柯西-施瓦茲不等式探討數學畢業(yè)論文

PAGE3安慶師范學院數學與計算科學學院2010屆畢業(yè)論文第11頁共11頁柯西——施瓦茲不等式探討摘要：柯西—施瓦茲不等式是一個非常重要的不等式，靈活巧妙的應用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。本文在證明不等式，解三角形相關問題，應用方面給出幾個例子。近年來，許多學者在不同條件下提出柯西—施瓦茲不等式多種表現形式，并且對其性質及應用做了廣泛而深入的研究，本文在已有的文獻基礎上，總結出了柯西—施瓦茲不等式4種表現形式及其在數學中的應用。本文的結論是對柯西—施瓦茲不等式理論的進一步深化，也是對現有文獻中相應結論進行改善。關鍵詞：柯西—施瓦茲不等式證明應用引言：柯西—施瓦茲不等式是一個非常重要的不等式，在證明不等式、解三角形相關問題、數學分析中都有重要應用，本文在已有的文獻基礎上，總結了柯西—施瓦茲不等式4種表現形式，并且給出其一些應用性的例子?？挛鳎–auchy）不等式在代數學中的表現形式等號當且僅當或時成立（k為常數，）現將它的證明介紹如下：證明1：（判別式法），關于小的二次三項式保持非負，故判別式，當且僅當即時等號成立證明2數學歸納法（1）當時左式=右式=顯然左式=右式當時，右式右式僅當即即時等號成立故時不等式成立（2）假設時，不等式成立即當，k為常數，或時等號成立設則當，k為常數，或時等號成立即時不等式成立綜合（1）（2）可知不等式成立；證明3（配方法）因故柯西不等式獲證。等號當且僅當成立?？挛鞑坏仁皆趲缀沃斜憩F形式柯西不等式的代數形式十分簡單，但卻非常重要。數學當中沒有巧遇，凡是重要的結果都應該有一個解釋，一旦掌握了它，就使這個結果變得不言而喻了。而一個代數結果最簡單的解釋，通常駐要借助于幾何背景?，F在就對柯西不等式的二維、三維情況做出幾何解釋。（1）二維形式如圖，可知線段，及的長度分別由下面的式子給出：表示與的夾角。由余弦定理，我們有將，，的值代入，化簡得到而，故有于是這就是柯西不等式的二維形式。我們可以看到當且僅當，即當且僅當是零或平角，亦即當且僅當在同一條直線上是時等號成立。在這種情形，斜率之間必定存在一個等式；換句話說，除非，我們們總有.（2）三維形式對于三維情形，設是不同于原點的兩個點，則與之間的夾角的余弦有又由，得到柯西不等式的三維形式：當且僅當三點共線時，等號成立；此時只要這里的都不是零，就有柯西不等式的推廣前面的柯西不等式都是限制在實數范圍內的，在復數范圍內同樣也有柯西不等式成立。定理：若和是兩個復數序列，則有，當且僅當數列和成比例時等式成立。證明：設是復數，有恒等式若（其中），則有由此推出了復數形式的柯西不等式。除此之外，我們還可以知道一些與柯西不等式相關的結論。定理1：若和是實數列，且，則當時，這個不等式即為柯西不等式。定理2：若和是正數序列，且或，則這個不等式實際上是Holder不等式的推論。 對于柯西不等式，除了這種數列形式之外，還存在積分形式的柯西不等式即施瓦茲不等式?？挛鞑坏仁皆诜治鲋械谋憩F形式即施瓦茲不等式定理：設和是在上的實可積函數，則當且僅當和是線性相關函數時等式成立。證明1：對任意實數,有即即證明2：將n等分，令，應用柯西不等式，令取極限，即證得。證明3：這就證明了施瓦茲不等式。由此可看出，如果連續(xù)，等號當且僅當存在（不全為零）使得時成立?？挛鞑坏仁叫问皆诟怕手斜憩F形式定理：對任意隨機變量和都有.等式成立當且僅當.這里是一個常數。證明：對任意實數，定義；顯然對一切，，因此二次方程或者沒有實數根或者有一個重根，所以，.此外，方程有一個重根存在的充要條件是.這時.因此，.有了這個結論，對于解決一些復雜的概率題時會有所幫助。證明不等式例1已知正數滿足證明證明：利用柯西不等式又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故解三角形的相關問題例2設是內的一點，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明：由柯西不等式得，記為的面積，則故不等式成立。3）用柯西不等式解釋樣本線性相關系數在《概率論與數理統(tǒng)計》〉一書中，在線性回歸中，有樣本相關系數，并指出且越接近于1，相關程度越大，越接近于0，則相關程度越小?，F在可用柯西不等式解釋樣本線性相關系數。現記，，則，，由柯西不等式有，當時，此時，，為常數。點均在直線上，當時，即而為常數。此時，此時，，為常數點均在直線附近，所以越接近于1，相關程度越大當時，不具備上述特征，從而，找不到合適的常數，使得點都在直線附近。所以，越接近于0，則相關程度越小。4）應用Schwarz不等式，可證明另外一些不等式。使用時要注意恰當的選取函數與。已知，在上連續(xù)，為任意實數，求證：證明：式左端第一項使用Schwarz不等式同理（3）式即得式5)設在上有連續(xù)導函數，，試證：證明：令則由知因此（應用Schwarz不等式）6)假設函數在閉區(qū)間上連續(xù)階導數，并且求證：這里，假如在上有連續(xù)的導數，則必有應用Schwarz公式兩邊同時積分（應用分部積分法）兩邊同時開方，便得欲證明的式回到一般情況，令反復應用剛剛證明的式（1）次。便可得欲證明不等式結束語本文利用代數學、集合學、分析學、概率論中的一些基本理論與技巧給出了柯西—施瓦茲不等式4種表現形式及其證明應用。本文的結果對深入研究柯西—施瓦茲不等式的性質及在代數學幾、何學中具有十分重要的作用。參考書目[1]呂林根的解析幾何[ 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