2024年遼寧省錦州市第八初級中學(xué)九年級中考一模數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

錦州市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期101行動計(jì)劃終極性評價(jià)九年級數(shù)學(xué)試卷（本試卷共23道題滿分120分考試時(shí)間120分鐘）考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無效第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1．若零下2攝氏度記為，則零上2攝氏度記為（

）A． B． C． D．2．如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體擺成的幾何體，則這個(gè)幾何體的俯視圖是（

）

A．

B．

C．

D．

3．下列綠色能源圖標(biāo)中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．4．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．5．若方程沒有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（

）A． B． C． D．6．小明同學(xué)解方程的過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤（

）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得

第一步即

第二步解得，

第三步A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．三步都正確7．元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A． B．C． D．8．如圖是一次函數(shù)＝與＝的圖象，則下列結(jié)論：①；②；③：④方程＝的解是＝，錯誤的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)9．光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)G在射線上，已知，則的度數(shù)為（

）．A．20° B．25° C．35° D．65°10．如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，直線分別與邊相交于點(diǎn)D，E，連接．若，則的長為（

）

A．9 B．8 C．7 D．6第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每題3分，共15分）11．計(jì)算：．12．如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），將正方形OABC沿著OB方向平移OB個(gè)單位，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為．13．甲袋有紅球2個(gè)、白球1個(gè)，乙袋有紅球1個(gè)、白球1個(gè)，這些球除顏色外無其他差別，在看不到球的情況下，從兩個(gè)袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的兩個(gè)球都是紅球的概率是．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過上的兩點(diǎn)A，P，其中P為的中點(diǎn)，的面積為8，則k的值為．15．如圖，直線于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，．三、解答題（本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16．計(jì)算(1)(2)17．一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫(yī)務(wù)人員主動請纓逆行走向戰(zhàn)場外，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲，乙兩種貨車向疫區(qū)運(yùn)送愛心物資，兩次滿載的運(yùn)輸情況如表：甲種貨車輛數(shù)乙種貨車輛數(shù)合計(jì)運(yùn)物資噸數(shù)第一次2322第二次4540(1)求甲、乙兩種貨車每次滿載分別能運(yùn)輸多少噸物資；(2)由于疫情的持續(xù)，該公司安排甲、乙貨車共10輛進(jìn)行第三次物資的運(yùn)送，運(yùn)送的物資不少于噸，請問該公司應(yīng)至少安排甲種貨車多少輛？18．某中學(xué)為了了解學(xué)生最喜歡的課外活動，以便更好開展課后服務(wù)．隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查．調(diào)查問卷如下：調(diào)查問題在下列課外活動中，你最喜歡的是（

）（單選）A．文學(xué)；B．科技；C．藝術(shù)；D．體育填完后，請將問卷交給教務(wù)處．根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到的數(shù)據(jù)，繪制成下面的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下面的問題：(1)在這次調(diào)查中，抽取的學(xué)生一共有________人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中n的值為________；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖：(3)在“文學(xué)”、“科技”、“藝術(shù)”、“體育”這四個(gè)項(xiàng)目中，眾數(shù)是________，如果想在這四項(xiàng)中選擇兩項(xiàng)作為課后服務(wù)的內(nèi)容，說出你的選擇，并說明理由．(4)若該校共有1000名學(xué)生參加課外活動，則估計(jì)選擇“體育”類課外活動的學(xué)生有多少人？19．洛陽牡丹餅是河南省洛陽市的一道傳統(tǒng)小吃，入口酥松綿軟，而且具有促進(jìn)人體代謝，降低膽固醇及防止細(xì)胞老化功能，深受老百姓喜愛．劉小姐假期去洛陽游玩，準(zhǔn)備回去時(shí)帶點(diǎn)牡丹餅給家人和朋友品嘗，已知甲、乙兩家超市都以20元/盒的價(jià)格銷售同一種牡丹餅，并且同時(shí)在做促銷活動：甲超市：辦理本超市會員卡（卡費(fèi)50元），食品全部打七折銷售；乙超市：購買同種商品超過一定數(shù)量后，超過的部分打折銷售．活動期間，若劉小姐購買牡丹餅袋，在甲、乙超市所需費(fèi)用分別為元、元，與x之間的函數(shù)圖象如圖所示，回答下列問題：

(1)分別求出、與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x的值為多少時(shí)，在兩家超市購買的費(fèi)用一樣？(3)若劉小姐準(zhǔn)備購買20盒牡丹餅，你認(rèn)為在哪家超市購買更劃算？20．圖1是一臺實(shí)物投影儀，圖2是它的示意圖，折線表示固定支架，垂直水平桌面于點(diǎn)，點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，可轉(zhuǎn)動，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，投影探頭始終垂直于水平桌面，經(jīng)測量：，，，．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)如圖2，，．①填空：________；②投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離為________．(2)如圖3，將（1）中的向下旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離．21．如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)D，是的切線，且，垂足為E，延長交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求AF的長．22．乒乓球被譽(yù)為中國國球．2023年的世界乒乓球標(biāo)賽中，中國隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺的截面示意圖，一位運(yùn)動員從球臺邊緣正上方以擊球高度為28.75cm的高度，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．乒乓球到球臺的豎直高度記為y（單位：cm），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為x（單位：cm）．測得如下數(shù)據(jù)：水平距離x/cm0105090130170230豎直高度y/cm28.7533454945330(1)①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球合之間的距離是________cm，當(dāng)乒乓球落在對面球臺上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是________cm；②求滿足條件的拋物線解析式：(2)技術(shù)分析：如果乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，最高點(diǎn)與球臺之間的距離不變，只上下調(diào)整擊球高度，確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對面球臺上，需要計(jì)算出的取值范圍，以利于有針對性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺長為274cm，球網(wǎng)高15.25cm．現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為48cm．請你計(jì)算出乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點(diǎn)處時(shí)，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）．23．如圖1，點(diǎn)P是線段上與點(diǎn)A，點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以A、P、B為頂點(diǎn)作，其中與的一邊分別是射線和射線，的兩邊不在直線上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段為等聯(lián)線；(1)如圖2，在個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長均為1，為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段．請用連接格點(diǎn)的方法，作出以線段為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留作圖痕跡；(2)如圖3，在中，，延長至點(diǎn)B，使，作的等聯(lián)角和．將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，得，再延長交的延長線于E，連接并延長交的延長線于F，連接．①確定的形狀，并說明理由：②若，直接寫出等聯(lián)線和線段的長（用含k的式子表示）．

參考答案與解析1．C【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義可進(jìn)行求解．【解答】解：由題意可知零上2攝氏度記為；故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，熟練掌握正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】從上往下看得到的圖形就是俯視圖，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意得：這個(gè)幾何體的俯視圖是：

，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上往下看得到的圖形就是俯視圖．3．B【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項(xiàng)分析判斷即可得解，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了中心對稱圖形以及軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．4．B【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】A.，故該選項(xiàng)不符合題意；B.，故該選項(xiàng)符合題意；C.，故該選項(xiàng)不符合題意；D.，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】直接利用根的判別式進(jìn)行判斷，求出m的取值范圍即可．【解答】解：由題可知：“△＜0”，∴,∴,故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，解決本題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)“△＜0”時(shí)，該方程無實(shí)數(shù)根，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解與掌握．6．B【分析】本題主要考查了解分式方程，掌握分式方程的基本步驟成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)解分式方程的步驟解分式方程并結(jié)合題意即可解答．【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以，可得:，即從第二步出現(xiàn)錯誤．故選B．7．D【分析】設(shè)快馬天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．【解答】解：設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系進(jìn)行判斷即可；【解答】∵一次函數(shù)＝經(jīng)過第一、二、四象限，∴，，故①③正確；∵直線＝的圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴，故②錯誤；∵一次函數(shù)＝與＝的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，∴當(dāng)時(shí)，＝，故④正確；綜上所述，錯誤的有1個(gè)．故答案選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角的和差等知識點(diǎn)，掌握平行線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,然后根據(jù)角的和差即可解答．【解答】解：∵，∴，∴．故選：B．10．D【分析】由作圖可知直線為邊的垂直平分線，再由得到，則可知三點(diǎn)在以為圓心直徑的圓上，進(jìn)而得到，由勾股定理求出即可．【解答】解：由作圖可知，直線為邊的垂直平分線，∵∴，∵，∴，∴三點(diǎn)在以為圓心直徑的圓上，∴，∵，∴∴．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)和勾股定理，解答關(guān)鍵是熟練掌握常用尺規(guī)作圖的作圖痕跡，由作圖過程得到新的結(jié)論．11．【解答】解：根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算：．故答案為：．12．（1，3）．【解答】試題分析：將正方形OABC沿著OB方向平移OB個(gè)單位，即將正方形OABC沿先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，根據(jù)平移規(guī)律即可求出點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．解：∵在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OC=OA=2，C（0，2），∵將正方形OABC沿著OB方向平移OB個(gè)單位，即將正方形OABC沿先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3）．故答案為（1，3）．點(diǎn)撥：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．理解將正方形OABC沿著OB方向平移OB個(gè)單位，即將正方形OABC沿先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位是解題的關(guān)鍵．13．【分析】本題考查了用列舉法求概率，先根據(jù)題意將所有的情況列出來，再得到符合題意的情況，即可求得概率，列出所有情況是解題的關(guān)鍵．【解答】解：根據(jù)題意可列表如下：紅球紅球白球紅球都是紅球都是紅球1紅1白白球1紅1白1紅1白都是白球共有6種等可能結(jié)果，符合題意的有2種，∴摸出的兩個(gè)球的顏色都是紅色的概率是，故答案為：．14．【分析】由題意直接根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義解答即可，即求出三角形面積即可．【解答】解：如圖，連接，作軸，垂足為E，軸，垂足為D，∵P為的中點(diǎn)，∴，,∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、P，∴∴∴∴，∴∵反比例函數(shù)的圖象在第二象限，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．15．或或【分析】當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作于，過左于，過作于，設(shè)，證明，可得，，由，為中點(diǎn)，知，，故，由勾股定理可得，分三種情況列方程；當(dāng)在左側(cè)，時(shí)，在上取，連接，，證明，可得，，即得，，故．【解答】解：當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作于，過作于，過作于，如圖：設(shè)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，；，為中點(diǎn)，，，，，四邊形是矩形，，，，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），；當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），不存在這種情況；當(dāng)時(shí)，，解得；；當(dāng)在左側(cè)，時(shí)，在上取，連接，，如圖：將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，，，，，，，，即，，．綜上所述，為、、．故答案為：、、．【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示的三邊長．16．(1)(2)【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、分式的混合運(yùn)算等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．（1）先用乘方、絕對值化簡，然后再按照有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）直接運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】（1）解：．（2）解：．17．(1)甲、乙兩種貨車每次滿載分別能運(yùn)輸5噸和4噸物資(2)8輛【分析】（1）設(shè)甲、乙兩種貨車每次滿載分別能運(yùn)輸噸和噸物資，根據(jù)表中數(shù)據(jù)列出二元一次方程組進(jìn)行解答便可；（2）設(shè)安排甲貨車輛，乙貨車輛，根據(jù)題意列出不等式，解之取最小整數(shù)解即可．【解答】（1）解：設(shè)甲、乙兩種貨車每次滿載分別能運(yùn)輸噸和噸物資，根據(jù)題意，得，解得，，答：甲、乙兩種貨車每次滿載分別能運(yùn)輸5噸和4噸物資；（2）設(shè)安排甲貨車輛，乙貨車輛，根據(jù)題意得，，解得，，∴該公司應(yīng)至少安排甲種貨車8輛．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，考查了學(xué)生用方程解實(shí)際問題的能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立方程組，并利用不等式求解大貨車的數(shù)量．18．(1)200,22(2)見解析(3)文學(xué)，選擇“文學(xué)”和“科技”項(xiàng)目，理由見解析(4)220人【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)整體等知識點(diǎn)，正確利用條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得出正確信息是解題關(guān)鍵．（1）由喜歡文學(xué)的人數(shù)除以其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，用喜歡“體育”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以即可求出n的值；（2）先求出“藝術(shù)”項(xiàng)目的人數(shù)，然后畫出條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）根據(jù)眾數(shù)的定義和意義即可解答；（4）用1000乘以選擇“體育”類的百分比即可解答．【解答】（1）解：本次調(diào)查中，抽取的學(xué)生數(shù)為：，扇形統(tǒng)計(jì)“體育”所占的百分比為：，即．故答案為：200,22．（2）解：“藝術(shù)”項(xiàng)目的人數(shù)為：，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）解：由于本次調(diào)查中，“文學(xué)”項(xiàng)目的人數(shù)最多，則眾數(shù)為文學(xué)．如果想在這四項(xiàng)中選擇兩項(xiàng)作為課后服務(wù)的內(nèi)容，應(yīng)選擇“文學(xué)”和“科技”項(xiàng)目，因?yàn)檫@兩個(gè)項(xiàng)目占的比重相對較大．（4）解：估計(jì)選擇“體育”類課外活動的學(xué)生有（人）．答：選擇“體育”類課外活動的學(xué)生有220人．19．(1)，；(2)15；(3)在乙超市購買更劃算．【分析】（1）根據(jù)超市的促銷活動，列式求得，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）由（1）得到的購物所付的費(fèi)用使其相等，求解即可；（3）利用（1）中得到的代數(shù)式，分別將代入、，比較即可．【解答】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由題意得，解得，∴，∴與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）由題意得，或，解得：或，∵x為整數(shù)，∴x取15，∴當(dāng)時(shí)，在兩家超市購買的費(fèi)用一樣．（3）當(dāng)時(shí)，（元），（元），∵，∴在乙超市購買更劃算．【點(diǎn)撥】本題考查了求一次函數(shù)解析式，一元一次方程，求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．20．(1)①；②(2)【分析】（1）①如圖所示，延長交于F，先證明得到，再利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)即可；②解求出，進(jìn)而計(jì)算即可求解；（2）如圖所示，延長交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作，與延長線相交于點(diǎn)M，過A作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，由（1）得，，則，求出，解，求出，則，即投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離為．【解答】（1）解：①如圖所示，延長交于F，∵，，∴，∴，∴，故答案為：；②在中，，，，∴，∴，∵，∴投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離為，故答案為：；（2）解：如圖所示，延長交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作，與延長線相交于點(diǎn)M，過A作于點(diǎn)F，則四邊形是矩形，由（1）得，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴投影探頭的端點(diǎn)到桌面的距離為．【點(diǎn)撥】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．21．(1)見解析(2)【分析】（1）如圖：連接．根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，即，則，然后得到，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答；（2）如圖：連接DF，DA,根據(jù)圓周角定理結(jié)合（1）的相關(guān)結(jié)論可得，即；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后再證可得，最后根據(jù)正切的定義列比例式求解即可．【解答】（1）證明：如圖：連接．∵是的切線．∴半徑，∵，∴．∴，∴．∵．∴．∴，∴是的外角，∴．（2）解：如圖：連接DF，DA,∵，，∴．∴．∵．∴．∵是圓的直徑．∴．∴．．∵，∴．∴．∴∴，在中，,,∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．(1)①49，230；②(2)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點(diǎn)處時(shí)，擊球高度的值為4.11cm