暑期班第7講.數(shù)列問題綜合.文科.學(xué)生版

第第七講數(shù)列綜合問題高考要求高考要求數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法要求層次重難點(diǎn)數(shù)列的概念和表示法B⑴數(shù)列的概念和簡單表示法①了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法〔列表、圖象、通項(xiàng)公式〕．②了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．⑵等差數(shù)列、等比數(shù)列①理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念．②掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式．③能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．④了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．等差數(shù)列的概念B等比數(shù)列的概念B等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式C等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式C知識(shí)精講知識(shí)精講板塊一：數(shù)列的通項(xiàng)公式〔一〕主要方法：常見的遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法：⑴〔其中〕，那么；⑵〔其中〕，那么；⑶〔其中，，是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)〕，可設(shè)，其中為與的次數(shù)相等的多項(xiàng)式函數(shù)，各項(xiàng)的系數(shù)都待定，通過比擬與的各項(xiàng)系數(shù)可以確定待定系數(shù)；⑷，其中，，，，．假設(shè)，那么；假設(shè)，那么可以設(shè)；也可兩邊同時(shí)除以：；也可兩邊同時(shí)除以：．〔二〕典例分析：〔2008新課標(biāo)江蘇10〕將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：，按照以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第行從左至右的第個(gè)數(shù)為．如圖，一粒子在區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，接著按圖中箭頭所示方向在軸、軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長度．設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)、、時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為、、，⑴試寫出、、的通項(xiàng)公式．⑵求粒子從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所需的時(shí)間；⑶粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過秒后，它所處的坐標(biāo)．〔2009湖南15〕將正分割成〔，〕個(gè)全等的小正三角形〔以下圖分別給出了的情形〕，在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)〔當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于時(shí)〕都分別依次成等差數(shù)列．假設(shè)頂點(diǎn)，，處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為，記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為，那么有，_______，…，________．⑴〔2007全國Ⅰ〕數(shù)列中，，．求的通項(xiàng)公式；⑵數(shù)列滿足，，那么______．⑶〔2008全國Ⅰ〕在數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．〔2009北京14〕數(shù)列滿足：，，，，那么；．〔2009重慶14〕設(shè)，，，，那么數(shù)列的通項(xiàng)．〔2009湖北15〕數(shù)列滿足：〔為正整數(shù)〕，，假設(shè)，那么所有可能的取值為__________．〔2009全國Ⅰ20〕在數(shù)列中，，．⑴設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和．〔2009江西22〕各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，，且對滿足的正整數(shù)，，，都有．⑴當(dāng)，時(shí)，求；⑵在⑴的條件下，將用表示出來〔其中〕．⑶在⑴的條件下證明為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)．板塊二：新定義數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)歸納法〔一〕知識(shí)內(nèi)容數(shù)學(xué)歸納法：專門用來證明與正整數(shù)相關(guān)的命題的一種證明方法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟：一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題，如果①取第一個(gè)值時(shí)命題成立；②在假設(shè)當(dāng)，且時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)時(shí)命題也成立；那么可以斷定，這個(gè)命題對取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立．〔二〕典例分析：〔2009海淀一模8〕對于數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得對任意，與中至少有一個(gè)不小于，那么記：，那么以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕A．假設(shè)，那么數(shù)列的各項(xiàng)均大于或等于B．假設(shè)，，那么C．假設(shè)，那么D．假設(shè)，那么〔2009西城一模14〕函數(shù)由下表給出其中等于在中所出現(xiàn)的次數(shù)．那么；．?dāng)?shù)集具有性質(zhì)對任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．那么____；請寫出一個(gè)至少含有三個(gè)元素的具有性質(zhì)的集合__________．〔2009北京理科20〕數(shù)集具有性質(zhì)對任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．⑴分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；⑵證明：，且；⑶證明：當(dāng)時(shí)，，，，，成等比數(shù)列．〔2009北京文20〕設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為．?dāng)?shù)列定義如下：對于正整數(shù)，是使得不等式成立的所有中的最小值．⑴假設(shè)，求；⑵假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和公式．⑶是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范圍；如果不存在，請說明理由．〔2009西城一?！吃O(shè)，對于有窮數(shù)列，令為，，…，中的最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”，數(shù)列中不相等項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為的“創(chuàng)新階數(shù)”．例如數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，創(chuàng)新階數(shù)為．考察自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列．⑴假設(shè)，寫出創(chuàng)新數(shù)列為的所有數(shù)列；⑵是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有的數(shù)列，假設(shè)不存在，請說明理由．〔2009湖南21〕對于數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，對任意的，恒有，那么稱數(shù)列為數(shù)列．⑴首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列是否為數(shù)列？請說明理由；⑵設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和．給出以下兩組論斷：組：①數(shù)列是數(shù)列，②數(shù)列不是數(shù)列；組：③數(shù)列是數(shù)列，④數(shù)列不是數(shù)列．請以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題．判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；⑶假設(shè)數(shù)列，都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列．家庭作業(yè)家庭作業(yè)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成假設(shè)干個(gè)圖案，那么第個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是_________．在數(shù)列中，，且對于任意正整數(shù)，都有，那么_____．?dāng)?shù)列滿足，，那么的值為．如圖，在面積為的正內(nèi)作正，使，，，依此類推，在正內(nèi)再作正，……．記正的面積為，那么．?dāng)?shù)列中，，，且時(shí)，有，那么〔〕A．B．C．D．〔2009全國Ⅱ19〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．⑴設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列．⑵