柯西與常微分方程省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

柯西★常微分方程柯西，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家。是一位多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，最主要貢獻(xiàn)在微積分、復(fù)變函數(shù)和微分方程等方面，幾何代數(shù)也有較大建樹(shù)，是數(shù)理彈性理論奠基人之一。第1頁(yè)柯西在常微分方程中主要貢獻(xiàn)在于深入考查并證實(shí)了存在唯一性定理。其中主要定理為“柯西－利普希茨定理”此定理最早由柯西于1820年發(fā)表，但直到1868年，才由魯?shù)婪颉だ障４慕o出確定形式。下面，我們來(lái)介紹一下詳細(xì)證實(shí)過(guò)程：第2頁(yè)

局部定理設(shè)為一個(gè)完備有限維賦范向量空間（即一個(gè)巴拿赫空間），f為一個(gè)取值在上函數(shù)：其中為中一個(gè)開(kāi)集，為中一個(gè)區(qū)間?？紤]以下一階非線性微分方程：假如f關(guān)于t連續(xù)，并在U中滿足利普希茨條件，也就是說(shuō)，那么對(duì)于一個(gè)給定初始條件：x(t0)=x0，其中、，微分方程（1）存在一個(gè)解(J,x(t))，其中是一個(gè)包含t0區(qū)間，x(t)是一個(gè)從J射到U函數(shù)，滿足初始條件和微分方程（1）。局部唯一性：在包含點(diǎn)t0足夠小J區(qū)間上，微分方程（1）解是唯一（或者說(shuō)，方程全部解在足夠小區(qū)間上都是重合）。這個(gè)定理有點(diǎn)像物理學(xué)中決定論思想：當(dāng)我們知道了一個(gè)系統(tǒng)特征（微分方程）和在某一時(shí)刻系統(tǒng)情況（x(t0)=x0）時(shí)，下一刻情況是唯一確定。局部定理證實(shí)一個(gè)簡(jiǎn)練證實(shí)思緒為結(jié)構(gòu)一個(gè)總是滿足初始條件函數(shù)遞歸序列yn+1=Φ(yn)，使得，這么，假如這個(gè)序列有一個(gè)收斂點(diǎn)y，那么y為函數(shù)Φ不動(dòng)點(diǎn)，這時(shí)就有，于是我們結(jié)構(gòu)出了一個(gè)解y。為此，我們從常數(shù)函數(shù)開(kāi)始。令這么結(jié)構(gòu)出來(lái)函數(shù)列中每個(gè)函數(shù)都滿足初始條件。而且因?yàn)閒在U中滿足利普希茨條件，當(dāng)區(qū)間足夠小時(shí)候，Φ成為一個(gè)收縮映射。依據(jù)完備空間不動(dòng)點(diǎn)存在定理，存在關(guān)于Φ穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，于是可知微分方程（1）解存在。因?yàn)槭湛s映射局部穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)，所以在足夠小區(qū)間內(nèi)解是唯一。第3頁(yè)最大解定理局部柯西-利普希茨定理并沒(méi)有說(shuō)明在較大區(qū)域上解情況。實(shí)際上，對(duì)于微分方程（1）任意解、，定義一個(gè)序關(guān)系：小于當(dāng)且僅當(dāng)，而且在上值與一樣。在這個(gè)定義之下，柯西-利普希茨定理斷言，微分方程最大解是唯一存在。證實(shí)思緒解唯一性：假設(shè)有兩個(gè)不一樣最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理能夠證實(shí)其重合部分值相同，將二者不一樣部分分別延伸在重合部分上，則會(huì)得到一個(gè)更“大”解（只需驗(yàn)證它滿足微分方程），矛盾。所以解唯一。解存在性：證實(shí)需要用到佐恩引理，結(jié)構(gòu)全部解并集。擴(kuò)展至高階常微分方程對(duì)于一元高階常微分方程，只需結(jié)構(gòu)向量和對(duì)應(yīng)映射，就能夠使得（2）變?yōu)?。這時(shí)初始條件為Y(t0)=Y0，即

擴(kuò)展至偏微分方程對(duì)于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理擴(kuò)展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，確保了偏微分方程解存在性和唯一性。第4頁(yè)

小感：每位科學(xué)家都有著獨(dú)