高考數(shù)學學科備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列八立體幾何典例題剖析與資源推送

I理12）已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，是邊長為2的正三角形，分別是的中點，，則球O的體積為A． B． C． D．【解析】解法一：由PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，知三棱錐P?ABC為正三棱錐，所以，由，得，因為E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，所以，所以，因為，所以平面，所以，因為P?ABC為正三棱錐，所以兩兩相互垂直，故三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故選D． 解法二：設(shè)，則， 所以．因為，，所以,即，解得，所以，又，兩兩相互垂直，故三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，故選D.【評析】由于，為正三棱錐，、分別分棱的中點，根據(jù)正三棱錐的對棱垂直，證明該正三棱錐的兩兩相互垂直，得出三棱錐的三個側(cè)面是直角三角形，接下就可以借助長方體的模型比較容易得出答案典型問題五：數(shù)學文化與空間幾何體【例題5】（2020山東省新高考全國Ⅰ卷4）同（2020海南省新高考全國Ⅱ卷4）日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【解析】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；是晷針所在直線.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得.由于，所以，由于，所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.故選B．【評析】本小題主要以中國古代數(shù)學文化為載體，考查球體有關(guān)計算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵利用題目提供的信息作出圖形，能夠從立體轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，并且涉及的量很多，需要慢慢審題作出圖形，根據(jù)垂直、平行得出所求的角的度數(shù)．典型問題六：交線問題【例題6】（2020山東省新高考全國Ⅰ卷16）已知直四棱柱的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為________．【解析】如圖：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以.因為，所以側(cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為.【評析】本小題涉及球與平面的交線問題，難度比較大，解題的關(guān)鍵是找出面，從而得出與面內(nèi)的任意一直線垂直，然后再平面內(nèi)以為圓心，以為半徑的圓弧就是所求作的交線。從而求出交線長，掌握化歸的數(shù)學思想方法．典型問題七：周長、體積的求法與垂直的證明【例題7】（2021高考全國Ⅰ卷12）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【評析】本題主要考查向量的等價替換，關(guān)鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi)．對于A，由于等價向量關(guān)系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)．典型問題八：求空間角【例題8.1】（2018年11月浙江省普通高中學業(yè)水平考試）將正方形沿對角線折起，當以四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線與所成的角為（）A．B．C．D．【解析】設(shè)是正方形對角線的交點，將正方形沿對角線折起，可得當平面時，點到平面的距離等于，當與平面不垂直時，設(shè)點到平面的距離為，則，由此可得當三棱錐的體積最大時，平面.設(shè)是折疊前的位置，連接，因為，所以就是直線與所成的角，設(shè)正方形的邊長為，因為平面，平面，所以，因為，所以，即是等邊三角形，所以，所以直線與所成的角為，故選C.【評析】本題易錯點有兩處：一是忽視異面直線所成角的取值范圍，導(dǎo)致確定直線與所成角的大小出錯；二是不會把三棱錐的體積最大轉(zhuǎn)化為點到平面的距離最大．避開易錯點的關(guān)鍵是注意翻折前后的不變量及位置關(guān)系，對照翻折前后的圖形，弄清楚變與不變的量，再立足于不變的量的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探究變化后的量在空間圖形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．【例題8.2】（2020年全國卷I理18）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過O作∥BC交AB于點N，因為平面，以O(shè)為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得令，得，所以，設(shè)平面的一個法向量為由得令，得，所以，故，設(shè)二面角的大小為，則.【評析】（1）要證明平面，只需證明，即可（全等、勾股等方法多樣）；（2）以O(shè)為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計算即可得到答案.典型問題九：求點到面的距離【例題9】在直三棱柱中，為正三角形，，點在棱上，且，點分別為棱的中點．（1）證明：平面；（2）若，求點與平面的距離．【解析】（1）證法一：取中點，連接，因為為中點，點在棱上，且，所以，因為為正三角形，所以，故直三棱柱中，又，所以，因為，平面，平面，所以平面．證法二：因為平面，平面，所以，且．設(shè)，因為，則，因為，所以．因為點,分別為棱,的中點，所以，因為為正三角形，根據(jù)余弦定理，得，在中，，在中，，所以，所以．又因為，平面，平面，所以平面．（2）因為，所以四邊形是以4為邊長的正方形，所以．由（1）知，平面，所以三棱錐的體積．在中，，設(shè)點與平面的距離為．因為，所以，所以，解得，所以點與平面的距離為．【評析】利用等體積法求點面距離是源于三棱錐的特殊性，任意一個面都可以作為底面，對不易直接求點面距離的問題，通過構(gòu)造三棱錐，把問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，再利用等體積法，轉(zhuǎn)化為易求的三棱錐的高的體積，通過方程思想，即可求出三棱錐的高，從而得到所求的點面距離．典型問題十：作圖【例題10】如圖，三棱柱中，底面?zhèn)让?，底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面為菱形且，分別為和的中點．（1）求異面直線和所成角的余弦值；（2）在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，且與交于點，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．【解析】（1）取的中點，因為為等邊三角形，則，底面?zhèn)让媲医痪€為，所以側(cè)面．又側(cè)面為菱形且，所以為等邊三角形，所以．以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，．方法一：，，則，即異面直線和所成角的余弦值為．方法二：可求得，，則，，則，即異面直線和所成角的余弦值為．（2）方法一：如下圖．方法二：如下圖．其中，分別為的中點．方法三：如下圖．其中，分別為的中點．【評析】（1）問中力求實現(xiàn)對考生“空間想象能力”和“邏輯推理能力”的考查，比如合理建系（全國卷對空間向量法的考查常立足先證明后建系，而且建系、點的坐標求解有一定的難度）．（1）先證明后建系（利用面面垂直的性質(zhì)定理推出線面垂直，這是學生推理書寫的薄弱點）；（2）求異面直線所成角，特別是向量的坐標．這里可采用兩種方法加以解決．方法一巧用向量相等求的坐標：（這也是全國卷在空間立體幾何計算處理的一個重要解題策略，如2014年全國卷（1）理19）；方法二直接求出的坐標（建議獨立畫出底面多邊形，借助幾何直觀、簡化點坐標的求解，這是考生解決“不易求解的點坐標”所必須掌握的解題策略）．同時本題力求在（2）問中力求實現(xiàn)對考生“作圖”能力的考查（本題著重于作“線面平行”）．如方法一凸顯對“公理3兩平面交線”的考查以及“線面平行性質(zhì)定理”的應(yīng)用；方法二則凸顯對“面面平行的性質(zhì)”的考查；方法三則凸顯對“線面平行判定定理”的考查．資源推送（一）選擇題1．《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．該術(shù)相當于給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為4，那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的近似取為（）A． B． C． D．44442．某興趣小組合作制作了一個手工制品，并將其繪制成如圖所示的三4444圖，其中側(cè)視圖中的圓弧的半徑為3，則該手工制品表面積為（）A. B.C. D.BAC1A1B1C3．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2cm，高為5cmBAC1A1B1CA．12 B．13 C．14 D．154．已知平面，是兩個相交平面，其中，則（）A.平面內(nèi)一定能找到與平行的直線B.平面內(nèi)一定能找到與垂直的直線C.若平面內(nèi)有一條直線與平行，則該直線與平面平行D.若平面內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直，則平面與平面垂直5.已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A. B. C. D.6．（2021·山東高三專題練習）如圖所示，在三棱錐中，平面，，，且為的中點，于，當變化時，則三棱錐體積的最大值是（）A． B． C． D．7．（多選題）已知是過正方體的頂點的平面與下底面所在平面的交線，下列結(jié)論正確的是A． B．平面 C．平面 D．8.（多選題）（2021全國高三專題練習）如圖所示，在長方體中，是上的一動點，則下列選項正確的是()A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為（二）填空題9．水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示，已知，，則邊上的中線的實際長度為______．10．若三棱錐的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，,則該三棱錐的外接球的表面積為________.11．圓臺的兩個底面面積之比為，母線與底面的夾角是，軸截面的面積為，則圓臺的母線長_____________.12．在三棱錐ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，AB+BD=AC+CD=7，則三棱錐ABCD體積的最大值是_____．（三）解答題13．如圖，在正方體中，分別是的中點。（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）棱上是否存在點，使得平面？請證明你的結(jié)論.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．15．如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四邊形B1C1CB為矩形，過A1C作與直線BC1平行的平面A1CD交AB于點D．（1）證明：CD⊥AB；（2）若AA1與底面A1B1C1所成角為60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．16.（2018全國Ⅲ卷理19）如圖，邊長為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．（1）證明：平面平面；（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．附件一：資源推送解析（一）、選擇題1．【答案】D【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的底面周長，所以，所以，.令，得.故選D.2．【答案】D【解析】由三視圖可知，該幾何體是由兩個圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，母線長為5，所以幾何體的表面為.選D.3．【答案】B【解析】將正三棱柱沿側(cè)棱展開兩次，得到棱柱的側(cè)面展開圖，如圖所示，在展開圖中，最短距離是六個矩形對角線的連線的長度，即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值，由已知求得的長等于，寬等于，由勾股定理得，故選B．【答案】B【解析】由題意，平面，是兩個相交平面，其中，在A中，當與，的交線相交時，內(nèi)不能找到與平行的直線，所以不正確；在B中，由直線與平面的位置關(guān)系，可知內(nèi)一定能找到與垂直的直線，所以是正確的；在C中，平面內(nèi)有一條直線與平行，該直線與平行或該直線在內(nèi)，所以不正確；在D中，平面內(nèi)有無數(shù)條直線與垂直，則與不一定垂直，所以不正確，故選B.5.【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，由正弦定理可得，，根據(jù)圓截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A6．【答案】C【解析】由題意知且，令，結(jié)合換元法、二次函數(shù)最值求體積的最大值即可.【詳解】在三棱錐中，平面，知：，而，而且，又∵為的中點，知：∴設(shè)，則，所以，令，有，令，，而由二次函數(shù)的性質(zhì)知：時有最大值為，∴最大值為，故選：C7.（多選題）【答案】ABC【解析】解：在正方體中，，平面，平面平面．又平面平面，．故正確；平面，平面，選項正確；，平面，平面，故正確．從而選．故選：8.（多選題）【答案】AD【解析】的最小值，即求底邊上的高即可；旋轉(zhuǎn)所在平面到平面，的最小值轉(zhuǎn)化為求即可.【詳解】求的最小值，即求底邊上的高，易知，所以邊上的高為，連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點的新位置為，連接，則即為所求的最小值，易知，所以.故選：AD.（三）、填空題9【答案】【解析】利用斜二測直觀圖的畫圖規(guī)則，平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變；平行于軸或在軸上的線段，長度減半，利用逆向原則，所以為一個直角三角形，且，所以，所以邊上的中線的實際長度為.10．【答案】【解析】因為，所以是等腰直角三角形，且為斜邊，為的中點，因為底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，點即為球心，則該三棱錐的外接圓半徑，故該三棱錐的外接球的表面積為.11．【答案】12【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，則其下底面半徑為可作圓臺的軸截面如圖所示：其中，，，，軸截面面積解得：母線長.12．【答案】3【解析】過作與垂直的平面，交于，過作的垂線，垂足為，如圖所示：，則三棱錐體積．故取最大值時，三棱錐的體積也取最大值．由,可得都在以為焦點的橢球面上，因為平面與垂直，所以三角形與三角形全等，三角形為等腰三角形，所以只需取最大值時，三棱錐的體積也取最大值．在中，動點到兩點的距離和為7，故在以為焦點的橢圓上，此時，故的最大值為，此時．故三棱錐的體積的最大值是,故答案為3．xyxyz13．【解析】以為坐標原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：設(shè)正方體棱長為則，，，，，，，（1）設(shè)異面直線與所成角為，，即異面直線與所成角的余弦值為：（2）假設(shè)在棱上存在點，，使得平面則，，設(shè)平面的法向量，令，則，，解得：棱上存在點，滿足，使得平面14．【解析】（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，15．【解析】（1）連接AC1交A1C于點E，連接DE．因為BC1∥平面A1CD，BC1?平面ABC1，平面ABC1∩平面A1CD＝DE，所以BC1∥DE．又因為四邊形ACC1A1