湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（J） 同步練習(xí) 正方形

2.7正方形

要點(diǎn)感知1有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形叫

作正方形.

預(yù)習(xí)練習(xí)1-1已知四邊形ABCD中，ZA=ZB=ZC=90°,如果再添加一

個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（）

A.ZD=90°B.AB=CDC.AD=BC

D.BC=CD

要點(diǎn)感知2正方形的四條邊都，四個(gè)角都是.正

方形的對(duì)角線，且互相.

預(yù)習(xí)練習(xí)2-1已知正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且AC=16cm,

貝!JD0=cm,B0=cm,Z0CD=.

要點(diǎn)感知3正方形是中心對(duì)稱圖形，是它的對(duì)稱中心.正方

形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在直線，都是它的對(duì)稱軸.

預(yù)習(xí)練習(xí)3-1如圖，正方形的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為

_________cm2.

AD

B

知識(shí)點(diǎn)1正方形的性質(zhì)

1.正方形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有（）

A.2條B.4條C.6條

D.8條

2.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC,BE相交于點(diǎn)F,

則NBFC為()

A.450B.55°C.60°

D.75°

第2題圖第4題圖

3.已知正方形ABCD的對(duì)角線AC=&，則正方形ABCD的周長為

4.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點(diǎn)E,使AE=AC,則NBCE的

度數(shù)是—

5.如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn).求證：AE=CE.

知識(shí)點(diǎn)2正方形的判定

6.下列說法不正確的是（）

A.一組鄰邊相等的矩形是正方形

B.對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

7.在四邊形ABCD中，0是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的

條件是()

A.AC=BD,AB/7CD,AB=CD

B.AD〃BC,ZA=ZC

C.AO=BO=CO=DO,AC1BD

D.AO=CO,BO=DO,AB=BC

8.如圖正方形ABCD中，E,F分別為BC,CD上的點(diǎn)，且AE_LBF,垂足為

G,求證:AE=BF.

AD

F

BE

9.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC,ZABC=ZCDA=90°，BELAD于點(diǎn)E,且

四邊形ABCD的面積為8,則BE等于（）

A.2B.3C.2V2

D.273

10.如圖，將n個(gè)邊長都為2的正方形按照如圖所示擺放，點(diǎn)AI,A2,…,4

分別是正方形的中心，則這n個(gè)正方形重疊部分的面積之和是（）

A.nB.n-1C.（-）n-1

4

D.—n

4

11.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC,②NABC=90°,③AC=BD,

④AC_LBD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方

形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）

A.選①②B.選②③C.選①③

D.選②④

12.如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E在AB邊上，EFJ_AC于點(diǎn)

F,連接EC,AF=3,△EFC的周長為12,則EC的長為.

第13題圖

13.如圖，正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線

BD上移動(dòng)，則PE+PC的最小值是

14.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作ME〃

CD交BC于點(diǎn)E,作MF/7BC交CD于點(diǎn)F.求證AM=EF.

15.如圖，四邊形ABCD是正方形，BE±BF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G.

(1)求證：AE=CF；

(2)若NABE=55°，求NEGC的大小.

AD

16.正方形ABCD的邊長為3,點(diǎn)E,F分別是AB,BC邊上的點(diǎn)，且NEDF=45

將4DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ADCM.

(1)求證:EF=FM；

(2)當(dāng)AE=1時(shí),求EF的長.

17.如圖，已知Rt/XABC中，ZABC=90°,先把AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°后至△DBE,再把AABC沿射線AB平移至△FEG,DE,FG相交于點(diǎn)H.

(1)判斷線段DE、FG的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)連接CG,求證：四邊形CBEG是正方形.

ABFE

18.如圖所示，點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),

PE±MC,PF1BM,垂足分別為點(diǎn)E,F.

(1)當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PEMF為矩形？猜想

并說明理由.

(2)在⑴中，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PEMF為正方形，為什么？

BP

參考答案

要點(diǎn)感知1平行

預(yù)習(xí)練習(xí)1-1D

要點(diǎn)感知2相等直角相等垂直平分

預(yù)習(xí)練習(xí)2-18845°

要點(diǎn)感知3對(duì)角線的交點(diǎn)以及過每一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線

預(yù)習(xí)練習(xí)3-18

1.B2.C3.44.22.5°

5.證明：?.?四邊形ABCD是正方形,

，AB=BC,ZABD-ZCBD.

又BE=BE,

/.△ABE^ACBE(SAS).

.\AE=CE.

6.D7.C

8.證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

/.AB=BC,ZABC=ZC=90°,

AZBAE+ZAEB=90°.

VAE1BF,垂足為G,

.\ZCBF+ZAEB=90°.

/.ZBAE=ZCBF.

'4BAE=NCBF,

在AABE與4BCF中，\AB=BC,

NA8E=NBCF,

.,.△ABE且△BCF(ASA).

/.AE=BF.

9.C10.B11.B12.513.75

14.證明：連接MC.

?.?正方形ABCD,

.?.AD=CD,ZADM=ZCDM.

又DM=DM,

.,.△ADM^ACDM(SAS).

，AM=CM.

?「ME〃CD,MF//BC,

I.四邊形CEMF是平行四邊形.

VZECF=90°,

.'.口CEMF是矩形.

JEF=MC.

又AM=CM,

/.AM=EF,

15.(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形,

.\AB=BC,ZABC=90°.

VBE±BF,.\ZEBF=90o.

JZABE=ZCBF.

VAB=BC,ZABE=ZCBF,BE=BF,

/.△ABE^ACBF,

，AE=CF.

(2)VBE=BF,NEBF=90°,

.,.ZBEF=45°.

VZABC=90°,NABE=55°,

.\ZGBE=35°.

/.ZEGC=80o.

16.⑴證明：:△DAE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°W^JADCM,

ADE=DM,ZEDM=90°.

.\ZEDF+ZFDM=90°.

VZEDF=45°,

：.ZFDM=ZEDF=45°.

又.；DF=DF,

.,.△DEF^ADMF,

二.EF=MF.

(2)設(shè)EF==1,

.\BF=BM-MF=BM-EF=4-x.

,/EB=2,

在RtAEBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2.

即2?+(4-x)2=x2,解得x=2.

2

?EF的長為4.

17.(1)DE±FG,

理由如下：由題意得NA=NEDB=NGFE,ZABC=ZDBE=90°,

.\ZBDE+ZBED=90o.

.,.ZGFE+ZBED=90°.

.,.ZFHE=90°,即DEJ_FG.

(2)VAABC沿射線AB平移至△FEG,

...CB〃GE,CB=GE.

...四邊形CBEG是平行四邊形.

VZABC=ZGEF=90°,

...四邊形CBEG是矩形.

VBC=BE,

四邊形CBEG是正方形.

18.(1)當(dāng)矩形ABCD的長是寬的2倍時(shí)，四邊形PEMF為矩形.

理由：?.?四邊形ABCD為矩形，

AZBAM=ZCDM=90°,AB=CD.

又AD=2AB=2CD,AM=DM,

.\AM=AB=DM=DC.

AZAMB=ZDMC=45°.

.\ZBMC=90°.

又PEJ_C