（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)27.4 相似三角形-一線三等角綜合應(yīng)用（原卷版）

（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)27.4相似三角形-一線三等角綜合應(yīng)用【方法技巧】如圖，∽（一線三等角）如圖，∽（一線三直角）如圖，特別地，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)：∽∽平分，平分。一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個(gè)等角（直角）或一個(gè)直角時(shí)，可構(gòu)造“一線三等角”型相似?！绢愋?：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】1．（2021秋?長安區(qū)期末）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．2.如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．3.已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長．4.（2020?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABDC為矩形，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)M為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥MC，MN與邊BD交于點(diǎn)N．（1）當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段BN的長；（2）直接寫出：當(dāng)DN最小時(shí)△MNB的面積為．5．（2019?玉州區(qū)二模）已知：如圖，正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，AM⊥DE于點(diǎn)M，CN⊥DE于點(diǎn)N．（1）求證：MN＝DM﹣AM；（2）連接AN，如果＝，求證：MN＝ME．6．（2022?郴州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）如圖2，連接CF，過點(diǎn)B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí)，求線段DE的長．【類型2：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】7．（2022春?定海區(qū)校級(jí)月考）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點(diǎn)C，分別過A、B兩點(diǎn)作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點(diǎn)，過D作AD的垂線交AB于點(diǎn)E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點(diǎn)E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．【類型3：特殊“K”型圖】8．（2022秋?二道區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長為．9．（2020秋?南京期末）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長．10.如圖，AB＝9，AC