考點(diǎn)48幾何概型（解析版）

【2022版】典型高考數(shù)學(xué)試題解讀與變式

考點(diǎn)46幾何概型

一、知識(shí)儲(chǔ)備匯總與命題規(guī)律展望

1.知識(shí)儲(chǔ)備匯總：

(1)定義：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則

稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)幾何概型.

(2)特點(diǎn)：①無(wú)限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè).

②等可能性：試驗(yàn)結(jié)果在每一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布.

(3).幾何概生的概率么式：P(A)-試驗(yàn)全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度角度

2.命題規(guī)律展望：幾何概型是高考考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，以函數(shù)、不等式、數(shù)列、定積分

等知識(shí)為載體，主要考查利用集合概型知識(shí)求幾何概型的概率，題型為選擇題.、填空題，

分值為5分，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

二、題型與相關(guān)高考題解讀

1.與長(zhǎng)度角度有關(guān)的幾何概型

1.1考題展示與解讀

例1.(1)［2021年高考全國(guó)乙卷文7】在區(qū)間(()，；)隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于:

的概率為()

3211

A.-B.-C.—D.一

4336

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式即可求出.

【解析】設(shè)。="區(qū)間(0,(隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”=jx|0<x<M,4="取到的數(shù)小于

/(A)3-02

；"=卜??.P(A)=

=777^=7-=；，故選B.

，(。)1-03

2

【名師點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于!”對(duì)應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何

3

概型的概率公式即可準(zhǔn)確求出.

(2)【2017年高考江蘇卷7】記函數(shù)/(x)=56+x—f的一定義域?yàn)镼.在區(qū)間［Y,5］上

隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則的概率是▲

【答案】-

9

【解析】由6+兀-/20,即/一工一6<0,得—2KxW3,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)

【解題能力要求】應(yīng)用意識(shí)，運(yùn)算求解能力

【方法技巧歸納】求與長(zhǎng)度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何

模型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（角度）.然后求解，要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)

鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域（長(zhǎng)度、角度）.

1.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】若正方形ABCD邊長(zhǎng)為4,E為四邊上任意一點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)度

大于5的概率等于（）

7

8

【答案】D

【解析】設(shè)M,N分別為BC或C￡>靠近點(diǎn)。的四等分點(diǎn)，則當(dāng)E在線段CM,CN上

時(shí)，AE的長(zhǎng)度大于5,E所能取到點(diǎn)的長(zhǎng)度為2,?.?正方形的周長(zhǎng)為16,r.AE的

21

長(zhǎng)度大于5,的概率等于一=已，故選D.

168

【變式2：改編結(jié)論】在區(qū)間[1,5]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)加，則方程機(jī)2f+4y2=l表示焦

點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是（）

31-13

A.-B.-C.-D.一

5544

【答案】D

【解析】若方程根2丁+4丁=1表示焦點(diǎn)在3；軸上的橢圓，則/?2>4,解得加>2,

2<w<5，故方程“/+4丁=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的概率是p=土土=3,故

5-14

選D.

【變式3：改編問(wèn)法】已知。=｛（x,y）|1ymx+m和曲線y=J]--有

兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的封閉平面區(qū)域?yàn)镸,向區(qū)域。上隨機(jī)投一點(diǎn)4點(diǎn)4落在區(qū),域M內(nèi)

的概率為P,若Peg-則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）學(xué)+科網(wǎng)

A.[0,3]B.[0,1]C.[0,2]D.[0,4]

【答案】B

【解析】首先根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，如圖所示，。=f(xy)||I12]表示的平面區(qū)域?yàn)閤軸上方的-

個(gè)半圓，其面積為基由Pe[?31]=[愛(ài)斗可得,勺。由于直線丫=皿+小過(guò)一個(gè)特涮

(10),此點(diǎn)也在曲線y=ViK上，由上圖可知，當(dāng)另一個(gè)交點(diǎn)為(0,1)時(shí)，此時(shí)區(qū)域M的面積?

"一：xlxl=早，此時(shí)m=鼎j=L當(dāng)另一個(gè)交點(diǎn)為3,0)時(shí)，此時(shí)區(qū)域M的面積即為半圓的面木

2.與面積有關(guān)的幾何概型

2.1考題展示與.解讀

例2.(1)[2021高考全國(guó)乙卷理8】在區(qū)間(0,1)和(1,2)中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩

7

數(shù)之和大于一的概率為()

4

72392

A.-B.—C.—D.一

932329

【答案】B

【分析】設(shè)從區(qū)間(0,1),(1,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)

域?yàn)椤?{(x,y)|0<x<l,l<y<2},設(shè)事件A表示兩數(shù)之和大于,則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

A={(x,y)10cx<1,1<乂2,x+y)1},分別求出Q,A對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型

的的概率公式即可解出.

【解析】如圖所示，設(shè)從區(qū)間(0,1),(1,2)中隨機(jī)取出的數(shù)分別為x,y,則實(shí)驗(yàn)的所有

結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椤?={(%丁)|0<%<1,1<丁<2},其面積為SQ=1X1=1.設(shè)事件A表示

兩數(shù)之和大于(，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?={(%刈0<》<1/<乂2,%+y)(},即圖中的陰影

i33?3S23

部分，其面積為S.=l—7*二*9=工，.?.尸（A）=f=w，故選B.

24432%”

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出

（2）【2018高考全國(guó)I理10】下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此

圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形A5C的斜邊BC,直角邊

AB,AC.Z\A3c的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為H,其余部分記為HI,在整

個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,II,III的概率分別記為Pl，P2，Pj，則（）

A?P|="2B.P|=小C?〃2=〃3

D.P|=P2+P3

【考點(diǎn)】本題考查了幾何概型的概率問(wèn)題、數(shù)學(xué)文化.

【答案】A

【解析】試題分析：首先設(shè)出直角三角形三條邊的長(zhǎng)度，根據(jù)其為直角三角形，從而得

到三邊的關(guān)系，之后應(yīng)用相應(yīng)的面積公式求得各個(gè)區(qū)域的面積，根據(jù)其數(shù)值大小，確定其關(guān)

系，再利用面積型幾何概型的概率公式確定小，區(qū)，。3的關(guān)系，從而求得結(jié)果.

試題解析：設(shè)BC=a,C4=b,AB=c，則有從+/=/,從而可以求得△?記。的面積

為5,=^-bc,黑色部分的面積為

2

0rib+c2

s,二兀?一+兀?一-兀?———=71~0+-bc=-hc=St,

⑴⑶[{2）24221

其余部分的面積為y=兀（]j一3加=苧-gbc,E=S2，根據(jù)面積型幾何概型的概率

公式，可以得到n=%，故選A.

【解題能力要求】數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算求解能力

【方法技巧歸納】求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要

時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以

便求解.

2.2【典型考題變式】

【變式1：改編條件】如圖是一邊長(zhǎng)為8的正方形苗圃圖案，中間黑色大圓與正方形的

內(nèi)切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍.若在

正方形圖案上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自白色區(qū)域的概率為（）

【答案】D

【解析】由題意得正方形的內(nèi)切圓的半徑為4,中間黑色大圓的半徑為2,黑色小圓的

半徑為1,所以白色區(qū)域的面積為"X42-萬(wàn)X22-4X%X12=8?,由幾何概型概率公式可

得所求概率為駕=工，選D.

828

【變式2：改編結(jié)論】如圖，在菱形ABC0中，AB=3,N840=6O。，以4個(gè)頂

點(diǎn)為圓心的扇形的半徑為1,若在該菱形中任意選取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在陰影部分的概率為幾，

則腳周率"的近似值為（）

A.7.74.0B.7.76poC.7.79%D.7.8lp0

【答案】C

【解析】因?yàn)榱庑蔚膬?nèi)角和為360。，所以陰影部分的面積為半徑為1的圓的面積，故由幾何概型可為

P°=，解得）=華「0=4.5'1.732%=7.79力0.選C。學(xué)￥科網(wǎng)

蟲(chóng)x3〃22

4

.【變式3：改編問(wèn)法】2017年8月1日是中國(guó)人民解放軍建軍90周年，中國(guó)人民銀行

為此發(fā)行了以此為主題的金銀紀(jì)念幣.如圖所示是一枚8克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑22〃?加，

面額1（）0元.為了測(cè)算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)用1粒芝麻向硬幣內(nèi)投擲100次，其中恰有

30次落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計(jì)軍旗的面積大約是（）

【答案】B

【解析】由已知圓形金質(zhì)紀(jì)念幣的直徑為22〃〃〃，得半徑三11〃加，則圓形金質(zhì)紀(jì)念幣

的面積為獷...估計(jì)軍旗的面積大約是12sx或=史里根他2,故選B.

10010

3.與體積有關(guān)的幾何概型

3.L考題展示與解讀

例3.在棱長(zhǎng)為。的正方體中隨機(jī)地取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與正方體各表面的距離都大于3

3

的概率為（）

11cl1

A?—B.—C?—D?一

271693

【命題意圖探究】本題主要考查正方體的體積與球體體積的計(jì)算及幾何概型，是基礎(chǔ)題.

【答案】A

【解析】符合條件的點(diǎn)尸落在棱長(zhǎng)為q的正方體內(nèi)，根據(jù)兒何概型的概率計(jì)算公式得

3

故選A.

【解題能力要求】空間想象能力，運(yùn)算求解能力

【方法技巧歸納】求解與體積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的幾何體的體

積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造三個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的空間

幾何體，以便求解.

3.2【典型考題變式】

【變式I：改編條件】一個(gè)球形容器的半徑為3cm,里面裝滿(mǎn)純凈水，因不小心混入了

1個(gè)感冒病毒，從中任取1mL水含有感冒病毒的概率為（）

1114

A.-B.—C.---D.—

3。34367r94

【答案】C

4

【解析】由題，意，球的體積為一萬(wàn)x3?=36萬(wàn)5？=36萬(wàn)加，由幾何概型公式可得從中

3

任取1〃山水（體積為lew?）,含有感冒病毒的概率為」_：故選c.

364

【變式2：改編結(jié)論】在球。內(nèi)任取一點(diǎn)P,則P點(diǎn)在球O的內(nèi)接正四面體中的概率是（）

12TI12JI9兀6兀

【答案】C

【解析】設(shè)球的半徑為R,則球。的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線為紫，設(shè)內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a正四邊形體I

角線長(zhǎng)為伍，可知正方體的體對(duì)角線為2,

則正方體的邊長(zhǎng)為蘇，又球。的內(nèi)接正四面體可看成球。的內(nèi)接正方體中

四條面對(duì)角線構(gòu)成的正四面體，，球。的內(nèi)接正四面體的體積是正方體體積的也即為：結(jié)合球白

體積公式：在球。內(nèi)任取一點(diǎn)P使得P點(diǎn)在球。的內(nèi)接正四面體中的概率是p=^=管，故選C.

【變式3：改編問(wèn)法】已知正方體ABCD-A山iGOi的棱長(zhǎng)為1,在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)

M,則四棱錐M-ABCD的體積小于-的概率為.

6

【答案】-

2

【解析】???正方體ABCD-44G。的棱長(zhǎng)為1，正方體體積V=lxlxl=l,當(dāng)四棱

錐M—ABCD的體積小于L時(shí)，設(shè)它的高為力，則解之得力＜1，則點(diǎn)M在

6362

到平面A5CD的距離等于'的截面以下時(shí)，四棱錐"一ABCD的體積小于工，求得使得

26

四棱錐M-ABCD的體枳小于-的長(zhǎng)方體的體積V'=Ixlx，=',.?.四棱錐M-ABCD

622

的體積小于士1的概率尸=V二'=上1，故答案為1七.

6V22

DiCi

4.幾何概型與其他知識(shí)的交匯

4.1考題展示與解讀

4.1.1幾何概型與數(shù)學(xué)文化交匯題

例4.12017課標(biāo)1文4理2］如圖，正方形ABCQ內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正

方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一

點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

【答案】B

【解析】不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為。，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，太極圖中黑白部分面積相等,

1x;rx（a）2

即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為2————=工，選

a28

B.

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于一個(gè)具體問(wèn)題能否用幾何概型的概率公式計(jì)算事件的概率，關(guān)鍵在于

能否將問(wèn)題幾何化，也可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況，選取合適的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在

此基礎(chǔ)上，將實(shí)驗(yàn)的每一結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個(gè)可度量

的區(qū)域：另外，從幾何概型的定義可知，在幾何概型中，“等可能”一詞理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)的可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與該區(qū)域的位置、

形狀無(wú)關(guān).

4.1.2幾何概型與解析幾何交匯題

例5.［2016高考山東理數(shù)】在［-1,1］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線尸kx與圓

U-5）2+/=9相交”發(fā)生的概率為-

【命題意圖探究】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、幾何概型，是中檔題.

3

【答案】-

4

【解析】直線片匕與圓（x-5『+丁=9相交，需要滿(mǎn)足圓心到直線的距離小于半徑，即d=J±L<3,

Vl+k*

3

-

23

33-=-

解得一<k<7,而左所以所求概率24

44

【解題能力要求】化歸與轉(zhuǎn)換思想、運(yùn)算求解能力

【方法技巧歸納】與其他知識(shí)交匯的幾何概型問(wèn)題，先用相關(guān)知識(shí)計(jì)算出滿(mǎn)足條件的長(zhǎng)

度或面積或體積，再利用幾何概型公式計(jì)算其概率.

4.2【典型考題變式】

【.變式1：改編條件】已知x,y是［0,1］上的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則P（x,y）到點(diǎn)（1,0）的

距離大于其到直線x=-l的距離的概率為（）

11113

A.—B.—C.-D.一

121244

【答案】A

【解析】x，y是［0,1］上的兩個(gè)隨機(jī)數(shù)，則可由平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)

（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）所確定的正方形表示所有滿(mǎn)足題意的點(diǎn)組成概率空間，

考查如下軌跡方程問(wèn)題：P（x,y）到點(diǎn)（1,0）的距離等于其到直線x=-1的距離，

由拋物線的定義可得，軌跡方程為V=4x,則滿(mǎn)足題意的點(diǎn)位于如圖所示的陰影區(qū)域,

對(duì)y求解定積分可得其面積為：辦=（*寸）心=*,據(jù)此可得，滿(mǎn)足題意的

1

【變式2：改編結(jié)論】已知P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PB+PC+4PA=Q,現(xiàn)在

AA8C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在APBC內(nèi)的概率是.

2

【答案】-

3

【解析】如圖：，可得力=—4麗=2河n聞=—2而，所以點(diǎn)P到5c的距離

222

是點(diǎn)A到8C的距離的§，/.SaBc=§5兇雨=>尸=§?

【變式3：改編問(wèn)法】設(shè)4是由x軸，直線x=a（?！础Ｈ是诤颓€丫二爐圍成的曲邊三角

形區(qū)域，集合。={（x,y）|owx?i,owywi},若向區(qū)域。上隨機(jī)投一點(diǎn)P,點(diǎn)P落在區(qū)域4內(nèi)

的概率為之，則實(shí)數(shù)。的值是（）

64

11

A.——D.-

162

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，區(qū)域C即邊長(zhǎng)為1的正方形的面積為1x1=1,區(qū)域A即曲邊三角

I1

x3dx=-x4|?=^4,若向區(qū)域。上隨機(jī)投一點(diǎn)P,點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率

J0

14d1

是二，則有t=2_,解可得，。=三，故選D.

641642

【變式4：改編條件和結(jié)論】【2015年高考福建理13］如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),

點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)/(x)=d,若在矩形ABC。內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰

影部分的概率等于.

【答案】—【解析】由已知得陰影部分面積為4一『V公=4—1=2.所以此點(diǎn)取自

12Ji33

5

陰影部分的概率等于3=9.

412

【名師點(diǎn)睛】本題考查兒何概型，當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果由等可能的無(wú)限多個(gè)結(jié)果組成時(shí)，利用占

典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度的比值(一個(gè)變量)、面積的比

值(兩個(gè)變量)、體積的比值(三個(gè)變量或根據(jù)實(shí)際意義)來(lái)求，屬于中檔題.

三、課本試題探源

必修3P142頁(yè)習(xí)題3.3B第1題：甲、乙兩艘輪船都要在某一泊位?？?小時(shí)，假

定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)的到達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待

的概率.

【解析】設(shè)甲'乙兩艘輪船達(dá)到泊位時(shí)間分別為xj,(x,y)可以看成平面中點(diǎn)，實(shí)臉的全部結(jié)果構(gòu)成的B

0<x<24

域?yàn)镼={(x,y)|J一一是一個(gè)如圖所示的正方形區(qū)域，其面積為Sa=24x24=576,事件A表,

0<j<24

兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必須等待，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?/p>

J={(xsy)|0<x<24:0<y<24.|x-y|<6}，即圖中陰影部分所示,面積為￡=24x24-2x；xl8x：U

=252,所以尸(4)=言2?2=二7.

四、【典例試題演練】

一、單選題

1.（2022四川?雙流中學(xué)高三期末（理））在區(qū)間（0』）上任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)之和小

于1的概率是（）

A.丑B.竺C.3D.口

25252525

【答案】D

【分析】

根據(jù)幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【解析】

設(shè)x,y?0,l）,x+y<g，如下圖所示：

在方程x+y-4=0中，當(dāng)x=l時(shí)，y=-,當(dāng)y=l時(shí)，x=',

所以?xún)蓚€(gè)數(shù)之和小于?的概率是："1一；'0一："0一》17.

5--------------------------------二—

1x125

故選D.

2.（2022全國(guó)?高三月考（文））在區(qū)間［0,1］和［0,3］分別取一個(gè)數(shù)x,九則x+y<2的

概率為（）

A.-B.-C.；D

432

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，作出圖象，根據(jù)幾何概型概率公式，計(jì)算即可得答案.

【解析】

（l+2）xl

根據(jù)圖象可知x+y<2的概率—「1,

r=-------------=一

1x32

故選C.

3.（2022全國(guó)?高三月考（理））一個(gè)矩形，如果從中截去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩

形的寬與長(zhǎng)之比，與原矩形的一樣（即剩下的矩形與原矩形相似），其相似比為

避二1九0.618,稱(chēng)為黃金比，稱(chēng)該矩形為黃金矩形.黃金矩形可以用上述方法無(wú)限地分割

2

下去.已知ABC。是黃金矩形，按上述方法分割若干次以后，得如圖所示圖形.若在

內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影內(nèi)部的概率為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)大矩形與小矩形的相似比，求得其面積比，結(jié)合面積比的幾何概型，即可

求解.

【解析】由截去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩形的寬與長(zhǎng)之比與原矩形的一樣，相似比

為或二1,可得兩個(gè)矩形的面積為（避二1）2,根據(jù)給定的圖形，可得大矩形4BCD的面積與

22

小矩形面積比為［（與^力4=（與，

結(jié)合面積比的幾何概型，可得該點(diǎn)取自陰影內(nèi)部的概率為（與

故選D.

4.（2022廣西南寧?高三月考（文））若1路、2路公交車(chē)的站點(diǎn)均包括泉港一中，且1

路公交車(chē)每10分鐘一趟，2路公交車(chē)每20分鐘一趟，則某學(xué)生去坐這2趟公交車(chē)回家，等

車(chē)不超過(guò)5分鐘的概率是（）

A.1B.3

D

85-i

【答案】C

【分析】

畫(huà)出圖形，結(jié)合幾何概型公式求解.

【解析】

設(shè)1路公交車(chē)到達(dá)時(shí)間為X,2路公交車(chē)到達(dá)時(shí)間為y,（X,y）看作平面內(nèi)的點(diǎn)，則可設(shè)

A={（x^）|0<x<10,0<y<20},如圖所示，整個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域面積為S=200,等車(chē)時(shí)間不超

過(guò)5分鐘的部分應(yīng)為陰影部分區(qū)域面積S,=200-75=125,故所求概率為P=冬=。.

3o

5.（2022甘肅?張掖市第二中學(xué)高三月考（理））在區(qū)間（0,2）與（2,4）中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù),

7

則這兩個(gè)數(shù)之和大于5的概率為（）

【答案】B

【分析】

/、/、（0<x<2

設(shè)區(qū)間（0,2）與（2,4）中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)分別為x,y,則滿(mǎn)足”4,根據(jù)題意，得

0cx<2

到不等式?2<）Y4,畫(huà)出所表示的可行域，求得其陰影部分的面積，結(jié)合面積比的幾何概

卜+）,>57

型，即可求解.

【解析】

設(shè)區(qū)間（0,2）與（2,4）中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)分別為x,y,則滿(mǎn)足

則試驗(yàn)所有的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（x,y）l（）<x<2,2<y<4},其面積為S=2x2=4,

0<x<2

又由，2<y<4則約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)殛幱安糠?

7

其面積為5尸4心1除3.3三23，

7v

所以這兩個(gè)數(shù)之和大于5的概率為品.

故選B.

6.（2022廣西桂林?高三月考（理））如圖，矩形的長(zhǎng)為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機(jī)撒300

顆黃豆，落在橢圓外的綠豆數(shù)為96,以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為（）

A.16.32B.15.32C.8.68D.7.68

【答案】A

【分析】

欲估計(jì)出橢圓的面積，可利用概率模擬，只要利用平面圖形的面積比求出落在橢圓外的

概率即可.

【解析】

矩形面積-橢圓面積24-S

解：【設(shè)橢圓的面枳為S,則黃豆落在橢圓外的概率為:

矩形面積6x4

即：券二等

解得：5=16.32.

故選A.

7.（2022安徽?合肥市第九中學(xué)高三月考（理））七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一,

被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組

成的，如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分

的概率為（）

【答案】B

【分析】

設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2,求出白色部分的面積，利用幾何概型能求出在此正方形中任取

一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率.

【解析】

解：如圖，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為2,

則GF=1,EF到的距離d,

,白色部分的面積為：

S,.=22-ix2xl-lxl=-,

目222

???在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自白色部分的概率為:

5

P=4L=2="故選8.

S228

8.（2022四川省德陽(yáng)中學(xué)校高三月考（理））如圖，在矩形ABCD中，AB=2白，BC=2,

在矩形4BCD中隨機(jī)取一點(diǎn)M,則點(diǎn)M與A,8的距離都不小于2的概率為（）

D.厚

412

【答案】A

【分析】

利用幾何概型的求法即得.

【解析】

如圖設(shè)圓弧交點(diǎn)為E,過(guò)￡作于F,

在△AM中，AE=BE=2,AB=25可求得NEA/74，則

6

S陰影=gx2>/5x]_2'?%_gx2x^^）=3有.

所以點(diǎn)拉與A,8的距離都不小于2的概率為3“J3-3-_3&r,故選A.

2x27349

9.（2022河南?高三月考（文））已知某公交車(chē)早晨5點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)營(yíng)，每15分鐘發(fā)一班車(chē)，

小張去首發(fā)站坐車(chē)，等車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

3523

【答案】D

【分析】由幾何概型公式計(jì)算可得答案.

【解析】由幾何概型概率求法知所求概率p=^=g.故選D.

10.（2022河南?高三月考（文））如圖，若在正六邊形A8C￡）￡F內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰

好取自圖中陰影部分的概率是（）

ED

【答案】B

【分析】設(shè)4=8/=1,在中，利用余弦定理可求得A8,進(jìn)而可求得六邊形

A8CDEF和〃也的面積，由幾何概型概率公式可求得結(jié)果.

【解析】記陰影部分為六邊形“KLMN,則六邊形〃KLMN為正六邊形，

設(shè)4=B/=1,ZA/B=120°.

在△M/中，由余弦定理得：/lB2=A/2+B/2-2A/B/cosl20°=l+l-2xf-lj=3,

AB=下）,二S六邊彩ABCDEF=6x-XA/3X^X^-=—>S六邊形〃K（MN=6X^X1-=—y-）

3x/3

故所求概率P=：六邊物MMN=+=]故選B.

3六邊形ABCDEF9,33

F

11.（2022河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中（文））已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足f+VvL，則yNx的

概率為（）

A.；B.-C.-D.—

27tn2萬(wàn)

【答案】A

【分析】作出f+V=i,y=x的圖象，由圖象結(jié)合幾何概型求解.

【解析】

作出》2+丁=1,y=X的圖象，如圖，

由圖象可知yzx的概率「=；,故選A.

12.（2022云南?昆明一中高三月考（理））如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)任

【答案】B

【分析】利用定積分的幾何意義求陰影部分的面積，再根據(jù)幾何概型的面積比求概率即

【解析】陰影面積S1=i（X-d）公=（與2-卜3%=!，正方形面積S=l,...所求的概

023,6

率0=色=:，故選B.

56

13.（2022山西長(zhǎng)治.高三月考（理））往正方體的外接球內(nèi)隨機(jī)放入”個(gè)點(diǎn)，恰有小個(gè)

點(diǎn)落入該正方體內(nèi)，則為的近似值為（）

2nm2下＞m「2小D.2島

3〃

【答案】D

【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，外接球的半徑為R,易知R=立“，然后由恰有〃，個(gè)

點(diǎn)落入該正方體內(nèi)概率為求解.

【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為明則正方體的體積為標(biāo),正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為

y/a2+O2+a2=^3a?

設(shè)外接球的半徑為R,所以27?=也〃，貝11/?=立“，所以外接球的體積為

2

所以恰有，〃個(gè)點(diǎn)落入該正方體內(nèi)概率為P=H=藐，解得》=久加，故選D.

—7ra3m

2

14.（2022黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（文））往正方形內(nèi)隨機(jī)放入〃個(gè)點(diǎn),

恰有機(jī)個(gè)點(diǎn)落入正方形的內(nèi)切圓內(nèi)，則兀的近似值為（）

【答案】A

【分析】令正方形邊長(zhǎng)為2,利用幾何概型中的面積型列式即可得解.

【解析】令正方形邊長(zhǎng)為2,其內(nèi)切圓半徑為I,則正方形面積S=2?=4,圓面積為

S'=7T=71、

由幾何概型的面積型得：生=1=￡，解得乃=網(wǎng)，所以乃的近似值為也.故選A.

15.（2022河南?高三開(kāi)學(xué)考試（理））2021年中國(guó)人民銀行計(jì)劃發(fā)行個(gè)貴金屬紀(jì)念幣品

種，以滿(mǎn)足廣大收藏愛(ài)好者的需要，其中牛年生肖幣是收藏者的首選.為了測(cè)算如圖所示的

直徑為4的圓形生肖幣中牛形圖案的面積,進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)，即向該圓形生肖幣內(nèi)隨機(jī)投擲100

個(gè)點(diǎn)，若恰有75個(gè)點(diǎn)落在牛形圖案上，據(jù)此可估算牛形圖案的面積是（）

A.B.3冗C.64D.12乃

2

【答案】B

【分析】求出點(diǎn)落在牛形圖案上的頻率，從而可得點(diǎn)落在牛形圖案上的概率，再由概率

等于面積比可求得答案.

V75

【解析】設(shè)牛形圖案的面積為S,則由題意可得f=解得S=3萬(wàn)，故選B.

7T-22100

16.（2022貴州省思南中學(xué)高三月考（理））在區(qū)間［-兀，句內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為。，

b,則使得函數(shù)/。）=；1+如2_（/一兀）x有極值點(diǎn)的概率為（）

A.-B.-C.~D.一

8424

【答案】B

【分析】對(duì)于函數(shù)/*）求導(dǎo)得/（X）,根據(jù)給定條件可得/。）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，進(jìn)

而得出“，〃的關(guān)系，再利用幾何意義并借助幾何概型求解即得.

【解析】由/（x）=gx3+ar2-（〃-71）X求導(dǎo)得：f'（x）=x2+2ax-（h2-it）,因函數(shù)f（x）有

極值點(diǎn)，

于是得方程f\x）=0有兩個(gè)不等實(shí)根，即△=44+4（〃滿(mǎn)足

"+從>%的點(diǎn)（。1）表示以原點(diǎn)為圓心，正為半徑的圓外,而。€［-兀,兀］,6€［-兀,兀］,則點(diǎn)

（。，6）表示以原點(diǎn)為中心，各邊垂直于坐標(biāo)軸，邊長(zhǎng)為2乃的正方形及內(nèi)部，如圖，

*

”,匕為區(qū)間卜兀，司內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)的試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域是邊長(zhǎng)為2萬(wàn)的正方形，

面枳為S=（27）2=4/,函數(shù)/（力=；*3+62_（/_?？谟袠O值點(diǎn)的事件為4,事件4所對(duì)

區(qū)域是圖中陰影區(qū)域，麗—S3于是得P⑷4=若T

14

所以函數(shù)/（X）=^x3+ax2-（b2-n）x有極值點(diǎn)的概率為:.故選B.

17.（2022河南?高三月考（理））在區(qū)間［1,5］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)f,則，也>4的概率為

1I33

-C

A.4-B.25-D.4-

【答案】D

【分析】首先求出滿(mǎn)足條件>4的r的取值范圍，然后根據(jù)幾何概型的概率公式求

解.

2

【解析［］tdx=tx^=2t,令2f>4,得/>2,故所求的概率為尸=痣=］.故選D.

18.（2022四川?成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三月考（文））已知點(diǎn)A（0,2）,B（2,0）,C是圓

。-2尸+”-1尸=1上異于8的一點(diǎn)，若A,B,C三點(diǎn)共線，則在線段A3上任取一點(diǎn)，該

點(diǎn)在線段8c上的概率為（）

A.-B.-C"D.-

4323

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求得線段AB的長(zhǎng)度，再結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式求得BC的長(zhǎng)度，利用長(zhǎng)

度比的幾何概型，即可求解.

【解析】如圖所示，由4（0,2）,8（2,0）,可得|4川=萬(wàn)兩=2&,

且直線AB的方程為尤+尸2=0,

又由圓（x-2）2+（y-l）Jl,可得圓心加（2,1）,半徑r=l

則圓心（2,1）到直線x+y-2=0的距離為一」2（2|=等,可得

忸=2y1r2—d~=V2,

所以在線段AB上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)在線段8c上的概率為P='=1.故選C.

2V22

19.（2022河南?高三月考（文））在區(qū)間［-2,3］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)1,使-產(chǎn)+r+2>0的概

率為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】先算出總的區(qū)間長(zhǎng)度，再解出不等式，進(jìn)而得到所求的區(qū)間長(zhǎng)度，結(jié)合幾何概

型計(jì)算即可.

【解析】由-*+，+2>0,得/_，_2<0,解得—l<r<2,所以所求的概率為

尸2-=（-&1）下3故選U

20.（2022陜西?武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知直線/：x+y-1=0將圓

（7:爐+/一2犬-4》+1=0分為〃，N兩部分，且“部分的面積小于N部分的面積，若在

圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在M部分的概率為（）

A,.1-Bc.-1------1-C.-Dc.-3------1-

4424442乃

【答案】B

【分析】由直線與圓相交（由幾何法求得弦長(zhǎng)，得小弧所對(duì)圓心角），求得M,N中較小

部分的面積，然后由概率公式計(jì)算.

【解析】設(shè)直線/與圓C交于A,8兩點(diǎn)，由圓C:（x-iy+（y-2f=4可知，圓心C的

坐標(biāo)為（1,2）,半徑為廠=2.圓面積為S=4乃.

因?yàn)閳A心C到直線/：x+y-l=o的距離為1=咯刃=應(yīng)，

V2

所以|AB|=2廬二=2五，又|C4|=|CB|=2,

萬(wàn)1TT

所以NAC8=W，