南航戴華《矩陣論》第七章-矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)

第7章矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)7.1矩陣函數(shù)7.2矩陣值函數(shù)7.3矩陣值函數(shù)在微分方程組中的應(yīng)用7.4*特征對(duì)的靈敏度分析2021/5/917.1矩陣函數(shù)7.1.1矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示7.1.2矩陣函數(shù)的另一種定義2021/5/927.1.1矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示定義7.1.12021/5/932021/5/942021/5/95定理7.1.12021/5/96推論7.1.1定理7.1.22021/5/977.1.2矩陣函數(shù)的另一種定義設(shè)矩陣A的最小多項(xiàng)式為2021/5/98

定理7.1.3

定義7.1.2則定義矩陣函數(shù)f(A)為2021/5/99

定理7.1.42021/5/910

定理7.1.5

定理7.1.62021/5/911其中且(7.1.25)給出的矩陣函數(shù)f(A)與A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J中Jordan塊的排列次序及變換矩陣P的選取均無(wú)關(guān)。

定理7.1.72021/5/912

定理7.1.82021/5/9137.2矩陣值函數(shù)7.2.1矩陣值函數(shù)7.2.2矩陣值函數(shù)的分析運(yùn)算2021/5/9147.2.1矩陣值函數(shù)

定義7.2.1稱(chēng)為定義在(a,b)上的矩陣值函數(shù)。

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，得到向量值函數(shù)。通常用

等形式表示。2021/5/915定義7.2.2

區(qū)間(a,b)上m×n矩陣值函數(shù)A(x)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱(chēng)為A(x)的秩，記為rank(A(x))。特別地，如果A(x)是區(qū)間(a,b)上n階矩陣值函數(shù)，并且rank(A(x))=n，則稱(chēng)A(x)為滿秩的。

定義7.2.3則稱(chēng)A(x)在(a,b)上可逆，并稱(chēng)B(x)為A(x)的逆矩陣，記為A-1(x)。2021/5/916定理7.2.1

n階矩陣值函數(shù)A(x)在區(qū)間(a,b)上可逆的充分必要條件是|A(x)|在(a,b)上處處不為零，并且其中是A(x)的伴隨矩陣值函數(shù)，Aij(x)是A(x)中元素aij

(x)的代數(shù)余子式。2021/5/9177.2.2矩陣值函數(shù)的分析運(yùn)算

定義7.2.42021/5/9182021/5/919

定義7.2.52021/5/920矩陣值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算具有下列性質(zhì)：2021/5/921

因?yàn)榫仃嚦朔](méi)有交換律，一般地，對(duì)正整數(shù)

m>1和可導(dǎo)的n階矩陣值函數(shù)A(x)

定理7.2.2

如果n階矩陣值函數(shù)A(x)在(a,b)上可逆且可導(dǎo)，則2021/5/922

定義7.2.6

為A(x)在[a,b]上的積分。矩陣值函數(shù)的積分具有如下性質(zhì)：2021/5/923(3)

對(duì)常數(shù)矩陣A和C，有

(4)

如果矩陣值函數(shù)A(x)在[a,b]上連續(xù)，則

(5)

如果矩陣值函數(shù)A’(x)在[a,b]上連續(xù)，則2021/5/924

定義7.2.72021/5/925矩陣值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有如下性質(zhì)：2021/5/9262021/5/9277.3矩陣值函數(shù)在微分方程組中的應(yīng)用一階線性微分方程組2021/5/928其中2021/5/929方程組(7.3.1)的初始條件可以表示成定理7.3.1

設(shè)A是n階常數(shù)矩陣，則微分方程組2021/5/930定義7.3.1

設(shè)A是n階常數(shù)矩陣，如果對(duì)任意的t0和x0，初值問(wèn)題定理7.3.2

對(duì)任意的t0和x0，初值問(wèn)題(7.3.8)的解x(t)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣A的特征值都有負(fù)實(shí)部。2021/5/931定義7.3.2

設(shè)A是n階矩陣，如果A的特征值都有負(fù)實(shí)部，則稱(chēng)A為穩(wěn)定矩陣。定理7.3.3

設(shè)A是n階常數(shù)矩陣，則微分方程組2021/5/9327.4*

特征對(duì)的靈敏度分析

定理7.4.1則方程組2021/5/933

定理7.4.2則方程組2021/5/934證明是非奇異矩陣，并且令2021/5/935

定理7.4.32021/5/936由(7.4.3)和(7.4.6)得令2021/5/937由定理7.4.1知，方程組2021/5/938令由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有2021/5/939由定理7.4.1知，方程組2021/5/940令由(7.4.8)