材料力學(xué)II-能量法的應(yīng)用補(bǔ)充

材料力學(xué)II能量法的應(yīng)用LT2013.081編輯ppt能量法的應(yīng)用能量法研究梁的橫向剪切效應(yīng)能量法研究桿件的沖擊應(yīng)力能量法研究壓桿的臨界載荷能量法研究梁柱縱橫彎曲變形與應(yīng)力計(jì)算等問(wèn)題此外，另一重要應(yīng)用為求解靜不定問(wèn)題。2編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)3編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)4編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)5編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)6編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)7編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)8編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)9編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)10編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)11編輯ppt梁的橫向剪切效應(yīng)12編輯ppt壓桿的臨界載荷-能量法應(yīng)用平衡的三種形式：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。13編輯ppt壓桿的臨界載荷14編輯ppt壓桿的臨界載荷穩(wěn)定性判定準(zhǔn)則：根據(jù)Dirichlet定理，物體的平衡位置上其勢(shì)能Π具有極小值或極大值。若Π為極小，則平衡是穩(wěn)定的。如果給物體一微小干擾，則新的臨近位置的勢(shì)能與原始狀態(tài)勢(shì)能的差值ΔΠ>0，一旦去除干擾，物體必然要回復(fù)到勢(shì)能極小的最低位置。反之，若Π為極大，則平衡是不穩(wěn)定的。物體受干擾后ΔΠ<0，去除干擾，物體的位置不能復(fù)原，將繼續(xù)向勢(shì)能小的方向離去。15編輯ppt壓桿的臨界載荷若ΔΠ>0，原始狀態(tài)ΔΠ=min，屬于穩(wěn)定平衡；若ΔΠ<0，原始狀態(tài)ΔΠ=max，屬于不穩(wěn)定平衡；若ΔΠ=0，勢(shì)能不變，屬于隨遇平衡。平衡相關(guān)物理概念從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看可以歸結(jié)為尋求勢(shì)能函數(shù)的極小值和極大值的微分或變分問(wèn)題。16編輯ppt壓桿的臨界載荷兩類(lèi)失穩(wěn)形式：彈性體的平衡問(wèn)題，其穩(wěn)定性取決于結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造、約束條件和加載方式等因素。一般歸結(jié)為兩類(lèi)失穩(wěn)形式。（1）分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題；（2）極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題。17編輯ppt壓桿的臨界載荷——分支點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題以中心受壓理想等直桿件為例。P1<Pcr時(shí)，為穩(wěn)定直線平衡狀態(tài)。18編輯ppt壓桿的臨界載荷以中點(diǎn)撓度f(wàn)為橫坐標(biāo)，載荷P為縱坐標(biāo)。則縱軸上（f=0）任一點(diǎn)P1表示一種直線平衡狀態(tài)。OA線稱(chēng)為原始平衡路徑。載荷超過(guò)臨界載荷，P2>Pcr時(shí)，壓桿可能處于直線平衡狀態(tài)，也可能處于彎曲平衡狀態(tài)，但直線狀態(tài)是不穩(wěn)定的，若給以干擾，壓桿則不能回復(fù)直線構(gòu)形而將繼續(xù)彎曲直到圖示B點(diǎn)，此時(shí)撓度為f2。曲線AB稱(chēng)為第二平衡路徑。A點(diǎn)稱(chēng)為分支點(diǎn)或分叉點(diǎn)（bifurcationpoint）。

19編輯ppt壓桿的臨界載荷A點(diǎn)它是原始平衡路徑與第二平衡路徑的交點(diǎn)，此點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的載荷則為臨界載荷Pcr，此時(shí)的平衡狀態(tài)則為臨界狀態(tài)。到達(dá)臨界狀態(tài)之前的平衡狀態(tài)稱(chēng)為前屈曲平衡狀態(tài)（Pre-bucklingequilibriumconfiguration）；而超過(guò)臨界狀態(tài)之后的平衡狀態(tài)則稱(chēng)為后屈曲平衡狀態(tài)（Post-bucklingequilibriumconfiguration）。20編輯ppt壓桿的臨界載荷分支點(diǎn)A處第二路徑的切線為水平，因此，在一階無(wú)窮小的鄰域內(nèi)，撓度為不定值，也即載荷保持常數(shù)不變而壓桿可以有任意微小彎曲的平衡形式。此即所謂的隨遇平衡概念。21編輯ppt壓桿的臨界載荷變換橫坐標(biāo)為壓桿縮短變形量Δ，相應(yīng)圖形如右圖所示。22編輯ppt壓桿的臨界載荷——極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題某些變形體系不存在分支點(diǎn)，此時(shí)不能用平衡形式發(fā)生分支現(xiàn)象來(lái)定義失穩(wěn)特征。但這類(lèi)系統(tǒng)所受載荷與變形的關(guān)系曲線常具有極值點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際工程中也是比較多的，如有缺陷的壓桿（制造工藝缺陷，加載裝置偏差等）或承受偏心載荷的桿件。桿件自始至終都處于彎曲平衡狀態(tài)，更大可能是出現(xiàn)局部塑形變形，以致曲線出現(xiàn)極值點(diǎn)。載荷達(dá)到極大值，呈現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。此極限承載能力也定義為臨界載荷Pcr。23編輯ppt壓桿的臨界載荷——極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題24編輯ppt壓桿的臨界載荷——極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題曲線OA部分為穩(wěn)定平衡，極值點(diǎn)以后部分為不穩(wěn)定平衡。A點(diǎn)為臨界狀態(tài)。對(duì)于受軸向壓力P作用的扁錐，力P與軸向位移間的關(guān)系如圖b所示。不僅存在相對(duì)極大值A(chǔ)點(diǎn)，還存在相對(duì)極小值B點(diǎn)。這類(lèi)無(wú)分支點(diǎn)的穩(wěn)定問(wèn)題也稱(chēng)為跳躍(snap)問(wèn)題。25編輯ppt壓桿的臨界載荷——極值點(diǎn)失穩(wěn)問(wèn)題26編輯ppt壓桿的臨界載荷穩(wěn)定性問(wèn)題研究經(jīng)典方法主要有四種：靜力平衡法（Euler歐拉方法）；能量法（Timoshenko鐵摩辛柯法）；缺陷法；振動(dòng)法。27編輯ppt壓桿的臨界載荷靜力平衡法就是從平衡狀態(tài)來(lái)研究桿件的屈曲特征，即研究直線形式之外的彎曲平衡形式。就是研究載荷達(dá)到多大時(shí)，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)，即求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑（曲線）的分支點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載荷值（臨界載荷）。材料力學(xué)I中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了。28編輯ppt壓桿的臨界載荷對(duì)于彈性系統(tǒng)可以沿用剛體平衡穩(wěn)定性的能量判據(jù)。當(dāng)壓桿收到微小干擾后。觀察其能量變化情況。隨著桿件的彎曲變形，應(yīng)變能的增量為U，同時(shí)載荷下降，位能的增量為V（注意：由于位能實(shí)際上是減少的，所以V為負(fù)值），則總勢(shì)能的增量為ΔΠ=U+V。當(dāng)載荷P低于某特定數(shù)值時(shí)，ΔΠ總為正定，即ΔΠ>0，則壓桿的直線平衡形式是穩(wěn)定的。29編輯ppt壓桿的臨界載荷當(dāng)載荷增大超過(guò)一定數(shù)值后，ΔΠ轉(zhuǎn)為負(fù)定，即ΔΠ<0，則系統(tǒng)的直線平衡形式是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷達(dá)到臨界值Pcr時(shí)，施加微小干擾而總勢(shì)能不變化，即ΔΠ=0，此時(shí)壓桿處于隨遇平衡，即原來(lái)的直線平衡將由穩(wěn)定過(guò)渡到不穩(wěn)定，此時(shí)處于臨界狀態(tài)。能量法求解穩(wěn)定性問(wèn)題就是研究該臨界狀態(tài)下的載荷確定方法。30編輯ppt壓桿的臨界載荷缺陷法：缺陷法認(rèn)為完善而無(wú)缺陷的理想中心受壓直桿是不存在的。原始材料缺陷，桿件具有初始曲率，偏心載荷等因素都會(huì)使桿件開(kāi)始受力時(shí)即產(chǎn)生彎曲變形，彎曲程度當(dāng)然要看缺陷大小、嚴(yán)重程度而定。一般情況下缺陷總是相對(duì)很小，開(kāi)始階段載荷不大時(shí)的彎曲變形并不顯著，只有當(dāng)載荷接近理想無(wú)缺陷系統(tǒng)的臨界值時(shí)，變形才迅速增大，藉此可以確定其失穩(wěn)條件。缺陷法就是求解具有初始缺陷的彈性系統(tǒng)的變形無(wú)限增大時(shí)的載荷值。31編輯ppt壓桿的臨界載荷振動(dòng)法：振動(dòng)法是以動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)研究壓桿穩(wěn)定問(wèn)題。當(dāng)壓桿在給定壓力作用下，施加一定的初始擾動(dòng)之后，必將產(chǎn)生自由振動(dòng)。如果振動(dòng)隨時(shí)間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的。所謂收斂是指振動(dòng)具有一定的頻率和振幅，考慮到阻尼，振動(dòng)必將逐漸衰減，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后壓桿仍將恢復(fù)到初始的直線狀態(tài)。如果壓力超過(guò)一定數(shù)值，桿件的振動(dòng)發(fā)散，則壓桿為不穩(wěn)定的。所謂發(fā)散就是指振動(dòng)的振幅將至無(wú)限增大。振動(dòng)法所解決的問(wèn)題是求彈性系統(tǒng)自由振動(dòng)開(kāi)始發(fā)散時(shí)的載荷值。32編輯ppt壓桿的臨界載荷對(duì)于載荷、支撐方式或截面變化比較復(fù)雜的壓桿，材料力學(xué)I所述方法計(jì)算臨界載荷很不方便。這類(lèi)問(wèn)題宜采用能量法求解。下面研究能量法分析壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的過(guò)程。33編輯ppt壓桿的臨界載荷臨界載荷作用下，壓桿具有兩種平衡形式：直線形式與微彎形式。當(dāng)壓桿處于臨界狀態(tài)并由直線形式轉(zhuǎn)入到微彎形式的過(guò)程中，由于壓桿始終處于平衡狀態(tài)，軸向壓力在軸向位移上所作之功ΔW（即前述減少的位能）等于壓桿因彎曲變形所增加的應(yīng)變能ΔVε，即臨界狀態(tài)的能量特征為ΔW=ΔVε

(1)34編輯ppt設(shè)壓桿在微彎平衡時(shí)的撓曲線方程為w=w(x)載荷作用點(diǎn)因彎曲變形引起的軸向位移，也稱(chēng)為曲率縮短，為λ。35編輯ppt則當(dāng)壓桿由直線形式轉(zhuǎn)入到微彎形式的過(guò)程中，壓桿增加的應(yīng)變能為或表達(dá)為（2）（3）36編輯ppt而軸向載荷Fcr所作之功為ΔW=Fcrλ易見(jiàn)，軸向位移λ等于撓曲線的總長(zhǎng)AB’弧與其投影之差，即

（a）37編輯ppt由圖易見(jiàn)，(級(jí)數(shù)展開(kāi)近似計(jì)算)將其代入(a)式得（4）38編輯ppt而載荷Fcr所作之功為將該式與（3）式代入（1）式得壓桿的臨界載荷為（5）一旦獲得撓曲線方程w(x)，從上式即可求出壓桿的臨界載荷。39編輯ppt一般情況下，撓曲線方程為未知。通常只能根據(jù)壓桿的位移邊界條件，假設(shè)一適當(dāng)?shù)膿锨€方程進(jìn)行求解。顯然由此求得的臨界載荷一般為近似解而非精確解。但實(shí)踐證明，只要撓曲線方程選擇適當(dāng)，所得解答仍然是足夠精確的。40編輯ppt（5）式為端部承壓細(xì)長(zhǎng)桿臨界載荷計(jì)算的一般公式，它適用于等截面桿、也適用于變截面桿。對(duì)于其他非端部承壓的細(xì)長(zhǎng)壓桿，臨界載荷同樣可以利用關(guān)系式（1）確定。推導(dǎo)（5）式時(shí)應(yīng)變能計(jì)算采用的是基于變形計(jì)算公式（3），也可以采用基于彎矩的應(yīng)變能計(jì)算公式（2）。41編輯ppt例1試用能量法確定圖示兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷，設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。解：假設(shè)壓桿微彎平衡時(shí)的撓曲線方程為（a）式中，a代表壓桿中點(diǎn)撓度。顯然上述方程滿足位移邊界條件：w(0)=0，w(l)=0。42編輯ppt將（a）式代入到公式（5）可得臨界載荷為所得解答與精確解相同。之所以如此，是因?yàn)榧僭O(shè)的撓曲線方程就是真實(shí)的撓曲線方程。43編輯ppt例2如圖所示細(xì)長(zhǎng)壓桿，一端固定、另一端自由，承受集度為q的軸向均布載荷作用。試用能量法確定載荷q的臨界值qcr。44編輯ppt解：解法一設(shè)壓桿微彎平衡時(shí)的撓曲線方程為（a）式中，f代表壓桿自由端撓度。顯然上述方程滿足位移邊界條件：w(0)=0，w’(0)=0。45編輯ppt由（4）式和（a）式可求出當(dāng)壓桿微彎時(shí)，橫截面x的軸向位移為此時(shí)載荷qcr在彎曲變形過(guò)程中所作之功為（b）46編輯ppt由（3）式和（a）式可求出當(dāng)壓桿微彎時(shí)，壓桿增加的應(yīng)變能力為將（b）和（c）式代入（1）式，即應(yīng)用能量原理可得壓桿的臨界載荷為（c）47編輯ppt同一問(wèn)題精確解為近似解與精確解的二者誤差為6%。48編輯ppt解法二如圖所示，設(shè)截面ξ處的撓度為η，則截面x處的彎矩為（d）將（a）式知ξ處的撓度η為49編輯ppt代入（d）式并積分后可得將上述彎曲表達(dá)式代入應(yīng)變能計(jì)算式（2）可得壓桿應(yīng)變能增量為50編輯ppt將該式與式（b）代入（1）式，即應(yīng)用能量原理可得臨界載荷與精確解相比，誤差僅有0.77%。51編輯ppt討論：解法二計(jì)算精度明顯高于解法一。這是因?yàn)榻夥ㄒ皇峭ㄟ^(guò)變形計(jì)算應(yīng)變能增量，而解法二則是通過(guò)彎矩計(jì)算應(yīng)變能力增量。前者計(jì)算精度取決于w”，而后者計(jì)算精度取決于w。一般情況下，所設(shè)撓度w精度均高于w”，因此，解法二計(jì)算臨界載荷精確度更高一些。52編輯ppt靜力平衡法求解軸向均勻分布載荷作用時(shí)的失穩(wěn)臨界載荷53編輯ppt54編輯ppt55編輯ppt56編輯ppt57編輯ppt58編輯ppt一端固定，一端自由兩端鉸支兩端固定59編輯ppt幾種經(jīng)典方法的比較四種方法求解歐拉壓桿問(wèn)題，所給出的臨界載荷是相同的。有些結(jié)論有差異。靜力平衡法只能給出當(dāng)P=P1、P2、…、Pn時(shí)壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最可能并未給出選擇條件。同時(shí)指出在P≠P1、P2、…、Pn時(shí)，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無(wú)法回答直線形式的平衡是不是穩(wěn)定的問(wèn)題。缺陷法給出的結(jié)論是當(dāng)P=P1、P2、…、Pn時(shí)壓桿將發(fā)生無(wú)限變形，所以是不穩(wěn)定的。但對(duì)于P在各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定也不能給出解釋。60編輯ppt能量法與振動(dòng)法則指出P>P1之后，無(wú)論P(yáng)值多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個(gè)結(jié)論和事實(shí)是完全一致的。61編輯ppt62編輯ppt63編輯ppt64編輯ppt65編輯ppt66編輯ppt67編輯ppt68編輯ppt69編輯ppt70編輯ppt71編輯ppt72編輯ppt73編輯ppt74編輯ppt75編輯ppt76編輯ppt77編輯ppt78編輯ppt79編輯ppt80編輯ppt81編輯ppt82編輯ppt83編輯ppt84編輯ppt85編輯ppt86編輯ppt87編輯ppt88編輯ppt89編輯ppt90編輯ppt91編輯ppt92編輯ppt93編輯ppt94編輯ppt95編輯ppt縱橫彎曲96編輯ppt97編輯ppt98編輯ppt99編輯ppt100編輯ppt101編輯ppt102編輯ppt103編輯ppt104編輯ppt105編輯ppt106編輯ppt107編輯ppt108編