充要條件的理解及判定方法

高中數(shù)學復(fù)習專題講座

人教版高中數(shù)學高考復(fù)習專題講座充要條件的理解及判定方法主講：特級教師王新敞5/6/20241特級教師王新敞----源頭學子教學目的：教學重點：教學難點：1.掌握充分條件、必要條件的意義及判定．2.培養(yǎng)學生的邏輯推理能力．充分條件、必要條件的判斷充分條件、必要條件的判斷方法及證明格式．5/6/20242特級教師王新敞----源頭學子1.定義：對于命題：若p(條件)，則q(結(jié)論).如果已知pq，則說p是q的充分條件；如果既有pq，又有qp，就記作pq則說p是q的充要條件；如果已知qp，則說p是q的必要條件；簡化定義：如果已知pq，則說p是q的充分條件，

q是p的必要條件.一、知識點回顧5/6/20243特級教師王新敞----源頭學子①pq，相當于PQ，即

PQ或P、Q

②qp，相當于QP，即QP或P、Q

③pq，相當于P=Q，即P、Q有它就行缺它不行同一事物

2.從集合角度理解以上的定義：一、知識點回顧5/6/20244特級教師王新敞----源頭學子3.三種條件的理解，可以通過下列電路圖來說明AB①DC②E③①A、B僅充分②C、D僅必要③E充要對于電路通一、知識點回顧5/6/20245特級教師王新敞----源頭學子①認清條件和結(jié)論。②考察pq和qp的真假。4.判別步驟：①在句型：A是B的？條件中，A是條件，B是結(jié)論.②在句型：A的？條件是B中，B是條件，A是結(jié)論.注意：①可先簡化命題.③將命題轉(zhuǎn)化為等價的逆否命題后再判斷.②否定一個命題只要舉出一個反例即可.5.判別技巧：一、知識點回顧5/6/20246特級教師王新敞----源頭學子例1

有A、B、C三個盒子，其中一個內(nèi)放有一個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條.A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)”，B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”，C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內(nèi)”.如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？蘋果在AAAB蘋果在BBCC蘋果在C分析：真真真真真假假假假二、重難點講解

A蘋果在BC5/6/20247特級教師王新敞----源頭學子例1

有A、B、C三個盒子，其中一個內(nèi)放有一個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條.A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)”，B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”，C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內(nèi)”.如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？解：若蘋果在A盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意；若蘋果在B盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在B盒內(nèi)；若蘋果在C盒內(nèi)，則B、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.綜上，蘋果在B盒內(nèi).二、重難點講解

5/6/20248特級教師王新敞----源頭學子二、重難點講解

例2

已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s、r、p分別是q的什么條件?srpq解由已知r是q的充要條件、p是q的必要條件.s是q的充要條件、5/6/20249特級教師王新敞----源頭學子二、重難點講解

例3

命題p:x=－1或x=2;命題.試判斷p是q的什么條件?解:

由q中方程解得x=2,x=－1,而x=－1是增根,應(yīng)舍去,因此q:x=2,所以q的集合B={2},∴p是q的必要不充分條件.由題設(shè)P的集合A={－1，2},顯然BA，5/6/202410特級教師王新敞----源頭學子二、重難點講解

若?q是?p的充分而非必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.解:由x2－2x＋1－m2≤0，得q:1－m≤x≤1＋m.所以“?q”：A＝{x∈R｜x＞1＋m或x＜1－m,m＞0}所以“?p”：B＝{x∈R｜x＞10或x＜－2}．解得m≥9為所求．另法：?q是?p的充分而非必要條件等價于p是q的充分而非必要條件，則[-2，10]就是[1-m，1+m]的真子集.1-m1+m-210由“?q”是“?p”的充分而不必要條件知：A

B．從而可得5/6/202411特級教師王新敞----源頭學子二、重難點講解

例5

判斷:“b2-4ac=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實根”的什么條件？并證明結(jié)論。解：是充要條件.1。充分性：設(shè)b2-4ac=0將ax2+bx+c=0(a≠0)配方得：a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a,(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2∵b2-4ac=0∴(x+b/2a)2=0∴x1=x2=-b/2a即方程有兩個相等的實數(shù)根.5/6/202412特級教師王新敞----源頭學子二、重難點講解

例5

判斷:“b2-4ac=0”是“方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實根”的什么條件？并證明結(jié)論。解：是充要條件.2。必要性:設(shè)方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2由根與系數(shù)的關(guān)系有:x1+x2=-b/a;x1x2=c/a∴“b2-4ac=0”是方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等實根的充要條件.∵x1=x2,∴2x1=-b/a,x12=c/a可得（-b/2a）2=c/a即b2=4ac,∴b2-4ac=05/6/202413特級教師王新敞----源頭學子例6

求關(guān)于x的方程x2+(m－2)x+5－m=0(m∈R)有兩個都大于2的實根的充要條件.解:

令f(x)=x2+(m－2)x+5－m,則方程x2+(m－2)x+5－m=0的兩根都大于2的一個充要條件是拋物線f(x)=x2+(m－2)x+5－m與X軸有兩個交點,(特殊情況兩個交點重合)并且兩個交點在x=2的右側(cè).此時拋物線滿足的充要條件是:解得－5<m≤－4.O2二、重難點講解

5/6/202414特級教師王新敞----源頭學子1.

已知條件P:x+y≠－2,條件q:x,y不是－1,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件解:由p:x+y≠－2,q:x,y不是－1,得P:x+y=－2,q:x=－1且y=－1,因為q能推出P,但P不能推出q.∴p是q的充分而不必要條件.選A.三、練習5/6/202415特級教師王新敞----源頭學子三、練習2.“p或q為真命題”是“p且q為真命題”的()A.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件B.必要不充分條件本題可采用直接法推導(dǎo),設(shè)甲:“p或q為真命題”可推出p真q真,或p真q假,或p假q真三種可能;設(shè)乙:“p且q為真命題”可知只有p,q皆真.所以乙能推出甲,但甲推不出乙.即甲是乙的必要不充分條件.答案:選B.5/6/202416特級教師王新敞----源頭學子四、小結(jié)①充分而不必要條件的判定方法：若pq，qp，則p是q的充分而不必要條件.＞＞②必要而不充分條件的判定方法：若pq，qp，則p是q的必要而不充