連續(xù)系統(tǒng)頻率特性及根軌跡分析法的數(shù)字仿真

連續(xù)系統(tǒng)頻率特性及根軌跡分析法的數(shù)字仿真系統(tǒng)的頻率特性可以用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)出，這對(duì)于難以確定動(dòng)態(tài)方程的系統(tǒng)時(shí)非常有用的。頻率設(shè)計(jì)法可以忽略噪音的影響，也可用于非線性系統(tǒng)。

為了避免求解高階特征方程的根的困難，通過(guò)實(shí)踐提出了一種圖解求跟法，即根軌跡法。根軌跡是指系統(tǒng)的某一個(gè)（或幾個(gè)）參數(shù)從變化到時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在根平面上描繪的一些曲線，應(yīng)用這些曲線，可以根據(jù)某個(gè)參數(shù)確定相應(yīng)的特征根。此法中，通常取系統(tǒng)的開環(huán)增益K作為可變參數(shù)。

本章將介紹頻率特性方法和根軌跡分析系統(tǒng)的簡(jiǎn)單原理，并著重介紹奈奎斯特法和波德圖法計(jì)算頻率特性及其穩(wěn)定性分析和求穩(wěn)定裕量的算法，繪制波德圖及其相應(yīng)的程序，最后介紹高階代數(shù)方程求解和根軌跡仿真的算法及第2頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天程序。

6.2奈奎斯特圖法的數(shù)字仿真頻域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G（jw）來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和頻率特性的一種圖解分析法。它還能計(jì)算出系統(tǒng)的相位裕量r，復(fù)制裕量Kg和剪切頻率wc

繪制奈奎斯特圖能利用系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。他是由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)而來(lái)的。這個(gè)判據(jù)確定了開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性和閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系。還能由此找到改善閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的方法。

6.2.1奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)定義為（1）開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，即沒(méi)有極點(diǎn)在右半平面，頻率w從到變化時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線不環(huán)繞（-1，j）點(diǎn)，那末系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，

第3頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，有p個(gè)極點(diǎn)在右邊平面，頻率w從到變化時(shí)，開環(huán)系統(tǒng)頻率特性G（jw）曲線反時(shí)針?lè)较颦h(huán)繞（-1，j）的次數(shù)N等于右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)p，那末閉環(huán)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。奈奎斯特圖就是根據(jù)奈氏判據(jù)在開環(huán)系統(tǒng)品頻率特性的平面上繪制開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性的極坐標(biāo)圖。例一控制系統(tǒng)開環(huán)傳涵位，請(qǐng)判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其頻率特性為第4頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天ImRe（-1，j0）wG（jw）Kw=0圖6.2—1奈奎斯特圖如圖，沒(méi)有極點(diǎn)在右半平面，不論怎K樣變化，曲線G（jw）都不會(huì)包圍（-1，jw）點(diǎn)，因此閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。6.2.2利用奈奎斯特圖分析系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量繪制系統(tǒng)的奈奎斯特圖，不僅可以確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，奈氏圖線離開G（jw）第5頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天平面上的（-1，jw）點(diǎn)越遠(yuǎn)，說(shuō)明穩(wěn)定裕量越大。穩(wěn)定裕量是以G（jw）軌跡上兩個(gè)特殊點(diǎn)的位置來(lái)度量的。特殊點(diǎn)是由圖中的A點(diǎn)和B點(diǎn)。A點(diǎn)是G（jw）的軌跡和單位圓的交點(diǎn)，頻率為wc，在A點(diǎn)G（jw）的幅值為A（wc）=1，而相角為，（相角規(guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)）。B點(diǎn)是負(fù)實(shí)軸和G（jw）曲線相交的點(diǎn)，交點(diǎn)頻率為wg

，G（jw）的幅值為A（wg）。（-1，j0）ImReG（jw）BA（wc）wcAwgr0I平面圖6.2—2由奈奎斯特圖求穩(wěn)定裕量第6頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天相位于量定義為向量OA于實(shí)軸間的夾角，并用r表示。上圖中，r可由下式確定

r=1800+r=0表示A點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定，乃是曲線穿過(guò)（-1，j0）點(diǎn)。通常r值在300—600

之間。相位裕量定義為G（jw）軌跡在B點(diǎn)幅值A(chǔ)（wg）的倒數(shù)并用Kg表示。Kg〉1表示系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，Kg=1表示奈氏線穿過(guò)（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。6.2.3利用奈奎斯特圖分析系統(tǒng)穩(wěn)定，計(jì)算開環(huán)閉環(huán)福相特性的計(jì)算程序1奈奎斯特圖的繪制及系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析第7頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)優(yōu)兩種形式給出。一種是分子分母均由因子乘積形式給出，即式中n為極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，m是零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，K式比例系數(shù)；z1，z2，…zm

是系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)，p1，p2，…pn

為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。另一種形式是分子分母為s的多項(xiàng)式，即（n〉m）（6.2—3）（6.2—4）利用因子乘積形式展開（6.2—3）可得到（6.2—4）的形式第8頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)式（6.2—4）式的頻率特性為此式可表示為（6.2—5）（6.2—6）第9頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天則系統(tǒng)的頻率特性分別為而幅頻特性和相頻特性分別為（6.2—7）（6.2—8）以上各式是已知G（s）的分子、分母多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)計(jì)算頻率特性的算法。奈奎斯特圖是對(duì)稱于實(shí)軸的，所以只要做出部分即可。具體的頻率范圍由剪切頻率wc而定，一般選擇在wc附近3—4個(gè)十倍頻程內(nèi)。為了簡(jiǎn)便角頻率參量通常采用對(duì)數(shù)分度來(lái)擴(kuò)展低頻段，隨著w的增加，頻率點(diǎn)選的越疏。第10頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)wmax，wmin分表示計(jì)算頻率的上下限，頻率點(diǎn)數(shù)為

p，則各頻率值應(yīng)為L(zhǎng)ogwi=logwmin+[logwmax-logwmin]*i/pi=（1，2，3，…p）（6.2—9）上式的指數(shù)形式為ImRew=0w[G（jw）]1j1wgr-1awc-j1〈G（jwc）圖（6.2-3）相對(duì)穩(wěn)性圖解式中L=log（wmax/wmin）稱為對(duì)數(shù)循環(huán)數(shù)目，按（6.2—10）選取頻點(diǎn)的方法，w取均勻分布，即（6.2—10）第11頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天.

wi=wmin+（wmax-wmin）*i/p

相比較當(dāng)wmax〉wmin，能較好地?cái)U(kuò)展低頻段，同時(shí)在做波德圖時(shí)，便于選取對(duì)數(shù)坐標(biāo)的等分度點(diǎn)。

2根據(jù)開環(huán)頻率特性求閉環(huán)頻率特性已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s),則閉環(huán)傳遞函數(shù)為

令s=jw,可以得到它可以表示成G(jw)=Re+jIm形式,這時(shí)上式可寫為第12頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3奈奎斯特的程序結(jié)構(gòu)及分析程序框圖如下輸入n,w,lK=int((n+1)/2)計(jì)算A(w),B(w),C(w),D(w)計(jì)算Re,Im計(jì)算G(j),J=j+1J<100?yG(j)=1?打印wcJ<100?是否求A(w)計(jì)算A(w)打印wj,AjJ<100?停止停止J=j+1打印wg,kgJ=j+1打印系統(tǒng)不好nynynnyn,,(j)<=負(fù)180(j)=-180?=第13頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天例已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳函為

n=4l=4ph[0]=1.197E13ps[1]=2.67E10ps[2]=2.63E7ps[3]=5000ps[4]=1.其余數(shù)據(jù)為0時(shí)運(yùn)行結(jié)果為

wc=433.63127r=66.27169wc=10.482519r=2495.29126wc=12.018966r=2736.03249wc=13.292432r=3000波特圖設(shè)計(jì)法,此時(shí)是對(duì)應(yīng)bf=0的情況,即開環(huán)特性

6.3波特圖法的數(shù)字仿真線性控制系統(tǒng)最常用的方法是波特圖設(shè)計(jì)法,其法時(shí)將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的幅頻和相頻特性曲線分開畫,并對(duì)幅頻特性進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算,取直角坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為頻.第14頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻率w,縱坐標(biāo)為幅值和相角.繪波特圖時(shí)先計(jì)算幅值.

6.3.1零,極點(diǎn)因子形式表示傳函的計(jì)算已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為上時(shí)對(duì)于實(shí)數(shù)零,極點(diǎn),它具有一階因子,對(duì)于復(fù)數(shù)是二因子.一階因子表示為:G1(s)=as+b6.3.3取變量s=jw,側(cè)6.3.3寫成:G(jw)=jaw+b6.3.4其幅頻和相角分別為二階因子表達(dá)式為:G2(s)=as*s+bs+c6.3.76.3.26.3.56.3.6第15頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天取變量s=jw則上式可寫成:G2(jw)=-aw*w+bjw+c6.3.8其幅值和相角分別為:隨著因子階次的提高,計(jì)算亦更麻煩.作為零,極點(diǎn)一二階因子,其計(jì)算只要用循環(huán)語(yǔ)句易實(shí)現(xiàn).其通用形式為

6.3.2以多項(xiàng)式表示傳函特性的計(jì)算6.3.86.3.96.3.11第16頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)預(yù)高階系統(tǒng)靠分解因式來(lái)計(jì)算幅頻和相角是很困難的,下面介紹用多項(xiàng)式表示的計(jì)算方法.

設(shè)P(s)是以變量s表示的多項(xiàng)式傳遞函數(shù)分子,分母都可以用這樣的多項(xiàng)式表示,假定所求的是對(duì)應(yīng)s=jw處多項(xiàng)式P(s)的幅頻和相角.將P(s)用綜合法分解二項(xiàng)式(s*s+w1*w1),這一結(jié)果將是式中(c1s+c0)是余項(xiàng),它低于二階,注意到s=jw1,于是二次相因子為0.因此求p(s)在s=jw1處的幅值和相位,只需求余項(xiàng)的幅值和相角就行.即

P(jw1)=c1s+c0=jc1w1+c06.3.156.3.126.3.13第17頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天上式是一階因子,其幅值和相角可按6.3.5,6.3.6計(jì)算.于是,求一個(gè)多相式在w=w1處的幅值和相角,只要用多項(xiàng)式除以(s*s+w1*w1),求出余項(xiàng)在w=w1處的幅值和相角,就是所求的幅值和相角.現(xiàn)舉例如下:

若多項(xiàng)式P(s)為:現(xiàn)要求出P(s)在w=2處的幅值和相角,根據(jù)上述方法,必須分解出二次項(xiàng)(s*s+4),用綜合除法得所以P(j2)=5s+5=j10+5

于是第18頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天

6.6.3零,極點(diǎn)因子行式的傳函幅頻和相頻特性計(jì)算程序-FXTXJS分析及結(jié)構(gòu)組成該程序是針對(duì)入下因子的傳函式中N—傳函在復(fù)平面的極點(diǎn)數(shù)

Q—傳函的因子數(shù)

Si—第I個(gè)因子的增益

Ri—第i個(gè)因子的指數(shù)

w—角頻率

Ti,Bi—實(shí)型常數(shù)

第19頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天其仿真程序的結(jié)構(gòu)框圖如下Int__input()Input()G2=1G2=g2*s[I]I=q?計(jì)算I=q?G=0.43249*20*lg(g*g2)打印w,g,pW=w+w2W<=wi停止ynnnyG,p.第20頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天現(xiàn)舉例說(shuō)明例有一系統(tǒng)開環(huán)傳函為試求系統(tǒng)的幅相頻特性.其具體過(guò)程見(jiàn)仿真部分

6.4根軌跡法的數(shù)子仿真時(shí)域分析法是通常知道已知系統(tǒng)的傳函,如的行式為先求出零點(diǎn)和極點(diǎn)的根.再跟距零,極點(diǎn)分布情況計(jì)算動(dòng)態(tài)響應(yīng)和指標(biāo).可以用前邊的數(shù)字仿真方法完成.若用古典法完成.就是有計(jì)算機(jī)求計(jì)解系統(tǒng)的零,極點(diǎn).(s)第21頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天若給開環(huán)傳函其根軌跡的繪制就是不斷求解高次代數(shù)方程

N(s)+KM(s)=0也就是k從0到無(wú)窮大,對(duì)應(yīng)不通的根.將這些跟聯(lián)起來(lái)就是系統(tǒng)的根軌跡.6.4.1高次代數(shù)方程的求跟程序

1基本算法設(shè)一高次多項(xiàng)式為6.4.3用二次式去除f(s),則得到如下商式.和余式

R(S)=ms+w 第22頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天即F(s)可寫成6.4.6壁較.4.3核.4.6同次冪得系數(shù)得

b1=a1-pb2=a2-pb1-qb3=a3-pb2-qb1…6.4.7…

第23頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天實(shí).4.7中bi的可采用遞推算式來(lái)計(jì)算.這樣當(dāng)f(s)已知時(shí),假設(shè)一個(gè)(p,q),就可以按6.4.8計(jì)算bi,m,w從而德6.4.4,6.4.5.同時(shí)將f(s)的次多項(xiàng)式變成n-2的次多項(xiàng)式.反復(fù)進(jìn)行上述過(guò)程即可求得全部根.如果不能整除則存在p,q的小量,則f(s)的二項(xiàng)式為:用上式去除f(s),則余項(xiàng)為0.由6.4.7見(jiàn)余式中的m,w是p和q的函數(shù),為求小量p,q,將m和w在點(diǎn)(p,q)對(duì)小量展成勞臺(tái)極數(shù),并忽略二階以上小量,再令其為0,可得:第24頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天根據(jù)6.4.7的最后二式得整理得:為由上式去出小量p,q,利用6.4.7對(duì)p,q分別求導(dǎo)可得得值.式中i=1…n.經(jīng)整理可得小量p,q的值即而得到p,q的近視值第25頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天循環(huán)應(yīng)用上述方法,即可得到p,q的第3,4,…k次近似值,即一直循環(huán)到滿足規(guī)定p,q的精度為止.所謂滿足精度要求,可以通過(guò)限制迭代余項(xiàng)的系數(shù)m,w小于某個(gè)給定值來(lái)保證,即:m<e1,w<e2式中e1,e2為預(yù)先給定的正小數(shù),常取0.001.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),應(yīng)劈一次因式,整個(gè)過(guò)成如上,現(xiàn)給出一般算式.

設(shè)一次因式為,p(s)=s+v去除f(s)得商為余式為R(s)=w6.4.19的系數(shù)b1=a1-v,其余系數(shù)為最后一個(gè)系數(shù)Bn=w第26頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天若w=0,則所設(shè)一次多項(xiàng)式p(s)=s+v就是f(s)的一個(gè)因子.否則需修改v值,直到使?jié)M足預(yù)先給定的精度為止.求根的程序框圖和程序.程序見(jiàn)GGJF.C中的函SUBN是奇數(shù)嗎?P=a[1],q=a[2]N=2?劈二次因式余項(xiàng)<E嗎?解二次方程N(yùn)=n-2N=1?劈一次因式余項(xiàng)<E嗎?解一次方程N(yùn)=n-1N=0?打印方成全部根停止解一次方程Init-input()ynynnynny第27頁(yè),共31頁(yè)，2024年2月25日，星期天6.4.2根軌跡數(shù)字仿真程序---GGJF.EXE1根軌跡程序的算法繪制系統(tǒng)的根軌跡就是求解高次代數(shù)方程

N(s)+KM(s)=0(其中k從0到無(wú)窮大)6.4.25的根.將相應(yīng)的根聯(lián)起來(lái)就可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡.

關(guān)于根軌跡增益的選取,一般只要系統(tǒng)的某一極點(diǎn)已越過(guò)s平面的虛軸進(jìn)入右半復(fù)平面就可以終止計(jì)算.此時(shí)k的即為最大值.因此