②得：，＝，解得：．21．（15分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，直線l過點F且與C相交于A、B兩點，當(dāng)直線l的傾斜角為時，|AB|＝8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程．解：（1）設(shè)直線l的方程為y＝x﹣代入y2＝2px，可得x2﹣3px+＝0，于是|AB|＝x1+x2+p＝4p＝8，可得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x；（2）由題意可得l與坐標軸不垂直，所以可設(shè)直線l的方程為x＝my+1（m≠0），代入y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2＝4m，y1y2所以AB的中點為D（2m2+1，2m），|AB又直線l'的斜率為﹣m，所以直線l'的方程為x＝﹣y+2m2將上式代入y2＝4x，整理可得y2+y﹣4（2m2設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），則y3+y4＝﹣，y3y4＝﹣4（2m2則MN的中點E的縱坐標為﹣，所以MN的中點E（2m2++3，﹣），|MN|＝|y3﹣y4|＝?＝，由于MN垂直平分AB，所以A，M，B，N四點在同一個圓上等價于|AE|＝|BE|＝|MN|，從而|AB|2+|DE|2＝|MN|2，即4（m2+1）2+（2m+）2+（+2）2＝，化簡可得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1，所求直線l的方程為x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．22．（15分）函數(shù)，g（x）＝ax+b．（1）若函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若直線g（x）＝ax+b是函數(shù)圖象的切線，求a+b的最小值；（3）當(dāng)b＝0時，若f（x）與g（x）的圖象有兩個交點A（x1，y1），B（x2，y2），試比較x1x2與2e2的大小．（取e為2.8，取ln2為0.7，取為1.4）解：（1）：h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣﹣ax﹣b，則h′（x）＝+﹣a，∵h（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴對?x＞0，都有h′（x）＝+﹣a≥0，即對?x＞0，都有a≤+，∵+＞0，∴a≤0，故實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]；（2）：設(shè)切點（x0，lnx0﹣），則切線方程為y﹣（lnx0﹣）＝（+）（x﹣x0），即y＝（+）x﹣（+）x0+（lnx0﹣），亦即y＝（+）x+（lnx0﹣﹣1），令＝t，由題意得a＝t+t2，b＝﹣lnt﹣2t﹣1，令a+b＝φ（t）＝﹣lnt+t2﹣t﹣1，則φ′（x）＝﹣+2t﹣1＝，當(dāng)t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴a+b＝φ（t）≥φ（1）＝﹣1，故a+b的最小值為﹣1；（Ⅲ）：由題意知lnx1﹣＝ax1，lnx2﹣＝ax2，兩式相加得lnx1x2﹣＝a（x1+x2），兩式相減得ln﹣＝a（x2﹣x1），即+＝a，∴l(xiāng)nx1x2﹣＝（+）（x1+x2），即lnx1x2﹣2×