湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)總結(jié)

知識點(diǎn)總結(jié)

湘教版七年級數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)歸納

第一章二元一次方程組

一、二元一次方程組

1、概念：

①二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是1的

方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程（或一個(gè)是一元一次方程，另一個(gè)

是二元一次方程；或兩個(gè)都是一元一次方程；但未知數(shù)個(gè)數(shù)仍為兩個(gè)）合

在一起，就組成了二元一次方程組。

2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解：

使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個(gè)未知數(shù)的值，

叫二元一次方程的解。

使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，

叫二元一次方程組的解。

注：①、因?yàn)槎淮畏匠毯袃蓚€(gè)未知數(shù)，所以，二元一次方程的解是

一組（對）數(shù)，用大括號聯(lián)立；②、一個(gè)二元一次方程的解往往不是唯一

的，而是有許多組；③、而二元一次方程組的解是其中兩個(gè)二元一次方程

的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數(shù)組或無解（即無公

共解）。

二元一次方程組的解的討論：

已知二元一次方程組alx+bly=cl.

a2x+b2y=c2

①、當(dāng)al/a2豐bl/b2時(shí)，有唯一解；"

②、當(dāng)al/a2=bl/b2豐cl/c2時(shí),無解;〃

③、當(dāng)al/a2=bl/b2=cl/c2時(shí),有無數(shù)解。"

例如：對應(yīng)方程組：①、x+y=|4"②、x+y=3"③、"x+y=4’

3x-5y=92x+2y=52x+2y=8

?J

例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：〃

①、a+b=2，②、x=48③、3t+2s=5*-@xPX=11〃

b+c=3y=5ts+6=0<-2x+3y=0

3、用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)：

用含X的代數(shù)式表示Y,就是先把X看成已知數(shù)，把Y看成未知數(shù)；用

含Y的代數(shù)式表示X,則相當(dāng)于把Y看成已知數(shù)，把X看成未知數(shù)。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代數(shù)式表示y為：,

用含y的代數(shù)式表示x為:。

4、根據(jù)二元一次方程的定義求字母系數(shù)的值：

要抓住兩個(gè)方面：①、未知數(shù)的指數(shù)為1,②、未知數(shù)前的系數(shù)不能為0

例：已知方程(a-2)x*(/a/-l)-(b+5)y*(b*2-24)=3是關(guān)于x、y

的二元一次方程，求a、b的值。

5、求二元一次方程的整數(shù)解

例：求二元一次方程3x+4y=18的正整數(shù)解。"

思路：利用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的方法，可以求出方程有正整數(shù)解時(shí)x、y的取值范

圍，然后再進(jìn)一步確定解?！?/p>

解：用含x的代數(shù)式表示y：y=9/2-(3/4)x用含y的代數(shù)式表示x：x=6-(4/3)

因?yàn)槭乔笳麛?shù)解，則:9/2-(3/4)x>0,6-(4/3)y>0“

所以，0<x<6,0<y<9/2?

所以，當(dāng)y=1時(shí)，x=6-4/3=14/3，舍去；當(dāng)y=2時(shí)，x=6-8/3=10/3,舍去；

當(dāng)y=3時(shí)，x=6-12/3=2,符合;當(dāng)y=4時(shí)，x=6-16/3=2/3,舍去。2

所以，3x+4y=18的正整數(shù)解為：x=2

y=3

再例：①、如果x=3~是方程組懿-2y=5的解，求a-b的值。~

y=-12x+by=3

4??

②、甲、乙兩人共解方程組ax+5y=15,①由于甲看錯(cuò)了方程①中的a,得到的方程組的解“

4x-by=-2,②

為X=-3,乙看錯(cuò)了方程②中的b,得到的方程組的解為X=5,試計(jì)算a'2009+

y=-y=4,

(-b/10)^2010的值。?

二、二元一次方程組的解法一一消元(整體思想就是：消去未知數(shù)，

化“二元”為“一元”)

1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另

一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二

元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程的一個(gè)未

知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；

②、將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程(不能代入原來的方程

哦！)，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③、解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；

④、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式(或原來的方程組中任

一個(gè)方程)中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤、把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就是方程組的解。

2、加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等

（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r(shí)，將兩個(gè)方程的左右兩邊分別

相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得這

個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。

注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：

①、方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又

不相等時(shí)，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右

兩邊每一項(xiàng)都要乘以這個(gè)數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；

②、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)

一元一次方程；

③、解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；

④、將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求

出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，就

是方程組的解。

例：解方程組：

①、4y-（2y+x+16）/2=-6x②、,x/2+y/3=13/2

2y+3x=7-2x-yx^3-y/4=3/2，

3、用換元法解方程組：

根據(jù)題目的特點(diǎn)，利用換元法簡化求解，同時(shí)應(yīng)注意換元法求出的解要代

回關(guān)系式中，求出方程組中未知數(shù)的解。

例：i、解方程組：5/（x+l）+4/（廠2）=2"

7%+43/（尸2）=13/20

p

2a-3b=13川a=8.3o/,nx□/1xt0

ii、已知方程組%+5b-309的解是b-12，則方程組2（X+2）-3（L1）=13.

3@+5b-30.9b-1.23（x+2旗（尸L）=30.9.

的解是：（〉p

x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3

A、y=L2B、y=2.2?c、Y=2.2D、=0.2+

4、用整體代入法解方程組：

例:解方程組：2x-y=6①+

(x+2y)(4x-2y)=192②。

例：解方程組：,

解：將②變形為：(x+2y)X2(2x-y)=192③,把①代入③

得：(x+2y)X2X6=192，即x+2y=16(4)

再把①和④組成新的方程組：

2x-y=6。解得：。x=5.6+

x+2y=16*-y=5.2*-

5、另外幾種類型的例題：

(1)、若|m+n-5|+(2m+3n-5)2=0，求(m-n)?的值。

(2)、已知代數(shù)式x2+ax+b,當(dāng)x=-1時(shí)；它的值是5,當(dāng)x=1

時(shí)，它的值是T,求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式的值。

(3)、已知方程組5x+y=3〃與x-2y=5^有相同的解，求m,n的值。〃

mx+5y=4+5x+ny=1+

P

(4)、已知方程組3x-5y=2M的解x、y互為相反數(shù)，求m、x以及y的值。"

2x+7y=m-18*-

(5)、關(guān)于x、y的方程組2x-y=k"的解，也是方程2x+y=3的解，求k的值。

3x+y=k+l+

(6)、某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工后上市銷售。該公

司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸。現(xiàn)計(jì)劃用15天

完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任

務(wù)？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為2000

元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元？

三、實(shí)際問題與二元一次方程組

1、利用二元一次方程組解實(shí)際應(yīng)用問題的一般過程為：審題并找出數(shù)量

關(guān)系式一＞設(shè)元（設(shè)未知數(shù)）一＞根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程組一＞解

方程組一〉檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）

2、列方程組解應(yīng)用題的常見題型:

（1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：較大量-較

小量=相差量，總量=倍數(shù)X倍量；

（2）、產(chǎn)品配套問題：解這類題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比

例；

（3）、速度問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：路程=速度X時(shí)

間，包括相遇問題、追及問題等；

（4）、航速問題：①、順流（風(fēng)）：航速=靜水（無風(fēng)）時(shí)的速度+

水（風(fēng)）速；

②、逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無

風(fēng)）時(shí)的速度-水（風(fēng)）速；

（5）、工程問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：工作總量=工作效率

X工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作1）；

（6）、增長率問題：解這類問題的基本關(guān)系式是：原量X（1+增長

率）=增長后的量，原量X（1-減少率）=減少后的量;

（7）、盈虧問題：解這類問題的關(guān)鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩

個(gè)角度來把握事物的總量;

（8）、數(shù)字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)

等有關(guān)概念、特征及其表示；

（9）、幾何問題：解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周

長、面積等計(jì)算公式；

（10）、年齡問題：解這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)相等。

例1：一批水果運(yùn)往某地，第一批360噸，需用6節(jié)火車車廂加上15輛

汽車，第二批440噸，需用8節(jié)火車車廂加上10輛汽車，求每節(jié)火車車

廂與每輛汽車平均各裝多少噸？

例2：甲、乙兩物體分別在周長為400米的環(huán)形軌道上運(yùn)動，已知它們

同時(shí)從一處背向出發(fā)，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發(fā)，半分鐘后乙

物體再從該處同向出發(fā)追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，假設(shè)甲、

乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。

例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運(yùn)動，

甲的速度比乙大，當(dāng)二人反向運(yùn)動時(shí).，每150秒相遇一次，當(dāng)二人同向運(yùn)

動時(shí)，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。

例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3：7,乙種酒

精溶液的酒精與水的比是4：1,今要得到酒精與水的比是3:2的酒精溶

液50kg,求甲、乙兩種溶液各取多少kg?

例5：一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成

方桌桌面50個(gè)，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料.，請問，要用多

少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時(shí)，可以制成多

少張方桌？

例6：某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如果他以每小時(shí)50千米

的速度行駛，就會遲到24分鐘，如果他以每小時(shí)75千米的速度行駛，則

可提前24分鐘到達(dá)乙地，求甲、乙兩地間的距離。

農(nóng)作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金

水稻4人1萬元

棉花8人1萬元

蔬菜5人2萬元

例7：某農(nóng)場有300名職工耕種51公頃土地，計(jì)劃種植水稻、棉花、蔬

菜三種農(nóng)作物，已知種植各種農(nóng)作物每公頃所需勞動力人數(shù)及投入資金如

右表：

已知該農(nóng)場計(jì)劃投入資金67萬元，應(yīng)該怎樣安排這三種農(nóng)作物的種植面

積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？

例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩

人間每人每天35元，一個(gè)50人的旅游團(tuán)到該酒店租了若干間客房，且每

間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？

捐款數(shù)額捐助貧困中學(xué)生人數(shù)捐助貧困小學(xué)生人數(shù)

年級（元）（名）（名）

初一年級400024

初二年級420033

初三年級7400

例9：某山區(qū)有23名中、小學(xué)4U因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生

的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元。某校學(xué)生積

極捐款，初中各年級學(xué)生捐款數(shù)額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學(xué)生

和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如右表：

（1）、求a、b的值；

（2）初三年級的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請分別計(jì)算

出初三年級的捐款所資助的中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)。

四、三元一次方程組的解法

1、概念：由三個(gè)方程組成方程組，且方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)

方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。

注：三元一次方程組中的三個(gè)方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足

“方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)”的條件即可。

2、解三元一次方程組的基本思想：

一消元,|一消元,|

二兀一次.〉―兀一/欠+）一兀一次+

程組』（代入法、加減法）-方程組」（代入法、加減法），方程'

3x+4y+z=14<-3x+4z=7d

例1：解方程組x+5y+2z=17+2x+3y+z=9。

2x+2y-z=3"5x_9y+7z=8*

例2：在丫=ax?+bx+c中，當(dāng)x=l時(shí)、y=0；x=2時(shí)，y=3；x=3

時(shí)，y=28,求a、b、c的值。當(dāng)x=T時(shí)、y的值是多少？

例3：甲、乙、丙三數(shù)之和是26,甲數(shù)比乙數(shù)大1,甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的

和比乙數(shù)大18,求這三個(gè)數(shù)。

例4：小明從家到學(xué)校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平

路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時(shí)行3千米，平路每小時(shí)行4千

米，下坡路每小時(shí)行5千米，那么小明從家到學(xué)校需要1小時(shí)，從學(xué)?；?/p>

家只需要44分鐘。求小明家到學(xué)校的上坡路、平路、下坡路各是多少千

米？

第二章整式的乘法

1.同底數(shù)幕的乘法：a?-an=ara+n,底數(shù)不變，指數(shù)相加.

2.幕的乘方與積的乘方:(am)n=amn,底數(shù)不變,指數(shù)相乘;

(ab)"=a%n,積的乘方等于各因式乘方的積.

3.單項(xiàng)式的乘法：系數(shù)相乘，相同字母相乘，只在一個(gè)因式中含有的字

母，連同指數(shù)寫在積里.

4.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc,用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)

式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

5.多項(xiàng)式的乘法：(a+b),(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)

去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

6.乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b\兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差

的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；

(2)完全平方公式：

①(a+b)2=a2+2ab+b2,兩個(gè)數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它

們的積的2倍；

②(a-b)2=a2-2ab+b2,兩個(gè)數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它

們的積的2倍；

X③(a+b-c)2=a1-+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略.

7.配方：

(1)若二次三項(xiàng)式x?+px+q是完全平方式，則有關(guān)系式：(2).

X(2)二次三項(xiàng)式ax?+bx+c經(jīng)過配方，總可以變?yōu)閍lx-hV+k的形

式，利用a(x-h)2+k

①可以判斷ax?+bx+c值的符號；②當(dāng)x=h時(shí)，可求出ax，bx+c的最大

(或最小)值k.

X(3)注意：xIxj

nnn，n

8.同底數(shù)嘉的除法：a'-?a=a-,底數(shù)不變，指數(shù)相減.

9.零指數(shù)與負(fù)指數(shù)公式：

1

(1)a0=l(aHO)；a-n=a°,(aWO).注意：0°,0。無意義；

(2)有了負(fù)指數(shù)，可用科學(xué)記數(shù)法記錄小于1的數(shù)，例如：

-C：

0.0000201=2.01X10.

第三章因式分解

1.因式分解

定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形叫因式分

解。

即：多項(xiàng)式幾個(gè)整式的積

11-1,八

-xla+o)

例：333

因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。

2.因式分解的方法：

(1)提公因式法：

①定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提

到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形就是提公因式法分

解因式。

公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是

一個(gè)數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)

，字母一一取各項(xiàng)都含有的字母

指數(shù)一一取相同字母的最低次募

例：12a吊％+必，的公因式

是.

解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、

6,它們的最大公約數(shù)為2；字母部分都含有因式，故多

項(xiàng)式的公因式是2.

②提公因式的步驟

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式

除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個(gè)因式。

注意：提取公因式后，對另一個(gè)因式要注意整理并化簡，務(wù)必使因

式最簡。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號的，要先提取符號。

例1：把1M6-ISoft2-24a3*5分解因式.

解析：本題的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是6,相同字母的最低次幕

是ab,故公因式為6abo

解：12a^-18a&2-24a5*5

=6a&（2a-3&-4ff^2）

例2：把乂“一%+44-力多項(xiàng)式分解因式

解析：由于4一-⑧，多項(xiàng)式30c一**遙4-分可以變形為

3（》-4）-耳工-4）,我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式（工一4）,所

以我們可以提取公因式（工-4）后，再將多項(xiàng)式寫成積的形式.

解：Xx-4)+x(4-x)^

=3(x-4)一-4)v

=(3-x)(x-4)*J

例3：把多項(xiàng)式—x2+2x分解因式。

解：―/+2》=-(/_2/=_武丁_2)?

(2)運(yùn)用公式法

定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因

式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。

平方差公式：ai2—b1=(a+AX?—

碟用完豹昉公式：a2±2o&+方2=g土爐

c逆用立方和公式：a5+A5=(a+一a&+占｝拓展)

d逆用立方差公式：a5-/=(/>-與(丁+向+林3拓展)

注意：①公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。

②選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式

是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可考慮完全平方

公式。

例1：因式分解"一14。+49J

解：/-14。+49=(。-7)2，

例2：因式分解。~+2破6+0)+(6+C)'*1

解：a2+2a(b+c)+(b+c)2=(a+b+c')2*J

<3)分加觸(喻，

①將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解；，

例：把多項(xiàng)式式>一。+6—1分解因式"

解：ab-a+b-1=(ab-a)+(b-l)=a(b-l)+(b-I)=(a+l\b-1)

②將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.。

例：將多項(xiàng)式a2-2ab-l+/因式分解.

解：a2-2ab-l+b2^

=(a2-lab+Z>:)-1=(n-i>)2-1=(a-b+V)(a-b-Y)*i

(4)十字相乘法(形如x2+3+gX^E=(x+pXK+q)形式的多項(xiàng)式,

可以考慮運(yùn)用此種方法)

方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)聞8p和q,這兩數(shù)的和p+q為一次項(xiàng)系距

1+(p+q)x+pq，

1+(p+q)x+pg=(x+PXX+g)，

例：分解因式1-》-30分解因式Y(jié)+52x+100+，

補(bǔ)充點(diǎn)詳解補(bǔ)充點(diǎn)詳解“

我們可以將-30分解成pXq的形式，我們可以將100分解成pXq的形式，。

使電樂T,pXq=-30,我們就有p=Y,使3=52,pXq=100,我們就有p=2,P

q=5或q=-6,p=5oq=50或q=2,p=50。，

所以將多項(xiàng)式1+（P+q）x+pq可以分所以將多項(xiàng)式X，+（P+q）x+pg可以分+

解為（x+p）（x+q）解為（x+pXx+q）。

x2-x-30=(x-6)(x+5)x2+52x+100=(x+50)(x+2)。

3.因式分解的一般步驟:

如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式

就考慮運(yùn)用公式法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,

通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括

為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則

就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分

解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必

須是幾個(gè)整式的積的形式。

一、例題解析

提公因式法

提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式提到括號外面.

確定公因式的方法：

系數(shù)一一取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母（或多項(xiàng)式因式）一一取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次幕.

【例11分解因式：。

⑴15如-武-1叫》廣5為正整數(shù)）。

⑵-&7”泣1（m、"為大于1的自然數(shù)）。

【鞏固】分解因式：。-丁尸-。-二）。-丁）"+2（7-爐5-二），〃為正整數(shù).2

【例2】先化簡再求值，.T（x+y）+（x+j）（x-y）-x）其中x=-2,j='P

?J

求代數(shù)式的值：（3x-2『（2x+l）-（3x-2X2x+iy+x（2x+l）（2—3x），其中x=-].P

【例3】已知：b+c-a=-2,-d-c)+d(|c-|a+1J)+1c(2d+2c-2a)?

分解因式：x'(x+j-二X3,+二-a)+寸二(二->-i')+x\r(:-x-r)(x-r-a).

公式法

平方差公式：

①公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號相反;

②每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方形式；

③右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積.

完全平方公式：

①左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式；

②左邊首末兩項(xiàng)符號相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式；

③左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的2倍，符號可正可負(fù)；

④右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左邊中間一項(xiàng)

的符號決定.

一些需要了解的公式：

4'=（4+坎?！粠??！?一”=（4一力）（"+而+工）。

=4,+302b+3曲W（a-ft）1-3a:b^3ab2-b"

第四章相交線與平行線

一、知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

,相交線

相交線垂線

同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

「平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線

'定義：—

判定1：同位角相等，兩直線平行

平行線及其判定,

平行線的判定判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

相交線與平行線判定3:同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

判定4：平行于同一條直線的兩直線平行

?性質(zhì)1:兩直線平行，同位角相等

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

平行線的性質(zhì);性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

性質(zhì)4:平行于同一條直線的兩直線平行

命題、定理

平移

二、知識要點(diǎn)

1、在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種:相交和平

億，爭矍是相交的一種特殊情況。

2、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線。如果兩條直線只有二

仝公共點(diǎn)，稱這兩條直線相交；如果兩條直線沒有公共點(diǎn),稱這兩條直

線平行。

3、兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩

個(gè)角是

鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。如圖1所

示，與互為鄰補(bǔ)角，

與互為鄰補(bǔ)角。+:

180°；+=

180°；+=180°；+=180°o

4、兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩

邊的反向延長線，這樣的兩個(gè)角互為對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角

相等。如圖1所示，與互為對頂

用O-；-O

5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個(gè)是直角或90°時(shí),稱這兩條直

線互相垂直，

其中一條叫做另一條的垂線。如圖2所示，當(dāng)=90。

時(shí)，±O

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。

性質(zhì)3：如圖2所示，當(dāng)e±_b

時(shí)，====90°o

點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫點(diǎn)到直線的距

離。

6、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角基本特征：

①在兩條直線（被截線）的同一方,都在第三條直線（截線）的同一側(cè),這樣

的兩個(gè)角叫同位角。圖3中，共有對同位

角：與是同位角；

與是同位角；與是同位

角；與是同位角。

②在兩條直線（被截線）上回，并且在第三條直線（截線）的兩側(cè)，這樣的

兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。圖3中，共有對內(nèi)錯(cuò)角：與是

內(nèi)錯(cuò)角；與是內(nèi)錯(cuò)角。

③在兩條直線（被截線）的左回，都在第三條直線（截線）的同一旁,這樣的

兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角。圖3中，共有對同旁內(nèi)

角：與是同旁內(nèi)角；與是同旁內(nèi)

角。

圉3

7；平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也

互相平行。

平行線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，如果a〃b,

則:

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。如圖4所示，如果a〃b,

貝（J=;=?

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。如圖4所示，如果a〃b,

則+=1800；

+=180°o

性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a〃b,a〃c,則

//O

8、平行線的判定：

判定1：同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，如

果=

或=或=或=

,則a〃b。

判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。如圖5所示，如

果=或=，貝！Ia〃bo

圉5

判定3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。如圖5所示，如

果+=180°；

+=180°,則a〃b。

判定4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果a〃b,a〃c,則

//0

9、判斷一件事情的語句叫血題。命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成,有

真命題和假命題之分。如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立,這樣的命

題叫真命題；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論不一定成立,這樣的命題叫假

命題。真命題的正確性是經(jīng)過推理證實(shí)的，這樣的真命題叫定理，它可以

作為繼續(xù)推理的依據(jù)。

10、平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離，圖形的這

種移動叫做平移變換，簡稱平移。

平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。平移后得到的新圖

形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做

對應(yīng)點(diǎn)。

平移性質(zhì)：平移前后兩個(gè)圖形中①對應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等；②對應(yīng)線段

相等；③對應(yīng)角相等。

第五章旋轉(zhuǎn)

知識框架

—.知識概念

1.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)圖形按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動一個(gè)角度，這

樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)

角。（圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角

度的位置移動，其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的長度、對

應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變。）

2.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形

重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的

角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角小于0°,大于360°）o

3.中心對稱圖形與中心對稱：

中心對稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，

那么我們就說，這個(gè)圖形成中心對稱圖形。

中心對稱：如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重

合，那么我們就說，這兩個(gè)圖形成中心對稱。

4.中心對稱的性質(zhì)：

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等形。

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心

平分。

關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等。

一、精心選一選（每小題3分，共30分）

1.c下面的圖形中a，是中心對稱e圖形的是（+）

2.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（-2,3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

是（）

A.（3,一

2）B.（2,3）

C.（—2,—3）D.（2,—3）

3.3張撲克牌如圖1所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉(zhuǎn)180°后得

到如圖（2）所示，則她所旋轉(zhuǎn)的牌從左數(shù)起是（）

_/?），?JI,f■

w

<1>

A.第一張B.第二張C.第三

張D.第四張

4.在下圖右側(cè)的四個(gè)三角形中，不能由△46。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的

是（）

5.如圖3的方格紙中，左邊圖形到右邊圖形的變換是（）

皮］

A.向右平移7格

B.以AB的垂直平分線為對稱軸作軸對稱，再以AB為對稱軸作軸對稱

C.繞AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,再以AB為對稱軸作軸對稱

D.以AB為對稱軸作軸對稱，再向右平移7格

6.從數(shù)學(xué)上對稱的角度看，下面幾組大寫英文字母中，不同于另外三

組的一組是（）

A.ANEG

B.KBXN

C.XIII0

D.ZDWII

7.如圖4,C是線段BD上一點(diǎn)，分別以BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊

△ABC和等邊ACDE,AD交CE于F,BE交AC于G,則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而

相互得到的三角形對數(shù)有（）.

A.1對B.2

對C.3

對D.4對

8.下列這些復(fù)雜的圖案都是在一個(gè)圖案的基礎(chǔ)上，在“幾何畫板”軟

件中拖動一點(diǎn)后形成的，它們中每一個(gè)圖案都可以由一個(gè)“基本圖案”

通過連續(xù)旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)的角度是（）

A30°B45°C60°D90°“

9.如圖5所示，圖中的一個(gè)矩形是另一個(gè)矩形順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后

圖5〃

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖6,AABC和AADE都是等腰直角三角形，NC和NADE

都是直角，點(diǎn)C在AE上，△ABC繞著A點(diǎn)經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能

夠與AADE重合得到圖7,再將圖23—A—4作為“基本圖形”繞

著A點(diǎn)經(jīng)過逆時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到圖7.兩次旋轉(zhuǎn)的角度分別為（）

二、耐心填一填(每小題3分，共24分)

11.關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)

過，而且被______________平分.

12.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，既

是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是.

13.時(shí)鐘上的時(shí)針不停地旋轉(zhuǎn)，從上午8時(shí)到上午11時(shí)，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的

旋轉(zhuǎn)角是.

14.如圖8,△48。以點(diǎn)力為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得

AAB，C,則△488'是三角形.

15.已知aVO,則點(diǎn)P(al—a+3)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P?在第一

__象限

16.如圖9,△(：(?是AAOB繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40°后所得的圖

形，點(diǎn)C恰好在AB上，NA()D=90°,則ND的度數(shù)

是.

17.如圖10,在兩個(gè)同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，

若大圓的半徑為2,則圖中陰影部分的面積是.

18.如圖，四邊形ABCD中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD,AELBC于E,若

線段AE—5,則S四邊形ABCD=o

三、細(xì)心解一解（共46分）

19.（6分）如圖12,四邊形ABCD的NBAD=NC=90°,AB=AD,AEJ_BC于

E,旋轉(zhuǎn)后能與重合。

圖12。

（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？

（2）旋轉(zhuǎn)了多少度？

（3）如果點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)中心，那么點(diǎn)B經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到什么位置？

20.（4分）如圖13,請畫出關(guān)于點(diǎn)0點(diǎn)為對稱中心的對稱圖形

圖13

21.（6分）如圖14,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正

方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

①把向上平移5個(gè)單位后得到對應(yīng)的，畫出，并寫出的坐標(biāo);

②以原點(diǎn)為對稱中心，再畫出與關(guān)于原點(diǎn)對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo).

18.（4分）如圖15,方格中有一條美麗可愛的小金魚.

（1）若方格的邊長為1,則小魚的面積為.

（2）畫出小魚向左平移3格后的圖形（不要求寫作圖步驟和過程）.

22.（6分）如圖16,E、F分別是正方形ABCD的邊CD、DA上一點(diǎn)，且CE

+AF=EF,請你用旋轉(zhuǎn)的方法求NEBF的大小.

19.（8分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖①中的

兩張三角形膠片和.將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，把繞點(diǎn)順時(shí)

是.2分“

（2）當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理

由.

（3）在圖③中，連接期，探索BO與3之間有怎樣的位置關(guān)系,

并證明.

第六章數(shù)據(jù)的分析

一、知識點(diǎn)講解：

1.平均數(shù)：

（1）算術(shù)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，有n個(gè)數(shù)據(jù)，則它們的算術(shù)平均數(shù)為

i=&+f+…+不1

n

（2）加權(quán)平均數(shù)：

若在一組數(shù)字中，勺出現(xiàn)/1次，制出現(xiàn)力次，…，船出現(xiàn)左欠，那么“元=g+X吵+…+#小

p/1+/2+-+A

叫做Xi、X2、…、4的加權(quán)平均數(shù)。其中，力、力、…、fk分別是勺、X2、…、Xk的權(quán)

權(quán)的理解:反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度。

權(quán)的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等）。

2.中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)

據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)

的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

4.平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系

相同點(diǎn)

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的相同之處主要表現(xiàn)在：都是來

描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量；都可用來反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來作

為一組數(shù)據(jù)的代表。

不同點(diǎn)

它們之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下方面。

1）、定義不同

平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均

數(shù)。

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2）、求法不同

平均數(shù)：用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，需要計(jì)算才得求出。

中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇

數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶

數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。它的求出不需或只需

簡單的計(jì)算。

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，不必計(jì)算就可求出。

3）、個(gè)數(shù)不同

在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時(shí)不具有惟一

性。在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個(gè)眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)。

4）、代表不同

平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來一代表數(shù)據(jù)的總體“平均水

平”。

中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來代表

一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。

眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢，都可作為數(shù)

據(jù)一般水平的代表。

5）特點(diǎn)不同

平均數(shù)：與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，其中任何數(shù)據(jù)的變動都會相應(yīng)引起平均數(shù)

的變動。主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小

數(shù)。

中位數(shù)：與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動對它沒有影響；它是一

組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響。

眾數(shù)：與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，著眼于對各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察，其大

小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，不受極端值的影響，其缺點(diǎn)是具有不

惟一性，一組數(shù)據(jù)中可能會有一個(gè)眾數(shù)，也可能會有多個(gè)或沒有。

6）、作用不同

平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，比較可靠和穩(wěn)定，因?yàn)樗c每一

個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來的信息最充分。平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身

的整體平均情況，也可以用來作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。因此，它

在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說的平均成績、平均身高、平均體

重等。

中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)

據(jù)。但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來描述該組數(shù)據(jù)的

集中趨勢就比較合適。

眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)

據(jù)。。在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次

數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適

合。

5.極差：一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差。極

差反映的是數(shù)據(jù)的變化范圍。

6.方差：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)巧，占,…，X，，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是（巧-1）2,（巧-￡尸，…,

（x“-T尸,…，我們用它們的平均數(shù)，即用“

2

S'=X（X1-7）2+（X2-X）+---+（X”-fy］"

來衡量這組需據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。V

1—2

22

當(dāng)一組數(shù)據(jù)比校小時(shí)可以用公式/=一［（再2+x2+...+x?）-nx］計(jì)算。，

n

方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，就越穩(wěn)定。

標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根，即

+&-才+…+（/-元月

并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.它也是一個(gè)用來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小

的重要的量.

7.極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：

聯(lián)系：極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來衡量（或描述）一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)

的大?。床▌哟笮。┑闹笜?biāo)，常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動情況。

區(qū)別：極差是用一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差來反映數(shù)據(jù)的變化范

圍，主要反