初中奧數(shù)題及答案

初中奧數(shù)題試題一

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.如果a,b都代表有理數(shù)，并且a+b=0,那么（）

A.a,b都是0

B.a,b之一是0

C.a,b互為相反數(shù)

D.a,b互為倒數(shù)

答案：C

解析：令a=2,b=-2,滿足2+（—2）=0,由此a、b互為相反數(shù)。

2.下面的說法中正確的是（）

A.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是單項(xiàng)式

B.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式

C.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的和是多項(xiàng)式

D.整式與整式的和是整式

答案：D

解析：X2,x3都是單項(xiàng)式.兩個(gè)單項(xiàng)式x3,X2之和為X?+x2是多項(xiàng)式，排除A。兩個(gè)單項(xiàng)

式X?,2x2之和為3x2是單項(xiàng)式，排除比兩個(gè)多項(xiàng)式X3+X2與x3—x2之和為2x3是個(gè)單

項(xiàng)式，排除C,因此選Do

3.下面說法中不正確的是（）

A.有最小的自然數(shù)

B.沒有最小的正有理數(shù)

C.沒有最大的負(fù)整數(shù)

D.沒有最大的非負(fù)數(shù)

答案：C

解析：最大的負(fù)整數(shù)是-1,故C錯(cuò)誤。

4.如果a,b代表有理數(shù)，并且a+b的值大于a—b的值，那么（）

A.a,b同號(hào)

B.a,b異號(hào)

C.a>0

D.b>0

答案：D

5.大于一n并且不是自然數(shù)的整數(shù)有（）

A.2個(gè)

B.3個(gè)

C.4個(gè)

D.無數(shù)個(gè)

答案：C

解析：在數(shù)軸上容易看出：在一TT右邊0的左邊（包括0在內(nèi)）的整數(shù)只有一3,-2,

-1,0共4個(gè).選C。

6.有四種說法：

甲.正數(shù)的平方不一定大于它本身；

乙.正數(shù)的立方不一定大于它本身；

丙.負(fù)數(shù)的平方不一定大于它本身；

T.負(fù)數(shù)的立方不一定大于它本身。

這四種說法中，不正確的說法的個(gè)數(shù)是（）

0個(gè)

A.

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.

3個(gè)

答案：B

解析：負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，所以一定大于它本身，故丙錯(cuò)誤。

7.a代表有理數(shù)，那么，a和一a的大小關(guān)系是（）

A.a大于一a

B.a小于一a

C.a大于一a或a小于一a

D.a不一定大于一a

答案：D

解析：令a=0,馬上可以排除A、B、C,應(yīng)選D。

8.在解方程的過程中，為了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的兩邊（）

A.乘以同一個(gè)數(shù)

B.乘以同一個(gè)整式

C.加上同一個(gè)代數(shù)式

D.都加上1

答案：D

解析：對(duì)方程同解變形，要求方程兩邊同乘不等于0的數(shù)，所以排除A。我們考

察方程X—2=0,易知其根為x=2.若該方程兩邊同乘以一個(gè)整式x—1,得（x—D（x—2）=0,

其根為x=1及x=2,不與原方程同解，排除B。同理應(yīng)排除C.事實(shí)上方程兩邊同時(shí)加上一

個(gè)常數(shù)，新方程與原方程同解，對(duì)D,這里所加常數(shù)為1,因此選D.

9.杯子中有大半杯水，第二天較第一天減少了10%,第三天又較第二天增加了

10%,那么，第三天杯中的水量與第一天杯中的水量相比的結(jié)果是（）

A.一樣多

B.多了

C.少了

D.多少都可能

答案：C

解析：設(shè)杯中原有水量為a,依題意可得，

第二天杯中水量為ax（1-10%）=0.9a；

第三天杯中水量為（0.9a）x（1+10%）=0.9x1.1xa；

第三天杯中水量與第一天杯中水量之比為0.99：1,

所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，選C。

10.輪船往返于一條河的兩碼頭之間，如果船本身在靜水中的速度是固定的，那

么，當(dāng)這條河的水流速度增大時(shí)，船往返一次所用的時(shí)間將（）

A.增多

B.減少

C.不變D.增多、減少都有可能

答案：A

二、填空題(每題1分，共10分)

1.198919902-198919892=。

答案：198919902-198919892

=(19891990+19891989)x(19891990-19891989)

=(19891990+19891989)x1=39783979?

解析:利用公式班與=(a+b)(a-b)計(jì)算。

2.1—2+3—4+5—6+7—8+…+4999—5000=____。

答案：1-2+3-4+5-6+7-8+...+4999-5000

=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+...+(4999-5000)

=-2500o

解析：本題運(yùn)用了運(yùn)算當(dāng)中的結(jié)合律。

3.當(dāng)a=-0.2,b=0.04時(shí)，代數(shù)式a?-b的值是。

答案：0

解析：原式==(-0.2尸一0.04=0。把已知條件代入代數(shù)式計(jì)算即可。

4.含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽

水的重是千克。

答案：45(千克)

解析：食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60x30%(千克)，

設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克，

即60x30%=40%x

解得：x=45(千克)。

遇到這一類問題，我們要找不變量，本題中鹽的含量是一個(gè)不變量，通過它列出

等式進(jìn)行計(jì)算。

三、解答題

1.甲乙兩人每年收入相等，甲每年儲(chǔ)蓄全年收入的，乙每月比甲多開支100元,

三年后負(fù)債600元，求每人每年收入多少？

答案：解：設(shè)每人每年收入x元，甲每年開支4/5x元，依題意有：

3(4/5X+1200)=3x+600

即(3-12/5)x=3600-600

解得，x=5000

答：每人每年收入5000元

2.若S=15+195+1995+19995+???+199…95,則和數(shù)S的末四位數(shù)字的和

是多少？“個(gè)9

答案：S=(20-5)+(200-5)+-+(20-0-5)

45個(gè)0

=20+200+-+200-0-5X45

'---V---'

45個(gè)0

=22-20-225

45個(gè)2

=22…21995.

42個(gè)2

所以S的末四位數(shù)字的和為1+9+9+5=24。

3.試確定等式|上士|=丘心r0)成立的條件。

aa

答案：因?yàn)樗取?3=_二±,所以山40

aaaa0

要使"上40成立，須當(dāng)a〉0時(shí)，a-b<0,即a<b；當(dāng)a<0時(shí)，a-b>0,即a>b。

即當(dāng)b》a〉0或b《a〈O時(shí)，等式成立

4.一個(gè)人以3千米/小時(shí)的速度上坡，以6千米/小時(shí)的速度下坡，行程12千米

共用了3小時(shí)20分鐘，試求上坡與下坡的路程。

答案：設(shè)上坡路程為x千米，下坡路程為y千米.依題意則：

x+y=12,①

②

〔363

由②有2x+y=20,③

由①有y=12-x,將之代入③得2x+12-x=20o

所以x=8(千米)，于是y=4(千米)。

答：上坡路程為8千米，下坡路程為4千米。

5.求和：

3+5+-----7-----+???+------2--n--+--l-------

1*2*----2*3*53*4*6n(n+l)(n+3)'

O

答案：第n項(xiàng)為

2n+1_11

n(n_l)(n+3)=n(n+3)+(n+l)(n+3)

所以

+???+-I-------------I+-I-------------------

31nn+3j21n+ln+3

1(111111)

31123n+1n+2n+3)

+3，,)

2{23n+2n+3j

_37155

=

36-3(n+1)-6(n+2)-6(n+3)o

6.證明：質(zhì)數(shù)p除以30所得的余數(shù)一定不是合數(shù)。

證明：設(shè)p=30q+r,0WrV30,

因?yàn)閜為質(zhì)數(shù)，故rWO,即0<rV30。

假設(shè)r為合數(shù)，由于r<30,所以r的最小質(zhì)約數(shù)只可能為2,3,5。

再由p=30q+r知，當(dāng)r的最小質(zhì)約數(shù)為2,3,5時(shí)，p不是質(zhì)數(shù)，矛盾。

所以，r一定不是合數(shù)。

7.若p,q,至二，四二都是整數(shù)，且p>l,q>l,求p+q的值。

qp

解：設(shè)

qp

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即

(4-m)pq+1=2(p+q)o

可知m<4.由①，m>0,且為整數(shù)，所以m=1,2,3.下面分別研究p,

q。

⑴若m=1時(shí)，有

汩=1,

q

'2q-l

L。

解得p=1,q=1,與已知不符，舍去.

(2)若m=2時(shí)，有

f2p-l2=1,

——=2,

qq

或《

2q-l2q-l

——=1;—=2

PPO

因?yàn)?p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時(shí)無解.

(3)若m=3時(shí)，有

'Q=3(2p-l

——=1,

q

或《

^1=3

P'

解之得

：p=5,P=3,

q=3;q=5o

故p+q=8o

初中奧數(shù)題試題二

一、選擇題

1.數(shù)1是()

A.最小整數(shù)

B.最小正數(shù)

C.最小自然數(shù)

D.最小有理數(shù)

答案：C

解析：整數(shù)無最小數(shù)，排除A；正數(shù)無最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無最小數(shù)，排除

Do1是最小自然數(shù)，正確，故選C。

2.a為有理數(shù)，則一定成立的關(guān)系式是()

A.7a>a

B.7+a>a

C.7+a>7

D.|a|27

答案：B

解析:若a=0,7X0=0排除A；7+0=7排除C；|0|V7排除D,事實(shí)上因?yàn)?>0,

必有7+a>0+a=a.選Bo

3.3.1416X7.5944+3.1416X(-5.5944)的值是()

A.6.1632

B.6.2832

C.6.5132

D.5.3692

答案：B

解析:3.1416X7.5944+3.1416X(-5.5944)

=3.1416(7.5944-5.5944)=2X3.1416

=6.2832,選B。

4.在-4,-1,-2.5,-0.01與T5這五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)與絕對(duì)值最大的那個(gè)數(shù)

的乘積是()

A.225

B.0.15

C.0.0001

D.1

答案：B

解析：-4,-1,-2.5,-0.01與-15中最大的數(shù)是-0與1,絕對(duì)值最大的數(shù)是T5,

(-0.01)X(-15)=0.15,選B。

二、填空題

1.計(jì)算:(-1)+(-1)-(-1)X(-1)-r(-1)=o

答案：(-1)+(-1)-(-1)X(-1)4-(-1)=(-2)-(-1)=-1o

2.求值:(-1991)-|3-|-31||=-

答案：(T99D-13T-31||=T991-28=-2019。

3.n為正整數(shù)，1990=1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個(gè)位、依次排列

組成的四位數(shù)是8009。則n的最小值等于。

答案：4

解析：1990"的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字.即為0000,即1990n

末位至少要4個(gè)0,所以n的最小值為4。

4.不超過(T.7)2的最大整數(shù)是o

答案:2

解析:(-1.7)2=2.89,不超過2.89的最大整數(shù)為2。

5.一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7,則這個(gè)質(zhì)數(shù)是o

答案：29

解析：個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18,29,其中只有29是質(zhì)數(shù)。

三、解答題

1.已知3x2-x=L求6x3+7x2-5x+2000的值。

答案：原式

=2X(3X2-X)+3(3X2-X)-2X+2000=2XX1+3X1-2x+2000=2003o

2.某商店出售的一種商品，每天賣出100件，每件可獲利4元，現(xiàn)在他們采用

提高售價(jià)、減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這種商品每漲價(jià)1元，每天

就少賣出10件。試問將每件商品提價(jià)多少元，才能獲得最大利潤？最大利潤是

多少元？

答案：原來每天可獲利4X100元，若每件提價(jià)x元，則每件商品獲利(4+x)元，

但每天賣出為(100-1Ox)件。

如果設(shè)每天獲利為y元，

則y=(4+x)(lOO-lOx)

=400+100x-40x-10x2

=-10(x2-6x+9)+90+400

=-10(x—3)2+490。

所以當(dāng)x=3時(shí)，y最大=490元，即每件提價(jià)3元，每天獲利最大為490元。

3.如圖1-96所示，已知CBJ_AB,CE平分/BCD,DE平分NCDA,Z1+

Z2=90°。求證：DALAB。

圖1-96

證明：VCEWZBCD,DE平分NADC及N1+N2=90°,

.,.ZADC+ZBCD=180°,

...AD〃BC。

又?:AB_LBC,

AABlADo

4.求方程IxyI-I2xI+IyI=4的整數(shù)解。

答案:IxIIyI-2IxI+IyI=4,即IxI(IyI-2)+(IyI-2)=2,

所以(IxI+1)(IyI-2)=2。

因?yàn)镮xI+1>0,且x,y都是整數(shù)，所以

IxI+1=1,xI+1=2,

或＜

IyI-2=2；yI-2=1。

,fr

Xj=0,x2=0,x3=1,

所以有卜=4卜=3；

y4=-3;ly=3；y=-3

X5o6

5.王平買了年利率7.11%的三年期和年利率為7.86%的五年期國庫券共35000

元，若三年期國庫券到期后，把本息再連續(xù)存兩個(gè)一年期的定期儲(chǔ)蓄，五年后與

五年期國庫券的本息總和為47761元，問王平買三年期與五年期國庫券各多少？

(一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為5.22%)

答案：設(shè)設(shè)王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則

'X+y=35000,

x(1+0,0711X3)(1+0.0522)2

+y(1+0,0786X5)=47761,

因?yàn)閥=35000-x,

所以x(1+0.0711X3)(1+0.0522)2+(35000-X)(1+0.0786X5)=47761,

所以1.3433x+48755-1.393x=47761,

所以0.0497x=994,

所以x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。

，.

y=kx+m,

6.對(duì)k,m的哪些值，方程組卜=x+4至少有一組解？

答案：因?yàn)?k—1)x=m-4,①

當(dāng)k盧1時(shí)，①有唯一解x=此時(shí)y=m+半答，所以當(dāng)k盧1,

k-1k-1

m為一切實(shí)數(shù)時(shí)，方程組有唯一解.當(dāng)k=1,m=4時(shí)，①的解為一切實(shí)數(shù)，所

以方程組有無窮多組解。

當(dāng)k=1,mW4時(shí)，①無解。

所以，k#1,m為任何實(shí)數(shù)，或k=1,m=4時(shí)，方程組至少有一組解。

初中奧數(shù)題試題三

一、選擇題

1.下面給出的四對(duì)單項(xiàng)式中，是同類項(xiàng)的一對(duì)是()

A.x?y與-3x?z

B.3.22m2n'!與n'm2

C.0.2a2b與22ab2

D.Habe與ab

答案：B

解析：字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的兩個(gè)式子叫同類項(xiàng)。

2.(xT)-(『x)+(x+l)等于()

A.3x-3

B.x-1

C.3x-l

D.x-3

答案：C

解析:(x~l)-(l_x)+(x+1)

=x-l-l+x+x+l=3x-l,選C。

3.兩個(gè)10次多項(xiàng)式的和是()

A.20次多項(xiàng)式

B.10次多項(xiàng)式

C.100次多項(xiàng)式

D.不高于10次的多項(xiàng)式

答案：D

解析：多項(xiàng)式/°+x與-x'°+x2之和為x?+x是個(gè)次數(shù)低于10次的多項(xiàng)式，因此排

除了A、B、C,選D。

4.若a+lVO,則在下列每組四個(gè)數(shù)中，按從小到大的順序排列的一組是()

A.a,-1,1,-a

B.一a,-1,1,a

C.~19a,1

D.-1,a>1,-a

答案：A

解析：由a+lVO,知aVT,所以-a>l。于是由小到大的排列次序應(yīng)是aVT

<l<-a>選A。

5.a=-123.4-(-123.5),b=123.4-123.5,c=123.4-(-123.5)，則()

A.c>b>a

B.c>a>b

C.a>b>c

D.b>c>a

答案：B

解析:易見a=-123.4+123.5=0.1,b=123.4-123.5<0,c=123.4-(-123.5)>123.4

>a,所以bVaVc,選B。

6.若a<0,b>0,且那么下列式子中結(jié)果是正數(shù)的是()

A.(a-b)(ab+a)

B.(a+b)(a-b)

C.(a+b)(ab+a)

D.(ab-b)(a+b)

答案:A

因?yàn)閍<0,b>0.所以|a|=-a,lb=b.由于|a|<Ib[得-a<b,因此a+b>0,

a-b<0oab+a<0,ab-b<0o所以應(yīng)有(a-b)(ab+a)>0成立，選A。

7.從2a+5b減去4a-4b的一半，應(yīng)當(dāng)?shù)玫?)

A.4a-b

B.b-a

C.a-9b

D.7b

答案：D

解析：2a+5b——(4a-4b)=2a+5b-2a+2b=7b,選D。

2

8.a,b,c,m都是有理數(shù)，并且a+2b+3c=m,a+b+2c=m,那么b與c()

A.互為相反數(shù)

B.互為倒數(shù)

C.互為負(fù)倒數(shù)

D.相等

答案：A

解析：因?yàn)閍+2b+3c=m=a+b+2c,所以b+c=0,即b,c互為相反數(shù)，選A。

9.張梅寫出了五個(gè)有理數(shù)，前三個(gè)有理數(shù)的平均值為15,后兩個(gè)有理數(shù)的平均

值是10,那么張梅寫出的五個(gè)有理數(shù)的平均值是()

A.5

B.8

C.12

D.13

答案：D

解析：前三個(gè)數(shù)之和=15X3,后兩個(gè)數(shù)之和=10X2。所以五個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)

為(45+20)4-5=13,選D。

二、填空題(每題1分，共10分)

1.2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=。

答案：29

解析：前12個(gè)數(shù)，每四個(gè)一組，每組之和都是0.所以總和為14+15=29。

2.若P=a2+3ab+b2,Q=a2-3ab+b2,則代入到代數(shù)式P-若-2P-(-P-Q)]中，化簡后,

是。

答案：12ab。

解析：因?yàn)镻-[Q-2P-(-P-Q)]

=P-Q+2P+(-P-Q)

=P-Q+2P-P-Q

=2P-2Q=2(P-Q)

以P=a2+3ab+b2,Q=a2-3ab+b,代入,

原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)]

=2(6ab)=12abo

3.小華寫出四個(gè)有理數(shù)，其中每三數(shù)之和分別為2,17,-1,-3,那么小華寫

出的四個(gè)有理數(shù)的乘積等于o

答案:一1728。

解析：設(shè)這四個(gè)有理數(shù)為a、b、c、d,則

a+b+c=2

a+b+d=17

<

a+c+d=-l

b+c+d=-3

有3(a+b+c+d)=15,即a+b+c+d=5。

分別減去每三數(shù)之和后可得這四個(gè)有理數(shù)依次為3,-12,6,8,所以，這四個(gè)

有理數(shù)的乘積=3X(-12)X6X8=-1728o

4.一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%,為了得到4250公斤面粉，至少需要

公斤的小麥。

答案：5000

解析：設(shè)需要x公斤的小麥，則有

x(X-15%)=4250

x=5000

三、解答題

1.解關(guān)于X的方程ax+b_3乂12ab=；。

答案:原式化簡得6(a-1)x=3-6b+4ab,當(dāng)aW1時(shí)，

3-6b+4ab

x=---------

6(a-1)；

當(dāng)a=l,b=(3時(shí)，x為任何實(shí)-數(shù)；當(dāng)a=l,爐楙3時(shí)，無解。

2-解方程弁+京+k=2|￡+5+力，其中a+b+田口。

答案：

將原方程變形為=0,

由此可解得x=a+b+c。

3.液態(tài)農(nóng)藥一桶，倒出8升后用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿,

這時(shí)農(nóng)藥的濃度為72%,求桶的容量。

答案：

設(shè)