北京桃洼中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析

北京桃洼中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義在上的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的恒有成立；（2）當(dāng)時(shí)，．記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

參考答案：D2.已知平面向量，且，則(A)

(B)

(C) (D)參考答案：答案：C3.已知非零實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式成立的是(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.參考答案：D略4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

（

）

A．向左平移個(gè)單位

B．向右平移個(gè)單位

C．向右平移個(gè)單位

D．向左平移個(gè)單位參考答案：D略5.“cos2α=﹣”是“cosα=”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：D略6.已知球的表面積為，球心在大小為的二面角的內(nèi)部，且平面與球相切與點(diǎn)，平面截球所得的小圓的半徑為，若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，記兩點(diǎn)在該球面上的球面距離為，則下列結(jié)論正確的是（A）當(dāng)取得最小值時(shí)，與所成角為（B）當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（C）的最大值為（D）的最大值為參考答案：D球半徑,小圓的半徑為，,,當(dāng)取得最小值時(shí),,與所成角為,故A錯(cuò)；點(diǎn)到平面的距離為2，故B錯(cuò)當(dāng)取得最大值時(shí),,的最大值為,故選D.7.若的（

）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件參考答案：B略8.等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和為（

）A．81

B.120

C．168

D．192參考答案：B9.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞a＞c參考答案：D【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【分析】a=log54∈（0，1），b=＞1，c==＜log53＜log54，即可得出．【解答】解：∵a=log54∈（0，1），b=＞1，c==＜log53＜log54，∴b＞a＞c．故選：D．10.過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（

）A．B．C．D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是曲線上一點(diǎn)，若，的最小內(nèi)角為，則曲線的離心率為

．參考答案：12.圓（θ為參數(shù)）上的點(diǎn)P到直線（t為參數(shù)）的距離最小值是______．參考答案：【分析】化成直角坐標(biāo)方程后用點(diǎn)到直線的距離，再減去半徑．【詳解】由得x2+（y-1）2=1，由，得x-2y-3=0，圓心（0，1）到直線x-2y-3=0的距離，所以所求距離的最小值為．故答案為：．13.在的展開式中，的系數(shù)是

（用數(shù)字作答）．參考答案：14.

有以下幾個(gè)命題：①由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；②若，則使取得最大值和最小值的最優(yōu)解都有無數(shù)多個(gè)；③若為一平面內(nèi)兩非零向量，則是的充要條件；④過空間上任意一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與兩條異面直線都平行。⑤若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是該橢圓上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的外角平分線的對(duì)稱點(diǎn)的軌跡是圓。其中真命題的序號(hào)為

.（寫出所有真命題的序號(hào)）

參考答案：答案：②③⑤15.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則的值為

。參考答案：16.關(guān)于函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列說法中正確的是①y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱；②y=f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱③y=f（x）的最大值是；

④f（x）即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)．參考答案：①②④【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)中心對(duì)稱的定義，驗(yàn)證f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判斷其正誤；②根據(jù)軸對(duì)稱的條件，驗(yàn)證f（π﹣x）=f（x）成立與否即可判斷其正誤；③可將函數(shù)解析式換為f（x）=2sinx﹣2sin3x，再換元為y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最值即可判斷正誤；④利用奇函數(shù)的定義與周期函數(shù)的定義直接證明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的圖象關(guān)于（π，0）中心對(duì)稱，∴①正確；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱，故②正確；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，則y=g（t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，則y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上遞增，在[﹣1，]和[]上遞減，又g（﹣1）=0，g（）=，故函數(shù)的最大值為，∴③錯(cuò)誤；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函數(shù)，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函數(shù)的周期，∴函數(shù)即是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，∴④正確．綜上知，說法中正確的是①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)的判斷，要求熟練掌握中心對(duì)稱，軸對(duì)稱性成立的條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，函數(shù)奇偶性與周期性的判定，涉及到的知識(shí)較多，綜合性強(qiáng)．17.已知函數(shù)若有則的取值范圍為____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(10分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos＝.(Ⅰ)求cosB的值；（II）若·＝2，b＝2，求a和c的值．參考答案：解：(1)∵cos＝，∴sin＝sin(－)＝，

2分∴cosB＝1－2sin2＝..........................................5分(2)由·＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，........6分由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，............................8分∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝.

10分19.如圖所示，已知圓O1與圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作圓O1的切線交圓O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交圓O1、圓O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P．（1）求證：AD∥EC；（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的長(zhǎng)．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；推理和證明．分析：（1）連接AB，根據(jù)弦切角等于所夾弧所對(duì)的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩直線平行即可；（2）設(shè)BP=x，PE=y，根據(jù)相交弦定理得PA?PC=BP?PE，求出xy=12，再根據(jù)AD∥EC得=，求出x，y，即可求出PE的長(zhǎng)．解答： （1）證明：連接AB，∵AC是⊙O1的切線，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（2）解：設(shè)BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12①，∵AD∥EC，∴，∴=②，由①②可得x=3，y=4（負(fù)數(shù)舍去）．點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合題，要求學(xué)生靈活運(yùn)用直線與圓相切和相交時(shí)的性質(zhì)解決實(shí)際問題．本題的突破點(diǎn)是輔助線的連接．20.(本小題滿分分)如圖,在三棱柱中,側(cè)棱與底面垂直,,,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).（1）證明:;（2）證明:平面;

（3）求二面角的正弦值.參考答案：解:證明(1)證法一:由題設(shè)知,,又

平面,平面,

平面,平面

.

…………1分又四邊形為正方形,為的中點(diǎn),

…………2分,平面,平面平面

…………3分又平面

…………4分.

…………5分證法二:(向量法)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.…………1分于是,…………2分

…………3分

…………4分.

…………5分(2)證法一:連接

…………6分由題意知,點(diǎn)分別為和的中點(diǎn),.

…………7分又平面,平面,

…………8分平面.

…………9分證法二:取中點(diǎn),連,而

分別為與的中點(diǎn),

平面,平面

平面,

同理可證平面

…………6分又

平面平面.

…………7分平面，

…………8分平面.

…………9分

證法三(向量法):以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.于是,平面向量是平面的一個(gè)法向量

…………6分

…………7分又平面

…………8分平面

…

ks5u……9分(3)解法一:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.于是,

…………10分由(1)知是平面的一個(gè)法向量,.

…………11分設(shè)平面的法向量為,

…………12分設(shè)向量和向量的夾角為,則

…………13分二面角的的正弦值為

…………14分解法二(幾何法):如圖,將幾何體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,連交于點(diǎn),連,顯然,,都在同一平面上.易證,,平面,平面,,又平面.取中點(diǎn),連,分別是的中點(diǎn),平面,

…………10分且為垂足,即平面,過點(diǎn)作于,過作交于,連,則即是所求二面角的補(bǔ)角.

…………11分在中,,,在中，又在中，

…………12分=

…………13分所求二面角的正弦值為

…14分21.已知F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩焦點(diǎn)，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且滿足=1過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)；（2）求證：直線AB的斜率為定值；（3）求△PAB面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）求出橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），（x＞0，y＞0），由數(shù)量積坐標(biāo)公式和點(diǎn)在橢圓上，列出方程，解出，即可得到P的坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線PA，PB的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可解得A，B的橫坐標(biāo)，再由直線方程，得到縱坐標(biāo)，再由斜率公式，即可得證；（3）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，再由面積公式，運(yùn)用基本不等式，即可得到最大值．【解答】（1）解：F1，F(xiàn)2是橢圓=1的兩焦點(diǎn)，則c==，即有F1（0，），F(xiàn)2（0，﹣），設(shè)P（x，y），（x＞0，y＞0），則由=1，得x2+y2=3，又=1，解得，x=1，y=．則有點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）證明：由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)直線PB的斜率為k，則直線PB的方程為，由于過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB，則直線PA：y﹣=﹣k（x﹣1）．由，消去y，得，設(shè)A（xA，yA），B（xB，yB），由韋達(dá)定理，得1+xB=，即有