第17講圓錐曲線中的阿基米德三角形（高階拓展）（教師版）

第17講圓錐曲線中的阿基米德三角形（高階拓展）（核心考點精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線阿基米德三角形的定義2.理解、掌握圓錐曲線的阿基米德三角形問題及其相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強化訓(xùn)練復(fù)習(xí)知識講解橢圓中的阿基米德三角形設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦為AB,過A，B兩點做橢圓切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦AB繞雙曲線中的阿基米德三角形設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a,b>0的弦為AB,過A，B兩點做雙曲線切線，交于Q點，稱△ABQ為阿基米德三角形,則有:

性質(zhì)1:弦拋物線中的阿基米德三角形拋物線的弦為AB,阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線若直線l與拋物線沒有公共點，以l上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點(若直線l方程為:ax+by+底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為a3若阿基米德三角形的底邊過焦點,頂點Q的軌跡為準線,且阿基米德三角形的面積最小值為p在阿基米德三角形中,∠AF?拋物線上任取一點I(不與A,B重合),過I作拋物線切線交QA,QB于S,T,連接考點一、阿基米德三角形的認識及簡單應(yīng)用1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線的焦點作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線的切線，相交于點，又常被稱作阿基米德三角形．的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)出直線的方程，利用弦長公式求出弦長，求出兩條切線的方程得出點的坐標，利用三角形的面積公式可得.【詳解】設(shè)，，由題意可得直線AB的斜率不為0,因為直線AB過焦點，所以設(shè)直線AB的方程；聯(lián)立得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得過點，的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立得，，即.點到直線的距離，當且僅當時取到最小值.故選：C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合韋達定理求解弦長，根據(jù)點到直線的距離求出三角形的高，根據(jù)面積公式的特點求出最值，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2．（2023·甘肅·高三校考階段練習(xí)）拋物線上任意兩點，處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”，當線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下特征：①點必在拋物線的準線上；②．若經(jīng)過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由為“阿基米德三角形”，且線段經(jīng)過拋物線的焦點，得到點，進而得到直線的斜率，再由，得到直線的斜率即可.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為，由題意可知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，因為為“阿基米德三角形”，且線段經(jīng)過拋物線的焦點，所以點必在拋物線的準線上，所以點，直線的斜率為．又因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：A．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（Archimedes，公元前287年公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩切線所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線方程為，且直線與拋物線圍成封閉圖形的面積為6，則（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當過焦點的弦垂直于x軸時，即時，，即，故選：D．4．（2023·新疆克拉瑪依·克拉瑪依市高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，具有以下性質(zhì)：①P點必在拋物線的準線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點，若，則拋物線的“阿基米德三角形”的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出直線PF方程，進而求出點P坐標及長即可求出的面積.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，直線經(jīng)過拋物線的焦點，依題意，，設(shè)，，由消去y并整理得，則，，，解得，即，當時，因為“阿基米德三角形”，則直線PF斜率，直線PF方程為：，點P必在拋物線的準線上，點，，又，于是得，由對稱性可知，當時，同理有，所以的面積是.故選：A1．（2022秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點處的切線交于點，則為“阿基米德三角形”，且當線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下特征：（1）點必在拋物線的準線上；（2）；（3）．若經(jīng)過拋物線的焦點的一條弦為，“阿基米德三角形”為，且點在直線上，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意可得到點在拋物線的準線上，又在直線上，從而可求出點的坐標；根據(jù)，即可求出直線的斜率，從而可求出直線的方程.【詳解】根據(jù)題意，可知點在拋物線的準線上，又點在直線上，所以，又，所以，因為，所以，所以直線的方程為，即.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點，處的兩條切線所圍成的三角形（為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”，拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段經(jīng)過拋物線的焦點時，具有以下性質(zhì)：①點必在拋物線的準線上；②；③.已知直線：與拋物線：交于，點，若，記此時拋物線的“阿基米德三角形”為，則點為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，求出過點的切線方程，兩方程聯(lián)立方程組解得點坐標，直線的方程代入拋物線方程，應(yīng)用韋達定理得，由焦點弦長公式求得，從而可得點坐標．【詳解】設(shè)，，過點的切線方程為，由得，，，，切線方程為，化簡得，同理過點的切線方程是，由，得，由，得，，，直線過焦點，所以，，，異號，所以，，，所以．故選：A．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號．拋物線上任意兩點A，B處的切線交于點P，稱三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：的焦點為F，過A，B兩點的直線的方程為，關(guān)于“阿基米德三角形”△PAB，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．點P的坐標為【答案】D【分析】聯(lián)立方程可解得，則，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得，可判斷，利用點斜式可求得兩條切線方程和，聯(lián)立求P，再求，可判斷．【詳解】聯(lián)立方程，消去得：，解得或即，則，A正確；∵，即對于，切線斜率分別為∴，即，B正確；在點A的切線方程為，即同理可得在點B的切線方程為聯(lián)立方程，解得，即P，D不正確；∵，則，∴，即，C正確；故選：D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，上有兩個不同的點，以A，B為切點的拋物線的切線相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（

）（1）若弦過焦點，則為直角三角形且；（2）點P的坐標是；（3）的邊所在的直線方程為；（4）的邊上的中線與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【答案】D【分析】設(shè)，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，利用焦點弦性質(zhì)得，正確；寫出切線方程，聯(lián)立求出點坐標，得（2）錯誤；用兩點坐標表示出，寫出直線方程，并化簡可得（3）正確；設(shè)為拋物線弦的中點，立即得（4）正確；【詳解】由題意設(shè)，，，由，得，則，所以，，若弦過焦點，∴，∴，∴，故（1）正確；以點為切點的切線方程為，以點為切點的切線方程為，聯(lián)立消去得，將代入，得，所以，故（2）錯誤；設(shè)為拋物線弦的中點，的橫坐標為，因此則直線平行于軸，即平行于拋物線的對稱軸，故（4）正確；設(shè)直線的斜率為，故直線的方程為，化簡得，故（3）正確，故選：D.．【點睛】本題考查直線與拋物線相交，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，焦點弦性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于中檔題．考點二、阿基米德三角形之定點問題1．（2023秋·江西上饒·高三統(tǒng)考期末）（多選）若，，點滿足，記點的軌跡為曲線，直線，為上的動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，則下列說法中正確的是（

）A．的最小值為B．直線恒過定點C．的最小值為0D．當最小時，直線的方程為【答案】ABC【分析】由題知，點的軌跡曲線為，對于A，即可判斷；對于B，設(shè)，根據(jù)條件得到直線，由，得，即可判斷；對于C，根據(jù)條件得到，為全等的等腰直角三角形，得，即可判斷；對于D，求出四邊形的面積，得到A和B的坐標,即可判斷.【詳解】設(shè)，因為，，點滿足，所以，即，化簡得，所以點的軌跡曲線為，圓心為，半徑.對于A，因為直線，為上的動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，設(shè)圓心到直線l的距離為d,所以，故A正確；對于B，設(shè)，則，所以，以為圓心，為半徑的圓的方程為，①因為為，②由①，②相減,得直線，即，由，得，所以直線恒過定點，故B正確；對于C，因為，，根據(jù)幾何性質(zhì)可知，，在中，，因為，所以，所以此時，為全等的等腰直角三角形，所以，，即有，所以，所以的最小值為0，故C正確；對于D，因為四邊形的面積為，此時四邊形為正方形，，所以直線的方程為，故D錯誤.故選：ABC.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為為的中點.（1）證明軸；（2）直線是否恒過定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）直線恒過定點．【分析】（1）設(shè)切點，，求出導(dǎo)數(shù)，由此可得切線斜率，得切線方程，同時設(shè)，代入切線方程并整理，同理得方程，從而可得是方程的兩根，利用韋達定理得，求出點橫坐標可證得結(jié)論；（2）利用（1）再求得點縱坐標，由兩點坐標求得直線的斜率，然后得出直線方程后可得定點坐標．【詳解】（1）設(shè)切點，，，∴切線的斜率為，切線，設(shè)，則有，化簡得，同理可的∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸.（2）∵，∴..，∴直線，即，∴直線過定點.【點睛】本題考查直線與拋物線相交問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，方法是設(shè)切點，，設(shè)動點坐標，把點坐標代入兩切線方程得出是一元二次方程的根，利用韋達定理得出，這樣可得中點坐標，由中點坐標寫出直線方程可得定點坐標．是設(shè)而不求思想的運用．3．（2021·北京·高三專題練習(xí)）拋物線，為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，.（1）證明：直線過定點；（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的面積.【答案】（1）證明見解析；（2）或.【解析】（1）設(shè)點，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再利用斜率公式求出切線的斜率，進而求出直線的方程，從而可證明直線過定點；（2）將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理，求出點坐標，借助向量垂直的坐標運算，求得或，進而求得圓的面積.【詳解】（1）設(shè)，，則，由，所以，所以切線的斜率為，故，整理得，設(shè)，同理可得，所以直線的方程為，所以直線恒過定點.（2）由（1）得直線的方程為，由，得，，，設(shè)為線段的中點，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或，當時，圓半徑，所以圓的面積為，當時，圓半徑，所以圓的面積為.所以，該圓的面積為或.【點睛】本題考查了直線過定點問題及直線與拋物線的位置關(guān)系，其中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率、斜率公式及向量垂直的坐標運算，考查學(xué)生對這些知識的掌握能力，屬于中檔題.4．（2023·湖南岳陽·高三?？迹┮阎€C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B．（1）證明：直線AB過定點；（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求該圓的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）或．【解析】（1）設(shè)，則，利用導(dǎo)數(shù)求斜率及兩點求斜率可得設(shè)，同理可得，從而得到直線AB的方程為，再由直線系方程求直線AB過的定點；（2）由（1）得直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用中點坐標公式及根與系數(shù)的關(guān)系求得線段AB的中點，再由，可得關(guān)于的方程，可得到t=0或，然后分類求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則．由于，所以切線DA的斜率為，故．整理得設(shè)，同理可得．故直線AB的方程為．所以直線AB過定點．（2）由（1）得直線AB的方程為．由，可得．于是．設(shè)M為線段AB的中點，則．由于，而，與直線AB的方向向量平行，所以．解得t=0或．當=0時，=2，所求圓的方程為；當時，，所求圓的方程為．【點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題和第二問是求圓的方程，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計算量不小，屬于中檔題．1．（2023秋·山東臨沂·高三?？计谀┮阎?，動點滿足，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若點是直線上的動點，過點作曲線的兩條切線，切點為，則直線是否過定點？若經(jīng)過定點，求出定點的坐標；若不經(jīng)過定點，請說明理由.【答案】(1)(2)過定點，定點【分析】（1）點點距離，列等量，化簡即可求解軌跡方程，（2）根據(jù)四點共圓得方程，進而根據(jù)兩圓方程得相交弦方程，進而可求定點.【詳解】（1）設(shè)點，依題意知，整理得，曲線的方程為.（2）設(shè)為坐標原點，由題意可知：四點共圓且在以為直徑的圓上（對角互補的四邊形的四頂點共圓），設(shè)該圓為圓,設(shè)，則圓心，半徑，于是圓的方程為：即，又在圓上，即，（直線是兩圓的公共弦所在直線，故兩圓方程相減便得其方程）.由得所以直線過定點..2．（2023·遼寧大連·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知兩個定點，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線交于不同的兩點，且（為坐標原點），求直線的斜率；(3)若點是直線上的動點，過作曲線的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點.【答案】(1)；(2)；(3)過定點.【分析】（1）利用兩點間距離公式列式化簡作答.（2）求出點到直線距離，再利用點到直線距離公式計算作答.（3）設(shè)出點的坐標，求出直線的方程即可推理作答.【詳解】（1）設(shè)點的坐標為，由，得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）依題意，，且，則點到邊的距離為，于是，解得，所以直線的斜率為.（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上，而是直線上的動點，設(shè)，則圓的圓心為，圓的方程為，即，又因為在曲線上，由，得，因此直線的方程為，即過定點，所以直線是過定點.3．（2023秋·山西太原·高三?？计谀┮阎c，，動點滿足．記點的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別是，．證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）把已知條件用坐標表示，并化簡即得的方程；（2）設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的方程，由在切線上，從而可得直線的方程，由直線方程可得定點坐標．【詳解】（1）設(shè)，則，，，，所以，可以化為，化簡得．所以，的方程為．（2）由題設(shè)可設(shè)，，，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，①因為在上，所以，即，②將②代入①得，所以直線的方程為同理可得直線的方程為．因為在直線上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直接法求動點軌跡方程，考查拋物線中的直線過定點問題，解題方法是設(shè)出切線坐標，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再由在切線上，根據(jù)直線方程的意義得出直線方程，然后得定點坐標．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點為，.（1）證明：直線過定點；（2）若以線段為直徑的圓過坐標原點，求點的坐標和圓的方程.【答案】（1）證明見解析；（2），.【分析】（1），，，，，利用導(dǎo)數(shù)的意義，求解直線的斜率，然后求解直線系方程，推出定點坐標即可．（2）直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，求解，然后求解圓的方程與半徑即可．【詳解】（1）證明：，，，因為，所以，所以，化簡得，同理，故直線的方程為，即，所以過定點.（2）由（1）得直線的方程為，聯(lián)立，所以，，因為若以線段為直徑的圓過坐標原點，所以，即，解得或，當時，的中點坐標為，所以，則圓的方程為，；當時，的中點坐標為，所以，則圓的方程為，.考點三、阿基米德三角形之定值問題1．（2023·河南鄭州·高三?？计谀┤鐖D，已知拋物線：（）上的點到焦點的距離的最小值為1，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，為線段上的動點，過點作拋物線的切線，切點為（異于點，），且直線交線段于點．(1)求拋物線的方程；(2)證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求解；（2）利用判別式求出切線的斜率，求出切點的坐標以及直線的方程，表示出，的坐標，即可證明為定值.【詳解】（1）拋物線：（）的焦點坐標為，因為此拋物線上到焦點距離最近的點就是坐標原點，所以，，所以拋物線方程為；（2）證明：設(shè)直線：，由可得，則，解得，則，解得，不妨令直線：，直線：，則，，設(shè)，，設(shè)直線：，由可得，由，可得或（舍），則，直線：．由解得即，故為定值．1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，拋物線的頂點為原點.(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點為拋物線準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，，其中，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)橢圓的方程為，拋物線的方程為；(2)證明見解析.【分析】（1）利用待定系數(shù)法，由已知列出方程組，解方程組即可求出橢圓和拋物線的方程；（2）假設(shè)過點P與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，由及其根與系數(shù)的關(guān)系即可證明為定值．【詳解】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓的離心率為，，解得，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由題意知過點與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，直線，的斜率分別為，，，為定值．考點四、阿基米德三角形之面積問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點到原點的距離等于直線的斜率.（1）求拋物線C的方程及準線方程；（2）點P是直線l上的動點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，求面積的最小值.【答案】（1）拋物線方程為，其準線方程為；（2）最小值為.【分析】（1）求出直線斜率可得即可寫出拋物線方程及準線方程；（2）利用切線求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求出弦長，再有點到直線的距離即可求出三角形面積，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意，，即，可知拋物線方程為，其準線方程為.（2），則切線：，即；同理：.分別代入點可得，對比可知直線的方程為：.(即切點弦方程)聯(lián)解，可知，點到直線的距離為，因此，，而，故.當且僅當，即時，的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及三角形面積問題，一般可利用直線聯(lián)立拋物線方程求出弦長，再由點到直線距離求出高，即可表示三角面積，屬于中檔題.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點A（0，2），動點M到點A的距離比動點M到直線y＝﹣1的距離大1，動點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）Q為直線y＝﹣1上的動點，過Q作曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值【答案】（1）x2＝8y；（2）4．【分析】（1）確定動點M的軌跡為拋物線，計算得到答案.（2）設(shè)Q（m，﹣1），設(shè)切線的斜率為k，計算得到k1+k2，k1k2，得到，計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)動點M（x，y），動點M到點A的距離與動點M到直線y＝﹣2的距離相等，∴動點M的軌跡為拋物線，且焦點為A，準線為y＝﹣2，∴曲線C的方程為：x2＝8y；（2）設(shè)Q（m，﹣1），設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為：y+1＝k（x﹣m），代入拋物線整理：x2﹣8kx+8km+8＝0，由△＝0得：64k2＝32（km+1），∴km＝2k2﹣1，∴x2﹣8kx+16k2＝0，解得：x＝4k，∴切點坐標為（4k，2k2），由2k2﹣km﹣1＝0，得k1+k2，k1k2，設(shè)直線QD與QE的夾角為θ，則tanθ＝||，則sin2∠QDE＝1﹣cos2∠QDE.令切點（4k，2k2）到Q的距離為d，則d2＝（4k﹣m）2+（2k2+1）2＝16k2﹣8km+m2+（km+2）2＝16k2﹣8km+m2+k2m2+4km+＝（8+m2）（k2+1），∴|QD|，|QE|，∴S（8+m2）??（8+m2）??4，∴當m＝0，即Q（0，﹣1）時，△QDE的面積S取得最小值4．【點睛】本題考查了拋物線方程，面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點是拋物線的準線上的任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，點是的中點.（1）求證：切線和互相垂直；（2）求證：直線與軸平行；（3）求面積的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4.【解析】（1）設(shè)點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程得到韋達定理，得到，即得切線和互相垂直；（2）設(shè)點，得到，即中點的橫坐標為，而點的橫坐標也為，所以直線與軸平行；（3）求出，即得面積的最小值.【詳解】解：（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在.設(shè)點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，聯(lián)立方程，，消去，得，由，得，記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以切線和互相垂直.（2）設(shè)點，由，知，則，所以過點的切線方程為，將點代入，化簡得，同理可得，所以是關(guān)于的方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以，即中點的橫坐標為，而點的橫坐標也為，所以直線與軸平行.（3）點，則，則，由（2）知，，則，，，當時，面積的最小值為4.【點睛】方法點睛：圓錐曲線的最值問題常用的求解方法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式法.要根據(jù)已知條件靈活選擇合適的方法求解.2（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知拋物線上的點R的橫坐標為1，焦點為F，且，過點作拋物線C的兩條切線，切點分別為A、B，D為線段PA上的動點，過D作拋物線的切線，切點為E（異于點A，B），且直線DE交線段PB于點H.(1)求拋物線C的方程；(2)（i）求證：為定值；（ii）設(shè)，的面積分別為，求的最小值.【答案】(1)(2)6【分析】（1）依據(jù)拋物線定義即可求得拋物線C的方程；（2）依據(jù)設(shè)而不求的方法得到的表達式再去證明其為定值；依據(jù)設(shè)而不求的方法得到的表達式再去求其最小值即可.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線則，則，拋物線C的方程為（2）（i）設(shè)直線AP：由，可得則，解得則，解得不妨令直線AP：，直線BP：，則設(shè)，設(shè)直線由，可得由，可得或（舍）則，直線由，可得故，為定值.（ii）由（i）得，，則，故，令則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增則，故的最小值為6.考點五、阿基米德三角形之切線垂直1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物級的焦點到直線的距離為2.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，兩點，分別過，兩點作拋物線的兩條切線，兩切線的交點為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）利用拋物線的定義求出即可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立直線和拋物線的方程，得出韋達定理，設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點坐標為，利用已知條件對函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，寫出切線方程，求出兩切線的交點坐標，利用，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：，則焦點到直線的距離為：，所以拋物線的方程為：；（2）證明：把直線代入消得：，又，利用韋達定理得，由題意設(shè)切線的斜率為，切線的斜率為，點坐標為，由（1）可得：，則，所以，則切線的方程為：，切線的方程為：，則，利用韋達定理化簡整理得：，把代入整理得：，則，，則【點睛】本題主要考查了利用定義求拋物線的方程，直線與拋物線應(yīng)用.做這道題的時候要注意，利用韋達定理，得出兩根的關(guān)系，設(shè)出兩切線的交點，認真計算.屬于中檔題.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.（1）若點坐標為，求切線的方程；（2）若點是拋物線的準線上的任意一點，求證：切線和互相垂直.【答案】（1）和；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)過點的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率，由此可求得切線的方程．（2）設(shè)點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率間的關(guān)系，根據(jù)直線垂直的條件可證得切線和互相垂直.【詳解】解：（1）由題意，開口向上的拋物線的切線斜率存在，設(shè)切線斜率為，點坐標為，過點的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，由，解得，所以切線的方程分別為和，即切線方程分別為和；（2）設(shè)點坐標為，切線斜率為，過點的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，由，得，記關(guān)于的一元二次方程的兩根為，則分別為切線的斜率，由根與系數(shù)的關(guān)系知，所以切線和互相垂直.【點睛】方法點睛：求拋物線的切線方程的方法：方法一：將拋物線轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解切線方程，這在開口朝上的拋物線中經(jīng)常用到。方法二：設(shè)切線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，采用判別式法求解．考點六、阿基米德三角形之角度問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點，直線過點且垂直于橢圓長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線交于點，點的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)若動點在直線上運動，且過點作軌跡的兩條切線、，切點為A、B，試猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.【答案】(1)(2)猜想，證明見解析【分析】（1）由橢圓，可得，的坐標，從而可得動點到定直線與定點的距離相等，由此可得軌跡的方程；（2）猜想，先求切線AP、BP的方程，聯(lián)立可得P的坐標，進一步可得、、的坐標，利用向量的夾角公式，可得，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）解：，，橢圓半焦距長為，，，，動點到定直線與定點的距離相等，動點的軌跡是以定直線為準線，定點為焦點的拋物線，軌跡的方程是；（2）解：猜想證明如下：由（1）可設(shè)，，，則，切線的方程為：同理，切線的方程為：聯(lián)立方程組可解得的坐標為，在拋物線外，，，同理1．（江西·高考真題）設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.（1）求△APB的重心G的軌跡方程.（2）證明∠PFA=∠PFB．【答案】(1)(2)見解析【詳解】本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題．解：（1）設(shè)切點，坐標分別為和，切線的方程為：；切線的方程為：；由于既在又在上，所以解得，所以的重心的坐標為，，所以，由點在直線上運動，從而得到重心的軌跡方程為：，即．（2）方法1：因為，，．由于點在拋物線外，則．，同理有，．方法2：①當時，由于，不妨設(shè)，則，所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：；而直線的方程：，即．所以P點到直線BF的距離為：所以，即得．②當時，直線AF的方程：，即，直線的方程：，即，所以P點到直線AF的距離為：，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由，可得到．考點七、阿基米德三角形之點坐標問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點P到直線的距離比到點的距離大7．(1)求動點P的軌跡方程；(2)記動點P的軌跡為曲線C，點M在直線上運動，過點M作曲線C的兩條切線，切點分別為A，B，點N是平面內(nèi)一定點，線段MA，NA，NB，MB的中點依次為E，F(xiàn)，G，H，若當M點運動時，四邊形EFGH總為矩形，求定點N的坐標．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線定義求出點P的軌跡方程作答.（2）求出四邊形EFGH為矩形的等價條件，再由特殊位置判斷點N的位置，設(shè)出點N的坐標，借助導(dǎo)數(shù)求出切線方程進而建立關(guān)系，然后用向量數(shù)量積的坐標表示計算推理作答.【詳解】（1）因為動點P到直線的距離比到點的距離大7，則動點P到直線的距離等于到點的距離，因此動點P的軌跡是以點為焦點，為準線的拋物線，所以動點P的軌跡方程是．（2）分別為線段的中點，若四邊形EFGH為矩形，則，當點M在處時，兩個切點A，B關(guān)于y軸對稱，要使，則點N必須在y軸上，于是設(shè)，，，，曲線C的方程為，求導(dǎo)得，則切線MA的斜率，直線MA的方程為，又點M在直線MA上，因此，整理得，同理得，則和是一元二次方程的根，有，則，當時，恒成立，即點N的坐標為.【點睛】結(jié)論點睛：拋物線在點處的切線斜率；拋物線在點處的切線斜率.2．（2023春·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）已知平面內(nèi)動點，P到定點的距離與P到定直線的距離之比為，(1)記動點P的軌跡為曲線C，求C的標準方程．(2)已知點是圓上任意一點，過點作做曲線C的兩條切線，切點分別是，求面積的最大值，并確定此時點的坐標.注：橢圓：上任意一點處的切線方程是：.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用直接法列方程，然后化簡可得；（2）根據(jù)題中結(jié)論可得切線方程，由切線過點和切線結(jié)構(gòu)特征可得直線的方程，結(jié)合弦長公式和點到直線的距離公式可得面積，然后換元，利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】（1）設(shè)d是點P到直線的距離，根據(jù)題意，動點P的軌跡就是集合．由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得.（2）設(shè)，則，切線方程：，切線方程：，因為兩直線都經(jīng)過點，所以，得，，從而直線的方程是：，由，得，由韋達定理，得，，點到直線的距離，，其中，令，則，令，則，在上遞增，，即時，的面積取到最大值，此時點.【點睛】難點點睛：本題難點在于根據(jù)切線過點和結(jié)構(gòu)特征求直線的方程，然后利用點到直線的距離公式和弦長公式表示出面積，然后利用換元法和導(dǎo)數(shù)求解即可.1．（2023秋·湖北武漢·高三華中師大一附中?？计谀┮阎獟佄锞€的頂點為坐標原點，焦點在軸的正半軸，點拋物線上，且到拋物線的準線的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)動點在拋物線的準線上，過點作拋物線的兩條切線分別交軸于兩點，當面積為時，求點的坐標.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式與標準方程得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）先由面積得到，再聯(lián)立切線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理得到，從而求得，由此得解.【詳解】（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，則，因為到拋物線準線的距離為，所以，聯(lián)立，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)動點的坐標為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為，令兩個方程中的，則可得，此時，因為，所以，則，設(shè)過點的拋物線的切線方程為，聯(lián)立方程，消去，得，因為直線與拋物線相切，所以，整理得，由題知直線為拋物線的兩條切線，則為方程的兩根，所以，由得，解得，此時，對于，有，滿足題意，所以點的坐標為或.【能力提升】1．（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）拋物線上任意兩點?處的切線交于點，稱為“阿基米德三角形”.當線段經(jīng)過拋物線焦點時，具有以下特征：①點必在拋物線的準線上；②為直角三角形，且；③.若經(jīng)過拋物線焦點的一條弦為，阿基米德三角形為，且點的縱坐標為4，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線焦點，可得：P點必在拋物線的準線上，可求出點P（?1，4），從而得到直線PF的斜率為?2，又，所以直線AB的斜率為，再利用點斜式即可求出直線AB的方程.【詳解】解：由題意可知，拋物線y2＝4x的焦點F的坐標為（1，0），準線方程為：x＝﹣1，由△PAB為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線y2＝4x焦點，可得：P點必在拋物線的準線上，∴點P（﹣1，4），∴直線PF的斜率為：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故選：A.【點睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的性質(zhì)，是中檔題.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點，則下列說法正確的是（

）A．點必在直線上，且以為直徑的圓過點B．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點C．點必在直線上，但以為直徑的圓不過點D．點必在直線上，且以為直徑的圓過點【答案】D【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可證得過拋物線上一點的切線方程為，由此可確定在處的切線方程，進而結(jié)合點坐標得到直線方程，代入可知點必過直線；結(jié)合韋達定理可得，知，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)為拋物線上一點，當時，由得：，在處的切線方程為：，即，；同理可得：當時，在處的切線方程切線方程為；經(jīng)檢驗，當，時，切線方程為，滿足，過拋物線上一點的切線方程為：；設(shè)，則拋物線在處的切線方程為和，，點滿足直線方程：，又直線過焦點，，解得：，點必在直線上；AC錯誤；由題意知：，，，，；設(shè)直線方程為：，由得：，，，即，以為直徑的圓過點；B錯誤，D正確.故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過拋物線焦點作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點，分別過，兩點作拋物線的切線，相交于點，那么阿基米德三角形滿足以下特性：①點必在拋物線的準線上；②為直角三角形，且為直角；③，已知為拋物線的準線上一點，則阿基米德三角形面積的最小值為（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程求得，通過PF⊥AB求得，再過點作軸交于點，進而得到為中點，由表示出三角形PAB的面積，結(jié)合基本不等式求出最小值即可．【詳解】易知，焦點，準線方程，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消整理得，則，，又PF⊥AB，可得，即，化簡得，過點作軸交于點，如圖所示：則，所以為中點，故，故，當且僅當時等號成立，故三角形PAB的面積的最小值為．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：過點作軸交于點，且證明為中點，得到，從而得到阿基米德三角形面積關(guān)于，的表達式，再結(jié)合基本不等式求解．4．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，設(shè)直線為，代入拋物線方程，由韋達定理得，設(shè)過的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式得，則過點A的切線為，同理得過的切線斜率為，過點B的切線為，可得，可證得，則的面積，結(jié)合圖形特征，可得面積的最小值．【詳解】設(shè)且，直線，聯(lián)立，整理得，則．設(shè)過點的切線方程為，聯(lián)立，整理得，由，可得，則過A的切線為：，即，即，即，同理可得過點的切線斜率為，過點B的切線方程為：，聯(lián)立兩切線，則，所以兩條切線的交點在準線上，則，兩式相減得，，可得，，又因為直線的斜率為，（也成立），如圖，設(shè)準線與軸的交點為，的面積，當軸時，最短（最短為），也最短（最短為），此時的面積取最小值．故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)且，，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達定理有，求過的切線，進而確定在準線上且，利用面積公式討論最小值情況.5．（2023·寧夏銀川·六盤山高級中學(xué)校考三模）已知動點到直線的距離比到定點的距離大1.（1）求動點的軌跡的方程.（2）若為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線，，切點為，，為的中點.①求證：軸；②直線是否恒過一定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【分析】（1）由題意知，動點到直線的距離等于到定點的距離，符合拋物線的定義，求軌跡的方程為；（2）①設(shè)動點，，，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的方程分別為：、，從而有，為方程的兩根，證明點的橫坐標與點的橫坐標相等，從而證得軸；②由①中的結(jié)論，把直線的方程寫成含有參數(shù)的形式，即并把方程看成關(guān)于的一次函數(shù)，從而得到定點為．【詳解】（1）由動點到直線的距離比到定點的距離大1得，動點到直線的距離等于到定點的距離，所以點的軌跡為頂點在原點、開口向上的拋物線，其中，軌跡方程為.（2）①設(shè)切點，，，所以切線的斜率為，切線.設(shè)，則有，化簡得.同理可得.所以，為方程的兩根.則有，，所以.因此軸.②因為，所以.又因為，所以直線，即.即直線過定點.【點睛】本題考查拋物線的定義求方程、利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、直線與拋物線相切、直線過定點等知識，考查運算求解和邏輯推理能力．特別是在求證直線過定點進，也可以有另外的思路，即把直線設(shè)成的形式，然后尋找的關(guān)系，再把直線方程轉(zhuǎn)化成只含變量或變量的方程．6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標系中，已知拋物線：，點是拋物線上的一點，點到焦點的距離為2.(1)求拋物線的方程；(2)點為圓：上的任意一點，過點Р作拋物線C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求點О到直線AB距離的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設(shè)出的坐標，求得過兩點的切線方程，從而求得點坐標，根據(jù)在圓上以及點到直線的距離，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得點О到直線AB距離的最大值.【詳解】（1）依題意，點是拋物線上的一點，點到焦點的距離為2，所以，所以拋物線方程為.（2）設(shè)在第一象限（）、在第四象限（），當時，直線的方程為，，①，當，即直線的斜率不存在時①也符合.所以直線的方程為①.拋物線在第一象限部分，，所以過的切線斜率為，所以過點的拋物線的切線方程為，即.拋物線在第四象限部分，，所以過的切線斜率為，所以過點的拋物線的切線方程為，即.由，則，且，，到直線的距離..，，所以，，所以，故的最大值為..7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖已知是直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，與軸分別交于.（1）求證：直線過定點，并求出該定點；（2）設(shè)直線與軸相交于點，記兩點到直線的距離分別為；求當取最大值時的面積.【答案】（1）證明見解析，；（2）4.【解析】（1）設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立得，設(shè)是該方程的兩根，由韋達定理表示及直線方程可得答案.（2）求出，直線方程和，由利用基本不等式得，再由可得答案.【詳解】（1）設(shè)過點與拋物線相切的直線方程為：，由，得，因為相切，所以，即得，設(shè)是該方程的兩根，由韋達定理得：，分別表示切線斜率的倒數(shù)，且每條切線對應(yīng)一個切點，所以切點，所以，所以直線為：，得，直線方程為：，所以過定點.（2）由（1）知，由（1）知點坐標為，，所以直線方程為：，即：，所以，分居直線兩側(cè)可得，所以，∴∴當且僅當?shù)忍柍闪?，又由，令得：?【點睛】本題考查了拋物線中直線過定點和三角形面積的問題，本題的關(guān)鍵點是設(shè)直線方程的形式和求出的最小值，考查了學(xué)生的推理能力、計算能力，具有一定的難度.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動點，過Q作曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．【答案】（1）（2）最小值4【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，由題意得，化簡可得曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)，切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立互為，由于直線與拋物線相切可得，解得，可切點，由，利用韋達定理，得到，得到為直角三角形，得出三角形面積的表達式，即可求解三角形的最小值．試題解析：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得：，化為x2=4y．∴曲線C的軌跡方程為x2=4y且（x≠±4）．（2）聯(lián)立，化為x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直線與拋物線相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切點（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．∴切線QD⊥QE．∴△QDE為直角三角形，|QD|?|QE|．令切點（2k，k2）到Q的距離為d，則d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，當m=0時，即Q（0，﹣1）時，△QDE的面積S取得最小值4．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程的求解．【方法點晴】本題主要考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、切線方程、相互垂直的斜率之間的關(guān)系、兩點間的距離公式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力、推理與運算能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中把切線的方程代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出三角形的面積是解答問題的關(guān)鍵．9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，點是拋物線上的一點，且到拋物線焦點的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點為直線上的動點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得，求出即可求解，（2）設(shè)，設(shè)切線方程為，，將直線與拋物線聯(lián)立，求出切點，利用韋達定理判斷，的面積，利用兩點間的距離公式求出、，代入面積公式即可求解.【詳解】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用．（1）設(shè)拋物線焦點為，由題意可得，故，∴拋物線的方程為．（2）設(shè)，由題可知切線的斜率存在且不為0，故可設(shè)切線方程為，．聯(lián)立，消去得．由直線與拋物線相切可得，∴，即．∴，解得，可得切點坐標為，故可設(shè)，．由，可得，，∴，∴為直角三角形，∴的面積．令切點到點的距離為，則，∴，，∴，當，即點的坐標為時，的面積取得最小值1．【點睛】本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系中的面積問題，此題對計算能力要求比較高，屬于難題.10．（2022春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）已知拋物線上的任意一點到焦