湖北省隨州一中2023-2024學年高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省隨州一中2023-2024學年高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象上兩點,關(guān)于直線的對稱點在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.的展開式中的常數(shù)項為()A.-60 B.240 C.-80 D.1803.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.34.一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行,則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.6.函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象,并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實數(shù)的值為()A. B. C.2 D.7.某校在高一年級進行了數(shù)學競賽(總分100分),下表為高一·一班40名同學的數(shù)學競賽成績:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學生的數(shù)學競賽成績,運行相應的程序,輸出,的值,則()A.6 B.8 C.10 D.128.己知拋物線的焦點為,準線為,點分別在拋物線上,且,直線交于點,,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.69.已知復數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實數(shù)a=()A.-1 B.1 C.0 D.210.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則11.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.12.已知函數(shù)(e為自然對數(shù)底數(shù)),若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解,則實數(shù)m的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的左右頂點為,以為直徑作圓,為雙曲線右支上不同于頂點的任一點,連接交圓于點,設直線的斜率分別為,若,則_____.14.已知等邊三角形的邊長為1.,點、分別為線段、上的動點,則取值的集合為__________.15.若,則的最小值為________.16.平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F(xiàn)分別是棱AB,PC的中點.求證:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.18.(12分)已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個值,當時,求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在上存在唯一的零點;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1,求的值.20.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左頂點為,右焦點為,為橢圓上兩點,圓.(1)若軸,且滿足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點滿足,求直線被圓截得弦長的最大值.21.(12分)已知動圓E與圓外切,并與直線相切,記動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點的直線l交曲線C于A,B兩點,若曲線C上存在點P使得,求直線l的斜率k的取值范圍.22.(10分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個公共點,可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點,關(guān)于直線的對稱點在上,即曲線與有兩個公共點,即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當時,;當時,,故時取得極大值,也即為最大值,當時,;當時,,所以滿足條件.故選:D【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.2、D【解析】

求的展開式中的常數(shù)項,可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項和項,再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項為,中項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:.故選:D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式,考查學生計算能力,屬于基礎題.3、B【解析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎題.4、A【解析】

求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.5、A【解析】

用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設,由于,排除B選項;由于,所以,排除C選項;由于當時,,排除D選項.故A選項正確.故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.6、C【解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,可得時,取得最大值,即,,,當時,解得,故選C.點睛:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運用,屬于基礎題;據(jù)平移變換“左加右減,上加下減”的規(guī)律求解出,根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時,取得最大值,求解可得實數(shù)的值.7、D【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出的意義,由此求得的值,進而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數(shù),的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù),故,,所以.故選:D【點睛】本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎知識;考查運算求解能力,邏輯推理能力和數(shù)學應用意識.8、D【解析】

作,垂足為,過點N作,垂足為G,設,則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點,即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設,由,得,則,.過點N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因為,所以為線段的中點,所以F到l的距離為.故選:D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識,屬于中檔題.9、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù),故a-1=0故選:B.【點睛】本題考查了根據(jù)復數(shù)類型求參數(shù),意在考查學生的計算能力.10、C【解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果.【詳解】對于,若,則可能為平行或異面直線,錯誤;對于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯誤;對于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對于,若,只有當垂直于的交線時才有,錯誤.故選:.【點睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.11、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項:【點睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎題.12、A【解析】

若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,利用導數(shù)求出的最小值,分別畫出與的圖象,結(jié)合圖象可得.【詳解】解:,∴,設,∴,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,∴,當時,,當,,函數(shù)恒過點,分別畫出與的圖象,如圖所示,,若不等式有且只有一個正整數(shù)解,則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值,∴且,即,且∴,故實數(shù)m的最大值為,故選:A【點睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題,考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了數(shù)學運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)雙曲線上的點的坐標關(guān)系得,交圓于點,所以,建立等式,兩式作商即可得解.【詳解】設,交圓于點,所以易知:即.故答案為:【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標關(guān)系求解斜率關(guān)系,涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論,若能熟記常見二級結(jié)論,此題可以簡化計算.14、【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標系,設三角形各點的坐標,依題意求出,,,的表達式,再進行數(shù)量積的運算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點為坐標原點,所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則,,,,則,,,設,,,即點的坐標為,則,,,所以故答案為:【點睛】本題考查平面向量的坐標表示和線性運算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運算,是中檔題.15、【解析】

由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號取得的條件?!驹斀狻坑深}意,,當且僅當時等號成立,所以,當且僅當時取等號,所以當時,取得最小值.【點睛】利用基本不等式求最值必須具備三個條件:①各項都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號取得的條件。16、【解析】

作出平面區(qū)域,可知平面區(qū)域為三角形,求出三角形的三個頂點坐標,設三角形的外接圓方程為,將三角形三個頂點坐標代入圓的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,平面區(qū)域為,聯(lián)立,解得,則點,同理可得點、,設的外接圓方程為,由題意可得,解得,,,因此,所求圓的方程為.故答案為:.【點睛】本題考查三角形外接圓方程的求解,同時也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作,考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)取的中點構(gòu)造平行四邊形,得到,從而證出平面;(2)先證平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【詳解】證明:(1)如圖,取的中點,連接,,是棱的中點,底面是矩形,,且,又,分別是棱,的中點,,且,,且,四邊形為平行四邊形,,又平面,平面,平面;(2),點是棱的中點,,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【點睛】本題主要考查線面平行的判定,面面垂直的判定,首選判定定理,是中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)求解不等式,結(jié)合整數(shù)解有且僅有一個值,可得,分類討論,求解不等式,即得解;(2)轉(zhuǎn)化,使得成立為,利用不等式性質(zhì),求解二次函數(shù)最小值,代入解不等式即可.【詳解】(1)不等式,即,所以,由,解得.因為,所以,當時,,不等式等價于或或即或或,故,故不等式的解集為.(2)因為,由,可得,又由,使得成立,則,解得或.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了絕對值不等式的求解和恒成立問題,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,分類討論,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)求解出導函數(shù),分析導函數(shù)的單調(diào)性,再結(jié)合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可;(2)根據(jù)導函數(shù)零點,判斷出的單調(diào)性,從而可確定,利用以及的單調(diào)性,可確定出之間的關(guān)系,從而的值可求.【詳解】(1)證明:∵,∴.∵在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.又,令,,則在上單調(diào)遞減,,故.令,則所以函數(shù)在上存在唯一的零點.(2)解:由(1)可知存在唯一的,使得,即(*).函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.∴.由(*)式得.∴,顯然是方程的解.又∵是單調(diào)遞減函數(shù),方程有且僅有唯一的解,把代入(*)式,得,∴,即所求實數(shù)的值為.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點個數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù),難度較難.(1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)時,可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點的存在性定理進行判斷;(2)函數(shù)的“隱零點”問題,可通過“設而不求”的思想進行分析.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因為直線與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點坐標:因為軸,所以,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值.設直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用得,化簡得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達定理得,因此,當時,取最小值,取最大值為.試題解析:解:(1)因為橢圓的方程為,所以,.因為軸,所以,而直線與圓相切,根據(jù)對稱性,可取,則直線的方程為,即.由圓與

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