考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))歷年真題試卷匯編15(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）歷年真題試卷匯編15(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，Im為m階單位矩陣，則下述結(jié)論中正確的是()A．A的任意m個(gè)列向量必線性無關(guān)．B．A的任意一個(gè)m階子式不等于零．C．若矩陣B滿足BA=O，則B=O．D．A通過初等行變換，必可以化為[ImO]的形式．正確答案：C解析：1由BA=O知A的每個(gè)列向量都是齊次方程組Bx=0的解，由題設(shè)知A的列向量中有m個(gè)是線性無關(guān)的，故Bx=0解集合中至少有m個(gè)線性無關(guān)的解向量，因而Bx=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．2由于r(Am×n)=m，故存在可逆矩陣Pm×n，使得AP=[ImO]用右乘兩端，得記n×m矩陣Q=P，則有AQ=Im，于是用Q右乘題設(shè)等式BA=O兩端，得BAQ=O，即BIm=O，亦即B=O．知識(shí)模塊：線性代數(shù)2．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A．若存在3階矩陣B≠O使得AB=O，則()A．λ=－2且|B|=0B．λ=－2且|B|≠0C．λ=1且|B|=0D．λ=1且|B|≠0正確答案：C解析：1設(shè)B按列分塊為B=[β1β2β3]，則由題設(shè)條件，有O=AB=[Aβ1Aβ2Aβ3]所以Aβj=0(j=1，2，3)，即矩陣B的每一列都是方程組Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程組Ax=0存在非零解，從而有=(λ－1)2=0得λ=1另一方面，必有|B|=0，否則|B|≠0，則B可逆，于是由給AB=O兩端右乘B－1，得A=O，這與A≠O矛盾，故必有|B|=0．因此C正確．2同解1一樣可說明必有|B|=0，同理有|A|=0，觀察可知當(dāng)λ=1時(shí)有|A|==0，故C正確．知識(shí)模塊：線性代數(shù)3．設(shè)α1，α2，α3是4元非齊次線性方程組Ax=b的3個(gè)解向量，且A的秩r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解X=()A．B．C．D．正確答案：C解析：由于AX=b的通解等于AX=b的特解與AX=0的通解之和，故只要求出AX=0的基礎(chǔ)解系，即得AXb的通解．因?yàn)閞(A)=3，故4元齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為4－r(A)=1，所以AX=0的任一非零解就是它的基礎(chǔ)解系．由于α1及1／2(α2+α3)都是Ax=b的解．故α1－(α2+α3)=1／2[2α1－(α2+α3)]是AX=0的一個(gè)解，從而ξ=(2，3，4，5)T也是AX=0的一個(gè)解，由上述分析知考是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故Ax=b的通解為X=α1+cξ，因此C正確．知識(shí)模塊：線性代數(shù)4．設(shè)A為n階實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAN=0，必有()A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正確答案：A解析：若向量X滿足方程組AX=0，兩端左乘AT，得ATAX=0，即X也滿足方程組ATAX=0，故AX=0的解都是ATAX=0的解．反之，若X滿足ATAX=0，兩端左乘XT，得ATATAX=0，即(AX)T(AX)=0，或‖AX‖2=0，故AX=0，即X也滿足方程組AX=0，故ATAX=0的解都是AX=0的解由以上兩方面，說明方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)是同解的，故A正確．知識(shí)模塊：線性代數(shù)5．設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，且秩=秩(A)，則線性方程組()A．AX=α必有無窮多解．B．AX=α必有惟一解．C．=0僅有零解．D．=0必有非零解．正確答案：D解析：方程組=0是λ+1元齊次線性方程組，由條件，其系數(shù)矩陣的秩=An×n的秩≤n＜n+1，故該λ+1元齊次線性方程組必有非零解．于是知D正確．知識(shí)模塊：線性代數(shù)6．設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則線性方程組(AB)x=0()A．當(dāng)n＞m時(shí)僅有零解．B．當(dāng)n＞m時(shí)必有非零解．C．當(dāng)m＞n時(shí)僅有零解．D．當(dāng)m＞n時(shí)必有非零解．正確答案：D解析：1注意AB為m階方陣，方程組(AB)x=0有非零解(只有零解)(AB)＜m(r(AB)=m)．當(dāng)m＞n時(shí)，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故當(dāng)m＞n時(shí)，方程組(AB)x=0必有非零解．可以舉例說明備選項(xiàng)A、B都不對(duì)．故只有D正確．2B為n×m矩陣，當(dāng)n＜m時(shí)，齊次線性方程組Bx=0必有非零解，從而知當(dāng)n＜m時(shí)，齊次線性方程組ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．知識(shí)模塊：線性代數(shù)7．設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系()A．不存在．B．僅含一個(gè)非零解向量．C．含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量．D．含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量．正確答案：B解析：由A*≠O知A*至少有一個(gè)元素Aij=(－1)ijMij≠0，故A的余子式Mij≠0．而Mij為A的n－1階子式，故r(A)≥n－1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n－1，因此，Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n－r(A)=n－(n－1)=1，只有B正確．知識(shí)模塊：線性代數(shù)8．設(shè)A為4×3矩陣，η1，η2，η3是非齊次線性方程組Ax=β的3個(gè)線性無關(guān)的解，k1，k2為任意常數(shù)，則Ax=β的通解為()A．B．C．D．正確答案：C解析：首先，由A[1／2(η2+η3)]=β，知1／2(η2+η3)是Ax=β的一個(gè)特解；其次，由解的性質(zhì)或直接驗(yàn)證，知η2－η1及η3－η1均為方程組Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3線性無關(guān)，利用線性無關(guān)的定義，或由[η2－η1，η3－η1]及矩陣的秩為2，知向量組η2－η1，η3－η1，線性無關(guān)，因此，方程組Ax=0至少有2個(gè)線性無關(guān)的解，但它不可能有3個(gè)線性無關(guān)的解(否則，3－r(A)=3，r(A)=0．A=O，這與Aη1=β≠0矛盾)，于是η2－η1，η3－η1可作為Ax=0的基礎(chǔ)解系，Ax=0的通解為k1(η2－η1)+k2(η3－η1)，再由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理即知只有選項(xiàng)C正確．知識(shí)模塊：線性代數(shù)填空題9．設(shè)其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)．則線性方程組ATX=B的解是_______．正確答案：(1，0，…，0)T．解析：因?yàn)閍1，a2，…，an兩兩不相等，故范德蒙行列式|A|=(ai－aj)≠0，所以方程組ATX=B的系數(shù)行列式|AT|=|A|≠0，故方程組有唯一解，再由觀察法或克萊默法則可得此唯一解為X=(1，0，…，0)T．知識(shí)模塊：線性代數(shù)解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．k為何值時(shí)，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多組解?在有解情況下，求出其全部解．正確答案：對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換：由此可知(1)當(dāng)k≠1且k≠4時(shí)，r(A)=r()=3，方程組有唯一解．此時(shí)，由得方程組的唯一解為：(2)當(dāng)k=－1時(shí)，r(A)=2＜r()=3．方程組無解．(3)當(dāng)k=4時(shí)，有r(A)=r()=2＜3．故方程組有無窮多解．由階梯形矩陣得同解方程組：令x3=c，得方程組的全部解：涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)設(shè)有線性方程組11．證明：若a1，a2，a3，a4兩兩不相等，則此線性方程組無解；正確答案：增廣矩陣為一方陣，其行列式顯然為－4階范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置：=(a2－a1)(a3－a1)(a4－a1)(a3－a2)(a4－a2)(a4－a3)由a1，a2，a3，a4兩兩不相等，知||≠0，從而知矩陣的秩為4．但系數(shù)矩陣A為4×3矩陣，有r(A)≤3(或由A左上角的3階子式不等于零知r(A)=3)，故r(A)≠r()，因此方程組無解．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)12．設(shè)a1=a3=k，a2=a4=－k(k≠0)，且已知β1=(－1，1，1)T，β2=(1，1，－1)T是該方程組的兩個(gè)解，寫出此方程組的通解．正確答案：當(dāng)a1=a3=k，a2=a4=－k(k≠0)時(shí)，方程組為因?yàn)?－2k≠0，故r(A)=r()=2，從而原方程組相容且它的導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有3－2=1個(gè)解向量．因?yàn)棣?，β2是原非齊次方程組的兩個(gè)解，故ξ=β1－β2是對(duì)應(yīng)齊次方程組的解，且ξ≠0，故ξ是導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系．于是原非齊次方程組的通解為X=β1+cξ(c為任意常數(shù))涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)13．設(shè)向量組α1=(a，2，10)T，α2=(－2，1，5)T，α3=(－1，1，4))T，β=(1，b，c)T．試問：當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)(1)β可由α1，α2，α3線性表出，且表示唯一?(2)β不能由α1，α2，α3線性表出?(3)β可由α1，α2，α3線性表出，但表示不唯一?并求出一般表達(dá)式．正確答案：1設(shè)有一組數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β該方程組的系數(shù)行列式(1)當(dāng)a≠－4時(shí)，|A|≠0，方程組有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地線性表出．(2)當(dāng)a=－4時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行的初等變換，有若3b－c≠1，則秩(A)≠秩()，方程組無解，β不能由α1，α2，α3線性表出．(3)當(dāng)a=－4，且3b－c=1時(shí)，秩(A)=秩()=2＜3，方程組有無窮多解，β可由α1，α2，α3線性表出，但表示不唯一．此時(shí)，解得k1=t，k2=－2t－b－1，k3=2b+1(t為任意常數(shù))因此有β=tα1－(2t+b+1)α2+(2b+1)α32設(shè)有一組數(shù)x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β對(duì)該方程組的增廣矩陣作初等行變換，有(1)當(dāng)－2－≠0，即a≠－4時(shí)，秩(A)：秩()=3，方程組有唯一解，β可由α1，α2，α3線性表出，且表示唯一．(2)當(dāng)－2－=0，即a=－4時(shí)，對(duì)作初等行變換，有當(dāng)3b－c≠1時(shí)，秩(A)≠秩()，方程組無解，β不能由α1，α2，α3線性表出．(3)同解1．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)14．設(shè)齊次線性方程組其中a≠0，b≠0，n≥2．試討論a，b為何值時(shí)，方程組僅有零解、有無窮多組解?在有無窮多組解時(shí)，求出全部解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解．正確答案：方程組的系數(shù)行列式=[a+(n－1)b](a－b)n－1(1)當(dāng)a≠b且a≠(1－n)b時(shí)，方程組僅有零解．(2)當(dāng)a=b時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作行初等變換，有原方程組的同解方程組為x1+x2+…+xn=0方程組的基礎(chǔ)解系為α1=(－1，1，0，…，0)T，α2=(－1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(－1，0，0，…，1)T，方程組的全部解為x=c1α1+c2α2+…+cn－1αn－1(c1，c2，…，cn－1為任意常數(shù))．(3)當(dāng)a=(1－n)b時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣A作行初等變換，有原方程組的同解方程組為其基礎(chǔ)解系為β=(1，1，…，1)T．方程組的全部解是x=cβ(c為任意常數(shù))．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)15．已知齊次線性方程組其中ai≠0．試討論a1，a2，…，an和b滿足何種關(guān)系時(shí)，(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解．在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．正確答案：方程組的系數(shù)行列式為一“行和”相等行列式，將各列加至第1列，然后提取第1列的公因子(b+ai)，再將第1列的(－ai)倍加至第i列(i=2，…，n)，就將行列式化成了下三角行列式：(1)當(dāng)|A|≠0，即b≠0且b+ai≠0時(shí)，方程組僅有零解；(2)當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為a1x1+a2x2+…?+anxn=0，由ai≠0知a1，a2，…，an不全為零，不妨設(shè)a1≠0，則得原方程組的用自由未知量表示的通解為x1=－xn(x2，x3，…，xn任意)．由此得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(－a2／a1，1，0，…，0)T，α2=(－a3／a1，0，1，…，0)T，…，αn－1=(－an／a1，0，0，…，1)T當(dāng)b=－ai時(shí)，有b≠0，對(duì)原方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換：將第1行的(－1)倍分別加至第2，3，…，n行，得用1／b乘第i行(i=2，3，…，n)，得將第i行的(－ai)倍加至第1行(i=2，3，…，n)，并利用b+ai=0，得因此得原方程組的用自由未知量表示的通解為x2=x1，x3=x1，…，xn=x1，(x1任意)令x1=1，則得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α=(1，1，…，1)T．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)16．設(shè)有向量α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，－3a)T，α3=(－1，－b－2，a+2b)T，β=(1，3，－3)T．試討論當(dāng)a、b為何值時(shí)，(1)β不能由α1，α2，α3線性表示；(2)可由α1，α2，α3惟一地線性表示，并求出表示式；(3)β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．正確答案：設(shè)有一組數(shù)x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β(*)對(duì)方程組(*)的增廣矩陣施行初等行變換：(1)當(dāng)a=0，b為任意常數(shù)時(shí)，有可知r(A)≠r()，故方程組(*)無解，β不能由α1，α2，α3線性表示．(2)當(dāng)a≠0，且a≠b時(shí)，r(A)=r()=3，方程組(*)有唯一解：x1=1－，x2=1／a，x3=0．故此時(shí)β可由α1，α2，α3唯一地線性表示為：β=(1－α2．(3)當(dāng)a=b≠0時(shí)，對(duì)施行初等行變換：可知r(A)=r()=2，故方程組(*)有無窮多解，通解為：x1=1－+C，x3=C，其中C為任意常數(shù)．故此時(shí)β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不唯一，其表示式為β=(1－+C)α2+Cα3，其中C為任意常數(shù)．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)17．已知齊次線性方程組同解，求a，b，c的值．正確答案：方程組(Ⅱ)的未知量個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，故方程組(Ⅱ)有非零解．因?yàn)榉匠探M(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，所以方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣的秩小于3．對(duì)方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣施以初等行變換：從而a=2．此時(shí)，方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣可由初等行變換化為故(－1，－1，1)T是方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．將x1=－1，x2=－1，x3=1代入方程組(Ⅱ)可得：b=1，c=2或b=0，c=1．當(dāng)b=1，c=2時(shí)，對(duì)方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有由于(1)式與(2)式右邊矩陣的行向量組等價(jià)，故方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．當(dāng)b=0，c=1時(shí)，方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣可由初等行變換化為由于(1)式與(3)式右邊矩陣的行向量組不等價(jià)，故方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的解不相同．綜上所述，當(dāng)a=2，b=1，c=2時(shí)，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)18．設(shè)線性方程組與方程(Ⅱ)：x1+2x2+x3=a－1有公共解，求a的值及所有公共解．正確答案：1方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣A的行列式為=(a－1)(a－2)(1)當(dāng)|A|≠0，即a≠1且a≠2時(shí)，方程組(Ⅰ)只有零解，而零解x=(0，0，0)T不滿足方程(Ⅱ)，故當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)，(Ⅰ)與(Ⅱ)無公共解；(2)當(dāng)a=1時(shí)，由A的初等行變換得方程組(Ⅰ)的通解為x=c(1，0，－1)T，其中c為任意常數(shù)．顯然當(dāng)a=1時(shí)，(Ⅱ)是(Ⅰ)的一個(gè)方程，(Ⅰ)的解都滿足(Ⅱ)．所以，當(dāng)a=1時(shí)，(Ⅰ)與(Ⅱ)的所有公共解是x=c(1，0，－1)T，其中c為任意常數(shù)；(3)當(dāng)a=2時(shí)，由A的初等行變換得(Ⅰ)的通解為x=k(0，1，－1)T，要使它是(Ⅱ)的解，將其代入方程(Ⅱ)，得k=1，故當(dāng)a=2時(shí)，(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解為x=(0，1，－1)T．2將(Ⅰ)與(Ⅱ)聯(lián)立，得線性方程組顯然，方程組(Ⅲ)的解既滿足(Ⅰ)，又滿足(Ⅱ)；反之，(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解必滿足(Ⅲ)．因此，要求(Ⅰ)與(Ⅱ)公共解，只要求方程組(Ⅲ)的解即可．對(duì)方程組(Ⅲ)的增廣矩陣施行初等行變換由線性方程組有解判定定理知，方程組(Ⅲ)有解(a－1)(a－2)=0a=1或a=2．(1)當(dāng)a=1時(shí)由此得方程組(Ⅲ)的通解、即(Ⅰ)與(Ⅱ)的所有公共解為x=c(1．0．－1)T，其中c為任意常數(shù)；(2)當(dāng)a=2時(shí)由此得(Ⅲ)有唯一解x=(0，1，－1)T，故當(dāng)a=2時(shí)，(Ⅰ)與(Ⅱ)的公共解為x=(0，1，－1)T．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中19．證明行列式|A|=(n+1)an；正確答案：證法1記Dn=|A|，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明Dn=(n+1)an．當(dāng)n=1時(shí)，D1=2a，結(jié)論成立；當(dāng)n=2時(shí)，D2=3a2=(n+1)an結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論對(duì)于小于n的情況成立．將Dn按第1行展開，得=2aDn－1－a2Dn－2(代入歸納假設(shè)Dk=(k+1)ak，k＜n)=2anan－1－a2(n－1)an－2=(n+1)an故|A|=(n+1)an．證法2把|A|化成上三角行列式=(n+1)an涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)20．當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有唯一的解，并在此時(shí)求x1；正確答案：該方程組有唯一解|A|≠0，即a≠0．此時(shí)，由克萊姆法則，將Dn第1列換成b，得行列式所以，x1=△1／Dn=涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)21．當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并在此時(shí)求其通解．正確答案：當(dāng)a=0時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n－1，所以此時(shí)方程組有無窮多解，其通解為x=(0，1，0，…，0)T+k(1，0，0，…，0)T其中k為任意常數(shù)．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)22．設(shè)(Ⅰ)求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)對(duì)(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．正確答案：(Ⅰ)設(shè)ξ2=(x1，x2，x3)T，解方程組Aξ2=ξ1，由[A，ξ1]得x1=－x2，x3=1－2x2(x2任意)．令自由未知量x2=－c1，則得ξ2其中c1為任意常數(shù)．設(shè)ξ3=(y1，y2，y3)T，解方程組A2ξ2=ξ1，由[A2，ξ1]得y1=－－y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，則得其中c2，c3為任意常數(shù)．(Ⅱ)3個(gè)3維向量ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)的充要條件是3階行列式D=|ξ1ξ2ξ3|≠0．而所以ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)．涉及知識(shí)點(diǎn)：線性代數(shù)已知線性方程組Ax=b存在2個(gè)不同的解．23．求λ，a；正確答案：因?yàn)锳為方陣且方程組Ax=b的解不唯一，所以必有|A|=0，而|A|=(λ－1)2(λ+1)，于是λ=1或λ=－1．當(dāng)λ