因式分解(解析版)（重點(diǎn)突圍）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）

專(zhuān)題14因式分解

.聚焦考點(diǎn)

考點(diǎn)一判斷是否是因式分解考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式

考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式

考點(diǎn)五十字相乘法分解因式考點(diǎn)六分組分解法分解因式

考點(diǎn)七因式分解的應(yīng)用

；典型例題:

考點(diǎn)一判斷是否是因式分解

例題：(2021?福建省泉州市培元中學(xué)八年級(jí)期中)下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()

A.(x+l)(x-l)=x2-1B.x?-2x+l=x(x-l)+l

C.x2—9y2=(x+9j)(x—9y)D.x?—4x—12=(x—6)(x+2)

【答案】D

【分析】根據(jù)因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式

分解，判斷求解即可.

【詳解】解：A、右邊不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

8、右邊不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、x2-9/=(x+3y)(x-3j),故本項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D,是因式分解，故本選項(xiàng)正確，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查因式分解的定義.解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積

的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?福建?尤溪縣坂面中學(xué)八年級(jí)期末)下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.x(x-2)—X2-2xB.(x+1)2—x2+2x+\

2

C.x+2—x(1+—)D.x2-4—(x+2)(x-2)

【答案】D

【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，依據(jù)分解因式的

定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意：

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，解題時(shí)注意因式分解與整式乘法是相反的過(guò)程，二者是一個(gè)式子的

不同表現(xiàn)形式.因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式.

2.(2022?江蘇宿遷?七年級(jí)期末)下列等式從左到右的變形是因式分解的是()

A.ax-ay=a(x-y)B.(x+2)(x-2)=x2-4

C.2x~+4x-3=2x(x+2)-3D.6a3b=3a2-2ab

【答案】A

【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，可得答案.

【詳解】解：4是因式分解，運(yùn)用了提公因式法，符合題意；

B.是整式的乘法運(yùn)算，不符合題意；

C.不是因式分解，右邊不是乘積的形式，不符合題意，

D.左邊是單項(xiàng)式，不是因式分解，不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式.掌握因式分解的定義是解

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式

例題：(2022?江蘇?南師附中新城初中黃山路分校七年級(jí)期中)多項(xiàng)式6x、2-3x2y3的公因式是

【答案】3x2y2

【分析】根據(jù)“公因式的系數(shù)為各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，各項(xiàng)相同字母的最低次基是公因式的因式"求出公因

式的即可.

【詳解】解：回各項(xiàng)系數(shù)6、3的最大公約數(shù)是3,各項(xiàng)都含有的字母是x與的最低指數(shù)是2,y的最低指

數(shù)是2,

回該多項(xiàng)式的公因式為：3x2y2.

故答案為：3x2y2.

【點(diǎn)睛】本題考查公因式，掌握公因式的確定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?寧夏?中寧縣第三中學(xué)八年級(jí)期中)分解因式3f-3x=

【答案】3x(x-1)

【分析】原式提取公因式即可得到結(jié)果.

【詳解】解：3d-3x=3x(x-1)；

故答案為:3x(X-1).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

2.(2022?湖南?雙牌縣第一中學(xué)七年級(jí)期中)多項(xiàng)式2x2—12盯2+8盯3的公因式是.

【答案】

【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可.

【詳解】解：2X2-12X/+8X/

=2x(x-6y2+4y’)

多項(xiàng)式的公因式為2x.

故答案為：2x.

【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的公因式，解題的關(guān)鍵是記住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式

的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同

的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的.

考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)

例題：(2021?河北?石家莊市藁城區(qū)尚西中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))把多項(xiàng)式/+如+6因式分解得(x+3)(x+2),則

【答案】5

【分析】把(x+3)(x+2)展開(kāi)，利用多項(xiàng)式相等的條件即可求出，〃的值.

【詳解】解：0x2+mx+6=(x+3)(x+2)=x2+5x+6.

0/n=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?河北保定?八年級(jí)期末)若多項(xiàng)式丁+以-28因式分解為(x-4)(x+7),則。=.

【答案】3

【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)已知條件求出。即可.

【詳解】解：(X-4)(X+7)=X2+7X-4X-28=X2+3X-28,

團(tuán)多項(xiàng)式x?+ox-28因式分解為(x-4)(x+7),

團(tuán)4=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法和因式分解，熟知因式分解和整式乘法互為逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?浙江舟山?七年級(jí)期末)已知二次三項(xiàng)式d-5x+m分解后有一個(gè)因式為(x-2),則巾=.

【答案】6

【分析】設(shè)另一個(gè)因式為(x+〃)，根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則可得二元一次方程組，求解即可.

【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為(x+〃)，

得小?51+川=(x-2)(x+n),

則x1-5x+tn=x2+(/7-2)x-2n.

fn-2=-5

叫。，

I-2n=m

[n=—3

解得小

[=6

0/n的值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解二元一次方程組等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于〃?、〃的方程組

是解此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式

例題：(2022?黑龍江大慶?八年級(jí)期末)因式分解：

(1)m3n—lOnrn4-25mn；(2)(/—4)+6(p?-4)+9

【答案】(l)m〃(機(jī)-5)2

(2)5+1)2(。-1)2

【分析】(1)先提公因式〃?〃，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；

(2)先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可.

(1)

解：in3n—1Onrn+25>n/i

=mn(m2-10m+25)

=mn(m-5)2；

(2)

解：+6(〃2—4)+9

=[(p2一4)+3『

=(PT

=(p+l)2(p—I)1

【點(diǎn)睛】此題考查因式分解.熟練掌握因式分解的步驟和方法是關(guān)鍵.注意因式分解一定要分解到每一個(gè)

因式不能再分解為止.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?江蘇宿遷?七年級(jí)期末)因式分解

⑴2病-18；(2)(a2+h2^-4a2h2.

【答案】⑴2(〃?+3)(帆-3)

⑵(。+力(j)2

【分析】(1)提取公因數(shù)后利用平方差公式分解因式：

(2)先用平方差公式，再結(jié)合完全平方公式分解因式；

(1)

解：原式=2(療-9)=2(/一3?)=2(/n+3)(m-3)

(2)

原式=(42+h2y-(lahy=(?2+2ab+h2^a2-2cift+/>2)=(?+/>)-^a-b\

【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式〃=(a+6)g-b)和完全平方公式g土32="2+加±2防的靈活運(yùn)用,

熟記公式是解題關(guān)鍵.

2.(2021?河南?鶴壁市淇濱中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))分解因式：

⑴1-16(2}x2-2xy+y2-9(3)-2H?5-24/n3-72w

【答案】⑴(〃+4)(a+2)(a-2)

(2)(x-y+3)(x-y-3)

(3)—2m^m2+6)

【分析】(1)利用平方差公式分解因式即可；

(2)先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；

(3)先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可.

(1)

解：a4—16

=(a2+4)(a2-4)

=(a2+4)(a+2)(a-2).

(2)

解：x2-2xy+y2-9

=(x-y)2-9

=(x-y+3)(x-y-3).

(3)

解：-2m5—24m3—72m

=-2m(m4+12^?2+36)

=-2m(nr4-6).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式，是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)五十字相乘法分解因式

例題：(2022?上海?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))因式分解：x2y-\\xy+2Ay

【答案】y(x—3)(x—8)

【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可.

【詳解】解：x2y-llxy+24y

=42-1民+24)

=?(%—3)(尢一8).

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和十字相乘法是本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?上海?七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))因式分解：任-3%-24乂/-24)-10x2

【答案】U+3)(x-8)(x-4)(x+6)

【分析】先把式子化成(丁-24)2-3萬(wàn)1-24)-10爐，再運(yùn)用十字相乘法分解因式即可.

【詳解】解：原式=(/-24)2—3x(￡—24)-10/

=(x2-24-5x)(x2-24+2x)

=(X2-5X-24)(X2+2X-24)

=(x+3)(x—8)(x—4)(x+6)

【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用十字相乘法進(jìn)行因式分解.

2.(2022?福建三明?八年級(jí)期中)閱讀下面材料完成分解因式.

x2(p+q)x+Pq型式子的因式分解

工2(〃+4)工+pq

=x2+px+qx+pq

=(f_|_*)+(?+pqj

=x(x+〃)+q(x+

=(x+0(x+q).

這樣，我們得至I」x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

利用上式可以將某些二鎰項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式.

例把f+3x+2分解因式

分析：f+3x+2中的二次項(xiàng)系數(shù)為1,常數(shù)項(xiàng)2=1x2,一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2,這是一個(gè)f+(p+q)x+pq型

式子.

解：x2+3X+2=X2+(1+2)X+2=(X+1)(X+2)

請(qǐng)仿照上面的方法將下列多項(xiàng)式分解因式.

⑴f+10x+24

(2)3a2-3ab-36h2

【答案】⑴(x+4)(x+6)

(2)3(?-4Z?)(a+3&)

【分析】(1)仿照題意進(jìn)行分解因式即可；

(2)仿照題意進(jìn)行分解因式即可.

(1)

解：x2+10x4-24

=f+(6+4)x+24

=(x+4)(x+6)；

(2)

解：3a2-3,必-36人

=3[a2-ab-l2b2)

=3[/+(3一4)"-12從]

=3(a-4Z?)(。+3。).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)六分組分解法分解因式

例題：(2022?廣東?南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)八年級(jí)期中)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字

相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如一-4V-2x+4y,我們細(xì)心觀(guān)察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)

現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取

公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了.過(guò)程為：

X2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2_y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).

這種分解因式的方法叫分組分解法.

請(qǐng)利用這種方法分解因式/-2孫+/_16.

【答案】(x-y+4)(x-y-4)

【分析】把前三項(xiàng)分為一組，最后一項(xiàng)單獨(dú)作為一組，然后利用平方差公式進(jìn)行分解即可解答.

【詳解】解：x2-2xy+y2-l6

=(x-y)2—16

=(x-y+4)(x-y-4).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解一分組分解法，公因式，因式分解-運(yùn)用公式法，合理進(jìn)行分組是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?江蘇?揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級(jí)期中)先閱讀以下材料，然后解答問(wèn)題，分解因式.

mx+nx+my+ny

=(nix+nx)+(my+ny)

=x(m+ri)+y(m+〃)

=G〃+〃)(x+y)；

也可以陽(yáng)+〃y

=(nvc+my)+(nx+ny)

=m(x+y)+n(x+y)

=(m+n)(x+y).

以上分解因式的方法稱(chēng)為分組分解法，

⑴請(qǐng)用分組分解法分解下列因式：

①“2(x_y)_x+y

@x2-y2-4x+4

(2)拓展延伸

①若2f-2肛+y2-8x+16=0求x,y的值；

②求當(dāng)x、y分別為多少時(shí)？代數(shù)式5/-12町+9/+8x+6有最小的值，最小的值是多少？

【答案】⑴①(x-y)(a+l)(a-l)；②(x+y-2)(x-y-2)

Q

⑵①x=4,y=4；②x=7,y=--,最小值：-10

【分析】(1)①正確分組，然后用提取公因式(x-y),利用平方差公式求解；②將f-/-4x+4化為

--4》+4-丁，再利用完全平方公式，平方差公式求解；

(2)①將5/-12沖+9/+8》+6化為(x-yy+(x-4)2=0,求出x和y的值;②將2f-2孫+/-8x+16=0

分組分解得到(2x-3yy+(x+4)2-10,結(jié)合(2x-3y)&0,(x+4)2>0,求出x和)，的值，

5/-12xy+9y2+8x+6的最小值.

(1)

解：①/(x-y)-x+y

=a2(x-j；)-(x-y)

=(x-^)(?2-l)

=(x-y)(a+l)(a-l)；

(2)x2-y2-4x+4

=x2-4x+4-y2

=(x-2)2-/

=(x+y-2)(x-y-2)；

(2)

解：①2x2—2xy+y2—8x+16=0,

x2-2xy+y2+x2-8x+16=0,

(x—y)2+(x-4『=0,

/.(x-y)2=0,(x-4)2=0,

/.x=4,y=4；

@V5X2-12^+9/+8X+6

=4x2-12x,y+9y2+x2+8x+16-10

=(2X-3?+(X+4)2-I0,

?.?(2x-3y)2>0,(X+4)2>0,

.-.(2x-3y)2=0,(x+4)2=0時(shí)，-12Q+9)J+8x+6有最小值，最小值是-10,

2x=3y,x=-4,

8

Q

即當(dāng)x="4,y=-§時(shí)，代數(shù)式5X2-12X)，+9V+8X+6有最小值，最小值是-10.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法-分組分解法，平方差公式和完全平方公式：正確進(jìn)行分組是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

2.(2022?山西呂梁?八年級(jí)期末)閱讀以下材料，并解決問(wèn)題：

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式則不能直接用上述兩種方法進(jìn)行分解，

比如多項(xiàng)式.x2-4/-2x+4y.這樣我們就需要結(jié)合式子特點(diǎn)，探究新的分解方法.仔細(xì)觀(guān)察這個(gè)四項(xiàng)式，

會(huì)發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項(xiàng)結(jié)合為一組符合平方差公式特點(diǎn)，把它的后兩項(xiàng)結(jié)合為一組可提取公因式，而且

對(duì)前后兩組分別進(jìn)行因式分解后會(huì)出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對(duì)整個(gè)式子的因式分解.具

體過(guò)程如下：

例1：x2-4y2-2x+4y

=(d-4y2)_(2x—4y)..........分成兩組

=(x+2y)(x-2y)-2(x—2y)................分別分解

=(x—2y)(x+2y—2)........................提取公因式完成分解

像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法.分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四

項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見(jiàn)性"，預(yù)見(jiàn)下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解.

⑴材料例1中，分組的目的是.

⑵若要將以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，怎樣分組比較合適？

廠(chǎng)2-y2+x+y=；

2a+eV-2b-2ab+.

⑶利用分組分解法進(jìn)行因式分解：x2-2xy+y2.

【答案】(I)分組后能出現(xiàn)公因式，分組后能應(yīng)用公式

(2)(x?-力+(%+丁)、(2〃-2匕)+(/-2而+〃)

⑶(x-y+2)(x-y-2)

【分析】(1)閱讀材料可知分組須有"預(yù)見(jiàn)性"，預(yù)見(jiàn)下一步能繼續(xù)分解，即可求解；

(2)根據(jù)分組分解的方法，依據(jù)下一步利用公式進(jìn)行分組；

(3)根據(jù)分組分解法因式分解即可求解.

(1)

分組后能出現(xiàn)公因式，分組后能應(yīng)用公式

(2)

x2-y2+x+y=(x2-^2)+(x+y),

2a+a2—2b—2ab+h2=(2a—2h)+^a'—2ab+b'^,

故答案為：(x?-丁)+(%+力，(2a-2b)+[a--2ab+b2Y

(3)

x2-2xy+V_4

=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握分組分解法是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)七因式分解的應(yīng)用

例題：(2022?廣東?深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期中)閱讀材料：若病-2〃帆+2〃2—4〃+4=0,

求的值.

解：nr-2mn+2n2-4"+4=0,(〃?2-2wn+叫+(/-4〃+4)=0

:\m-riy+(〃-2)-=0,=0,(n-2)'=0,.，.n=2,m=2.

根據(jù)你的觀(guān)察，探究下面的問(wèn)題：

⑴/+。2+6〃_2。+10=0,則。=,b=.

(2)已知x?+2y2-2xy+8y+\6=0,求xy的值.

⑶已知MBC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足2/+/-4°-泌+18=0,求0ABe的周長(zhǎng).

【答案】⑴3：1

(2)16

(3)9

【分析】(1)通過(guò)完全平方公式進(jìn)行變式得(0+3)2+伍-1)2=0,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果;

(2)由/+2/一2盯+8y+16=0得(x—y)2+(y+4f=0,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；

(3)把方程通過(guò)變式得2(a-l)2+g_4)2=0,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a、b,根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得c,

便可求得三角形的周長(zhǎng).

(1)

解：由/+〃+6〃一26+10=0得，

(?+3)2+(/?-1)2=0,

El(a-3)2>0,(fe-l)2>0,

團(tuán)〃-3=0,Z?-l=0,

團(tuán)〃=3,b=T.

故答案為:3；1；

(2)

由爐+2/-2孫+8)，+16=0,得，

(x-?+(y+4)2=0,

:.x=y,y=-4,

0x=-4,y=-4,

0Ay=16；

(3)

由242+62—44一8萬(wàn)+18=()得2(“-1)2+3-4)2=0,

團(tuán)。=1,匕=4,

13MBe的三邊長(zhǎng)〃、b、c都是正整數(shù)，

04-1<C<4+1,

03<c<5,

團(tuán)c=4,

配L48C的周長(zhǎng)為l+4+4=9.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路

是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?江蘇?鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中)閱讀材料：若2,〃〃+2〃2-4〃+4=0,求”，〃的值.

解：nV-2nm+2n2—4〃+4=0,/.(nr-2mn+n2>j+^n2—4〃+4)=0

+(”-2)-=0,...(〃？-〃)-=0,(M-2)'-0,：.n=2,m=2.

根據(jù)你的觀(guān)察，探究下面的問(wèn)題：

(1)/+從一6〃+9=0,則。=,b=.

⑵已知Y+2y2-2孫-8y+16=0,求的值.

⑶已知AABC的三邊長(zhǎng)。也c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足“+6=8,ab-c2+U)c=41,求AABC的周長(zhǎng).

【答案】(1)3,0

(2)16

⑶13

【分析】(1)通過(guò)完全平方公式進(jìn)行變式得(。-3)2+從=0,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；

(2)由r+2丫2-2孫+8)，+16=0得"-?+(丫+4)2=0,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；

(3)把兩個(gè)方程通過(guò)變式得(a-4)2+(C-5)2=0,然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a、c,進(jìn)而得兒便可求得三角

形的周長(zhǎng).

(1)

解：由a2+〃-6a+9=0，得(a—3)一+"=0,

回(a-3)，0,b2>0.

0iZ-3=O,b=0,

團(tuán)4=3,b=0.

故答案為：3；0.

(2)

由丁+2/-2封-8y+16=0得，

(x-y)2+(y+4)2=0

l?lr-y=0,y-4=0,

Elr=y=4,

團(tuán)Xy=i6；

（3）

團(tuán)〃+。=8,

勖二8-。，

團(tuán)?！ā?10c=41,

團(tuán)/一8。+16+。2-10。+25=0,

團(tuán)（a-9?+（c-5）2=0,

0?-4=0,<?-5=0,

067=4,c=5,

M=4,

WABC的周長(zhǎng)為a+h+c=4+4+5=13.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路

是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹(shù)人學(xué)校七年級(jí)期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題，

例題：若加2+2加〃+2〃2—6〃+9=0,求相和〃的值.

團(tuán)"i?+2/次?+2/—6〃+9=0,

222

0m4-2mn+n+n-6T?+9=0,

團(tuán)（機(jī)+〃）~+（〃-3）2=0,

團(tuán)"z+〃=0,n-3=0

團(tuán)機(jī)=-3,〃=3

問(wèn)題：

⑴不論x,y為何有理數(shù)，f+y?-10x+8y+45的值均為（）

A.正數(shù)B.零C.負(fù)數(shù)D,非負(fù)數(shù)

⑵若x2+2y2_2xy+4y+4=0,求爐的值.

2

⑶己知c是aABC的三邊長(zhǎng)，+Z?=10^7+8/7-41,且c,是AABC中最長(zhǎng)的邊，求c的取值范圍.

【答案】⑴A

(3)5<t?<9

【分析】(1)根據(jù)題意得至iJx2+/-i0x+8y+45=(x—5)2+(y+4)2+4,即可作出判斷；

(2)根據(jù)題意由f+2y2-2孫+4>+4=0得到(x—yy+(y+2)2=0,求得》=y=-2,即可得到答案；

(3)由〃+從=]0〃+汕一41得到(<2-51+(6-4)2=0,求得〃=5,6=4,因?yàn)椤埃琤,c是AABC的三邊長(zhǎng),

且c是AABC中最長(zhǎng)的邊，即可求得c的取值范圍.

(1)

解：》2+y-10》+8>+45

=x2-10x+25+/+83-+16+4

=(x-5))+(y+4)2+4

0(X-5)2>O,(y+4)2>0,

3x2+y2-10x+8j+45=(x-5)2+(y+4)2+4>4

12不論x,y為何有理數(shù)，x?+;/-i0x+8y+45的值均為正數(shù)，

故選：A

(2)

0x2+2y2-2肛+4>+4=0,

[3x2-2個(gè)+/+/+4y+4=0,

團(tuán)(x-?+(y+2)2=o,

取一y=0,y+2=0,

取=y=-2,

回x'=(-2尸=；；

(3)

^a2+b2=\0a+8b-4\,

13a2-10〃+25+占2-8方+16=0,

0((z-5)2+(fe-4)2=0,

06?—5=O,6—4=0,

回〃=5,b=4,

團(tuán)mb,c是AABC的三邊長(zhǎng)，且c是AABC中最長(zhǎng)的邊,

05<c<5+4,

即5<c<9,

即C的取值范圍是5SCV9.

【點(diǎn)睛】此題考查「完全平方公式因式分解、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)，利用完全平

方公式變形是解題的關(guān)鍵.

；課后訓(xùn)練j

一、選擇題

I.(2021?湖南?衡陽(yáng)市第十七中學(xué)八年級(jí)期中)多項(xiàng)式4"2+16后6-12a362c的公因式是()

A.4ab2cB.ab2C.4ah2D.4a3b2c

【答案】C

【分析】根據(jù)確定多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的方法，①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)②定字母，即確定

各項(xiàng)相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式(或相同多項(xiàng)式因式)的指數(shù)最

低次累，確定公因式即可

【詳解】原式=4/(1+4。-3〃1)

12公因式為

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了確定公因式的方法，關(guān)鍵是掌握確定公因式的方法.

2.(2022?山東?濟(jì)南市濟(jì)陽(yáng)區(qū)創(chuàng)新中學(xué)八年級(jí)期中)下列各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.(x+l)(x-l)=x2-lB.x2-y2=(x+y)(x-y)

C.x2-2x4-1=x(x-2)+1D.8x2y3=4x2y-2y2

【答案】B

【分析】根據(jù)因式分解的定義是把?個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，依次進(jìn)行分析判斷可得答案.

【詳解】解：A.(x+l)(x-l)=x2-l,是整式的乘法，不是因式分解，故4錯(cuò)誤；

B./-丁=。+封(%-封，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故8正確；

C.X2-2X+1=X(X-2)+1,沒(méi)把?個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成兒個(gè)整式積的形式，故C錯(cuò)誤；

D.8x2y3=4x2y-2y2,不是把個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故O錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，注意掌握因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式枳的形式.

3.(2022?四川?成都市龍泉驛區(qū)新思源學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))對(duì)任意自然數(shù)〃，代數(shù)式(〃+7『-(“-5)2的值

一定能被()整除.

A.6B.24C.4D.8

【答案】B

【分析】先將題目中的代數(shù)式化簡(jiǎn)，即可得到題目中的代數(shù)式一定可以被哪個(gè)數(shù)整除，本題得以解決.

【詳解】解：0(?+7)2-(n-5)2

=[(〃+7)+(〃-5)][(〃+7)-(〃-5)]

=(〃+7+〃-5)(〃+7—〃+5)

=(2/1+2)xl2

=24(〃+1),

團(tuán)代數(shù)式(〃+7)2-5-5)2的值一定能被24整除，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)犍是明確題意，利用因式分解的方法解答.

4.(2021?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)期中)已知a,b是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足Y+從一6〃-8什25=0,則

這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為()

A.10B.11C.10或IID.12

【答案】C

【分析】先將25改成9+16,運(yùn)用完全平方公式將原等式化為平方和為。的形式，繼而求出。，人的值，最

后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：回/+匕2-6。-8〃+25=0,

0(6-6"+9)+(尸8/7+16)=0,

0(a-3)2+(W)2=0,

團(tuán)4=3,b=4.

分兩種情況討論：

①當(dāng)腰為3時(shí)，3+3>4,能構(gòu)成三角形，等腰三角形的周長(zhǎng)為3+3+4=10,

②當(dāng)腰為4時(shí)13+4>4,能構(gòu)成三角形，等腰三角形的周長(zhǎng)為4+4+3=11.

綜上所述：該等腰三角形的周長(zhǎng)為10或11.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式及等腰三角形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是將25改成9+16,運(yùn)用完全平方公式

將原等式化為平方和為0的形式.

5.(2021?浙江?竦州市馬寅初初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中)小南是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣

一條信息：x-1,a-b,3,x2+\,a,x+1分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：中，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，馬，現(xiàn)將

3a(W—i)-3伏/一1)因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是()

4我愛(ài)學(xué)B.愛(ài)馬中C.我愛(ài)馬中D.馬中數(shù)學(xué)

【答案】C

【分析】把所給的式子運(yùn)用提公因式和平方差公式進(jìn)行因式分解，查看對(duì)應(yīng)的字即可得出答案.

【詳解】解：3a(x2-l)-3^(x2-l)

=3(x+l)(x-l)(a-b),

0x-l,a-b,3,x2+l,a,x+1分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：中，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，馬，

團(tuán)結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛(ài)馬中，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的綜合應(yīng)用，正確將所給的式子進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.(2022?廣東汕頭?八年級(jí)期末)因式分解：2m3-2m=.

【答案】

【分析】先提公因式2,“，然后根據(jù)平方差公式因式分解即可求解.

【詳解】解：2m(m2-1)=2m(m+l)(m-l).

故答案為：+.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?四川成都?八年級(jí)期末)已知：a+b=3,ab=2,^-a^b+a2^+-abJ=

22-----

【答案】9

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，將已知等式整體代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：加+6=3,ab=2,

^-a^b+crb1+-abi

22

=gab(a2+lab+b1)

=^ah(a+b)2

=-x2x9

2

=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

8.(2021?四川?成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí))若實(shí)數(shù)mb滿(mǎn)足則代數(shù)式/-4/-46+2021的值為

【答案】2022

【分析】將所求代數(shù)式中的/-4〃-46因式分解，再把4-4=1代入，化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：Sa-2b=\,

0a2-4/?2-4^+2021=(a+2/?)(a-2Z>)-4/7+2021

=(a+?)x1-46+2021

=。一4+2021

=1+2021

=2022

故答案為：2022.

【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值和因式分解以及整式計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練利用因式分解把所求代數(shù)式

變形，然后整體代入求值.

9.(2022?河南平頂山?八年級(jí)期末)若三角形A8C的三邊長(zhǎng)小b,c滿(mǎn)足。+2ab=c+2Z;c,則三角形ABC

的形狀是.

【答案】等腰三角形

【分析】通過(guò)對(duì)a+2ab=c+2兒的變形得到(26+1)(?-c)=0,由此得到。=°,易判斷三角形48c的形狀.

【詳解】解：Sa+2ab=c+2bc,

S\a—c+2ab—2bc=0,即(2b+1)(“一c)=0,

067,b,c是a48c的邊長(zhǎng)，

助＞0,

122Hlx0,

c=0,

Eta=c,即三角形ABC的形狀是等腰三角形，

故答案為：等腰三角形.

【點(diǎn)睛】該題主要考查了因式分解及其應(yīng)用問(wèn)題，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是牢固掌握分組分解法

或提公因式法，靈活選用有關(guān)方法來(lái)變形、化筒、求值或證明.

10.(2022?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)期末)如圖，六塊紙板拼成-一張大矩形紙板，其中一塊是邊長(zhǎng)為a的正方形，

兩塊是邊長(zhǎng)為匕的正方形，三塊是長(zhǎng)為。，寬為人的矩形(“＞/.觀(guān)察圖形，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式/+3刈+2尸可

因式分解為.

【答案】(a+b)(a+2b)

【分析】圖中大長(zhǎng)方形的面積有兩種求法，一是由三個(gè)正方形的面積與三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和計(jì)算，二

是由大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+2))與寬＜"+”＞的乘積計(jì)算，兩者相等即可確定多項(xiàng)式標(biāo)+3必+2//因式分解的結(jié)果.

【詳解】解：結(jié)合圖形，可得長(zhǎng)方形的面積為S=/+ab+ab+H＞+b2+62=a2+3“b+?2,

長(zhǎng)方形的面積也可以為S=(a+力3+加)，

回a?+3ab+2b2=3+份("+2力).

故答案為：(a+b)(a+2b).

【點(diǎn)睛】本題主要考查/因式分解與幾何圖形的面積，弄清圖形中的面積關(guān)系是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2021?河北?石家莊市藁城區(qū)尚西中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))分解因式：

(l)2x2-12x+18;(2)4a2(x-y)+%2(y-x)；

【答案】⑴2(x—3)2

(2)(x—j)(2a+36)(2a-3&)

【分析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

(1)

解：2d-12x+18

==2(W-6x+9)

=2(x-3)2；

(2)

4a2(x-y)+9b2(y-x)

=4t/2(x->,)-9/?2(x-y)

二(x-y)(4/_9b2)

=(x-y)(2^+3/?)(2^—3Z?).

【點(diǎn)睛】此題考查/提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.

12.(2022?浙江?杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中)因式分解

⑴一2尢3+169一24x(2)a2-b2-x2+y2-2ay+2bx

【答案】(1)-2X(X-2)(X-6)

{l}^a-y+b—x)^a—y—b+x)

【分析】(1)先提公因式，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可解答；

(2)先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行分組，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答.

(1)

解：一21+16尤2-24工

=-2大(爐-8犬+12)

=-2x(x-2)(x-6)

(2)

角星：〃《一3一J+—2,uy4-2bx

={^a1-2ay+y1^-{b2-2bx+^

^(a-y)2-(b-x)2

-^a—y+b—x)^a—y—b+x)

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，因式分解一分組分解法，一定要注意如果多項(xiàng)式的各

項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式.

13.(2021?福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)因式分解：

(1)4a2—16a+16；

2

(2)a(x-y)+l6(y-x);

(3)9x~—6x-)廣-2y；

(4)(2機(jī)2-mj—2(2"P—機(jī))-3.

【答案】⑴4(a-2)2：

(2)(x-y)(a+4)(a-4)；

⑶(3x+y)(3x-y-2)；

(4)(W+1)(2M7-3)(2/?Z2-WI+1).

【分析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；

(2)先進(jìn)行公式變形為/(x-y)-16(x-y),再提取公因式，最后用平方差公式分解即可；

(3)先將原式分組為(9/-丁)-(6乂+2)，)再分別利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可；

(4)先利用十字相乘法進(jìn)行分解，再次利用十字相乘法進(jìn)行分解即可求解.

(1)

解：4a2-16a+16

二4(/-4〃+4)

=4(。-2)2；

(2)

解:a2(x-y)+16(y-x)

=6Z2（x-y）-16（x-y）

=（x-y乂/-16）

=（x-y）（a+4）（a-4）；

（3）

解：9x2—6x—y2—2y

=（9x2-y"）-（6x+2>,）

=（3x+y）（3x-y）-2（3x+y）

=（3x+y）（3x-y-2）

（4）

（2m2—/n）—2^2m2—wj—3

=（2〃?2-機(jī)-3）（2加2-m+1）

=（/n+l）（2/n—3乂2]_6+1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了將多項(xiàng)式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此

方法無(wú)法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分組分解法進(jìn)行因式分解，注意因式分解一定要徹底.

14.（2021?山西臨汾?八年級(jí)期中）在數(shù)學(xué)課外探究小組活動(dòng)中，有一道這樣的題目：對(duì)多項(xiàng)式

（/-4〃+2乂/-44+6）+4進(jìn)行因式分解.指導(dǎo)老師的講解過(guò)程如下.

解：令a?-4a=f,

則原式=（f+2）（t+6）+4="+8+12+4="+&+16=Q+4）2.

&t=a2-4a,回原式=（〃2-4"+4）.

老師解答到此就停止了，并提出了以下2個(gè)問(wèn)題：

⑴上述解答的結(jié)果是否分解到最后？（填"是"或"否"）.如果否，直接寫(xiě)出最后的結(jié)果（如果

是則不用填寫(xiě)）.

⑵請(qǐng)模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式（〃-如伊-2匕+2）+1進(jìn)行因式分解.

【答案】⑴否；（a—2）4

(2)(^-1)4

【分析】(1)檢查解答結(jié)果繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行分解即可；

(2)利用題目提供的信息進(jìn)行分解因式即可.

(1)

解：?(〃-4a+M=[(4-2)2,=(a_，

S1上述解答的結(jié)果沒(méi)有分解到最后.

故答案為：否；(4-2)1

(2)

解：令白-2b=t，

貝I](〃一如)(〃一2人+2)+1

="r+2)+l

=/+2z+l

=(，+l)2

?b2-2b=t,

團(tuán)原式=W—2r+l)

=[(Z>-1)2]2

=(J)4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，讀懂題意，熟練掌握完全平方公式，是解題的關(guān)鍵.

15.(202)四川?八年級(jí)期中)由整式的乘法運(yùn)算法則可得(ar+b)(6+d)=a52+(a/+bc)x+bd.由于我們

道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得g2+(4+歷卜+仇/=(^+與(5+4).

通過(guò)觀(guān)察可如可把公〉+(，以+秘》+4中的x著作是未知數(shù).a、b、c、d在作常數(shù)的二次三項(xiàng)式：通過(guò)

觀(guān)察依+碩5+4).可知此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)比與常數(shù)項(xiàng)

仇/分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦?lái)湊-次項(xiàng)的系數(shù).此分解過(guò)程可以用十字相乘的形式形象地表示成如圖1,此分

解過(guò)程可形象地表述為"堅(jiān)乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)，這種分解的方法稱(chēng)為十字相乘法.如：將二次三項(xiàng)式

2d+7x+3的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)3分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2,則2/+7》+3=（彳+3）（2》+1）.

X：x：

”d-cxb=ad?bc2x34x1=7

圖1圖2

根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：

⑴用十字相乘法因式分解：4X2+9X-13;

（2）用十字相乘法因式分解：（x+4-12（x+y）+35；

⑶結(jié)合本題知識(shí)，因式分解：2d+8xy+8y2-7x-14y+6.

【答案】⑴（4x+13）（x-l）

(2)(x+y-5)(x+y-7)

(3)(2x+4y-3/x+2y-2)

【分析】(1)利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；

(2)利用十字相乘法進(jìn)行求解即可；

(3)先分組，再利用十字相乘法進(jìn)行求解即可.

(1)

解：4X2+9x-13=(4x+13)(x-l)；

(2)

解：(x+y)2-12(x+>)+35=(x+j-5)(x+y-7)；

(3)

解：2x2+8xy+8y2-7x