2019年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2019年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）（2019?陜西）計算：（-3）0=（）

A.1B.0C.3D.--

3

【考點】6E：零指數(shù)幕.

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用零指數(shù)暴的性質(zhì)計算得出答案.

【解答】解：（-3）0=1.

故選：A.

【點評】此題主要考查了零指數(shù)幕的性質(zhì)，正確掌握零指數(shù)幕的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（3分）（2019?陜西）如圖，是由兩個正方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖為（

【考點】U2：簡單組合體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可.

【解答】解：從上往下看，所以小正方形應(yīng)在大正方形的右上角.

故選：D.

【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

3.（3分）（2019?陜西）如圖，OC是/408的角平分線，/〃。2,若Nl=52°,則N2的

度數(shù)為（)

AC

------------O-----------B

A.52°B.54°C.64°D.69°

【考點】JA：平行線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到NBOC=64°,再根據(jù)平行

線的性質(zhì)，即可得出N2的度數(shù).

【解答】解：

.?.Z1+ZAOB=180°,

，/AO8=128°,

VOCWZA0B,

：.ZBOC=64°,

又/〃。8,且/2與/80C為同位角，

；./2=64°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等；兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補.

4.（3分）（2019?陜西）若正比例函數(shù)y=-2元的圖象經(jīng)過點。（a-1,4）,則。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】由正比例函數(shù)圖象過點。，可知點O的坐標滿足正比例函數(shù)的關(guān)系式，由此可

得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：?.?正比例函數(shù)y=-2%的圖象經(jīng)過點O（a-1,4）,

.,.4=-2（a-1）,解得：a=-1.

故選：A.

【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是將點。的坐標代入正

比例函數(shù)關(guān)系得出關(guān)于a的一元一次方程.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題

目時，將點的坐標代入函數(shù)解析式中找出方程是關(guān)鍵.

5.（3分）（2019?陜西）下列計算正確的是（）

A.2a2,3a2=6a2B.（-3a2b）2=6a4b2

C.（a-b）2=a2-b2D.-a2+2a2=a1

【考點】41：整式的混合運算.

【專題】11：計算題；512：整式.

【分析】根據(jù)各個選項中的式子可以計算出正確的結(jié)果，本題得以解決.

【解答】解：：2a2?3/=6a4,故選項A錯誤，

：（-3/匕）2=9〃%2,故選項B錯誤，

,/（a-b）2=a2-lab+b2,故選項C錯誤，

-a2+2a2=a2,故選項。正確，

故選：D.

【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的計算方法.

6.（3分）（2019?陜西）如圖，在△ABC中，ZB=30°,NC=45°,4D平分N8AC交

BC于點D,DELAB,垂足為E.若DE=1,則BC的長為（）

【考點】KF：角平分線的性質(zhì).

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】過點D作DF±AC于F如圖所示，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF=1,解

直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過點。作于尸如圖所示，

為的平分線，且。于￡,DF±ACF,

:.DE=DF=L

在Rtz\B即中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

在RtZ\C￡）尸中，NC=45°,

...△CO尸為等腰直角三角形,

:.CD=4^DF=M，

：.BC=BD+CD=2+42>

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2019?陜西）在平面直角坐標系中，將函數(shù)y=3尤的圖象向上平移6個單位長度,

則平移后的圖象與x軸的交點坐標為（）

A.（2,0）B.（-2,0）C.（6,0）D.（-6,0）

【考點】F9：一次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)“上加下減”的原則求得平移后的解析式，令y=0,解得即可.

【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將函數(shù)y=3尤的圖象向上平移6個單位長度

所得函數(shù)的解析式為y=3x+6,

:此時與x軸相交，貝Uy=O,

；.3元+6=0,即x=-2,

...點坐標為（-2,0）,

故選：B.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此

題的關(guān)鍵.

8.（3分）（2019?陜西）如圖，在矩形中，AB=3,BC=6,若點E,尸分別在AB,

CO上，且8E=2AE,DF=2FC,G,H分別是AC的三等分點，則四邊形的面積

BC

A.1B.3C.2D.4

2

【考點】L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；LB：矩形的性質(zhì).

【專題】555：多邊形與平行四邊形；556：矩形菱形正方形.

【分析】由題意可證EG〃BC,EG=2,HF//AD,HF=2,可得四邊形為平行四

邊形，即可求解.

【解答】解：,;BE=2AE,DF=2FC,嶇』，空=工

BE2DF2

：G、H分別是AC的三等分點

.AG1CH=1

,?而記AH1

.AE_AG

"Bf=GC

：.EG//BC

：.EG=2,

同理可得HF=2

，四邊形EHFG為平行四邊形，且EG和HF間距離為1

??S四邊形EHFG=2X1=2,

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，證明四邊形EHFG為平行

四邊形是本題的關(guān)鍵.

9.（3分）（2019?陜西）如圖，AB是OO的直徑，EF,EB是的弦，且EF=EB,EF

與AB交于點C,連接。凡若NAOF=40°,則NF的度數(shù)是（）

E

A.20°B.35°C.40°D.55°

【考點】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M5：圓周角定理.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計算.

【分析】連接/3,得到NR95=140°,求出N瓦8NOb8即可.

【解答】解：連接尸叢

E

VZAOF=40°,

：.ZFOB=1SO°-40°=140°,

???ZFEB=^ZFOB=70°

2

9：EF=EB

:?/EFB=NEBF=55°,

■:FO=BO,

：?/OFB=NOBF=22°,

:./EFO=/EBO,

ZEFO=ZEFB-ZOFB=35°,

故選：B.

【點評】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識，屬于中考?？碱}型.

10.（3分）（2019?陜西）在同一平面直角坐標系中，若拋物線y=7+（2m-1）x+2m-4

與y=/-（3加+〃）x+幾關(guān)于y軸對稱，則符合條件的處〃的值為（）

A.m=—,n=-B.m=5,n=-6

77

C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2

【考點】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質(zhì).

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱，a,c不變，6變?yōu)橄喾磾?shù)列出方程組，解方程組即可求得.

【解答】解：：拋物線y=/+（2相-1）x+2%-4與y=/-（3加+力）x+〃關(guān)于y軸對稱，

...（2nrl=3"n,解之得［中1,

121rl-4=n〔n=-2

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共4小題，每小題3分，共12分）

11.（3分）（2019?陜西）己知實數(shù)0.16,V3，n,每，編,其中為無理數(shù)的是

m編_?

【考點】22：算術(shù)平方根；24：立方根；26：無理數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概

念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)

小數(shù)是無理數(shù).由此即可判定選擇項.

【解答】解：體:5,J~、0.16是有理數(shù)；

2

無理數(shù)有“、it、起.

故答案為：M、m起.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：it,2TT等；

開方開不盡的數(shù)；以及像0.2020020002…相鄰兩個2之間0的個數(shù)逐次加1,等有這樣規(guī)

律的數(shù).

12.（3分）（2019?陜西）若正六邊形的邊長為3,則其較長的一條對角線長為

【考點】MM：正多邊形和圓.

【專題】55B：正多邊形與圓.

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖所示為正六邊形最長的三條對角線，

由正六邊形性質(zhì)可知，△A03,△C。。為兩個邊長相等的等邊三角形，

：.AD=2AB=6,

故答案為6.

【點評】該題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用正

多邊形和圓的性質(zhì)來分析、判斷、解答.

13.(3分)(2019?陜西)如圖，D是矩形A02C的對稱中心，A(0,4),B(6,0),若一

個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點Q,交AC于點則點〃的坐標為(為，4).

一2

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；LB：矩形的性質(zhì)；R4：中心對稱.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)求得C(6,4),由。是矩形AO8C的對稱中心，求得0(3,2),

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=k，代入。點的坐標，即可求得上的值，然后根據(jù)反比例

x

函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得M點的坐標.

【解答】解：(0,4),B(6,0),

：.C(6,4),

?/D是矩形AOBC的對稱中心，

：.D(3,2),

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=N,

X

：.k=3X2=6,

...反比例函數(shù)的解析式為y=2,

X

把y=4代入得4=旦，解得尸卷，

故M的坐標為(色，4).

2

故答案為(1,4).

2

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，求得。點的坐標是

解題的關(guān)鍵.

14.(3分)(2019?陜西)如圖，在正方形A3C。中，AB=8,AC與2。交于點O,N是A。

的中點，點M在邊上，且8M=6.尸為對角線上一點，則PM-PN的最大值為

2

BMC

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；PA：軸對稱-最短路線問題.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】作以8。為對稱軸作N的對稱點N,連接PN,MN,依據(jù)PM-PN=PM-PN

WMN,可得當尸，M,N三點共線時，取“="，再求得空=里—=L，即可得出PM

BMAN'3

//AB//CD,/CMN=90°,再根據(jù)△NCM為等腰直角三角形，即可得到CM=MN=2.

【解答】解：如圖所示，作以8。為對稱軸作N的對稱點N,連接PN,MN,

根據(jù)軸對稱性質(zhì)可知，PN=PN,

：.PM-PN=PM-PNWMN,

當P,M,N三點共線時，取“=”，

???正方形邊長為8,

.-.AC=V2AB=哂，

為AC中點，

；.AO=OC=472，

■:N為OA中點，

：.0N=25

：.ON=CN=2V2，

；■?=672-

'：BM=6,

：.CM=AB-BM=8-6=2,

.CM_CN?_1

,,BMAN，￥

：.PM//AB//CD,NCMN=90°,

?：/NCM=45°,

/.△NCM為等腰直角三角形，

:.CM=MN=2,

即PM-PN的最大值為2,

故答案為:2.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，

一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對

稱點.

三、解答題（共78分）

15.（5分）（2019?陜西）計算：-2乂印南+|1-近|-（A-）2

【考點】2C：實數(shù)的運算；6F：負整數(shù)指數(shù)幕.

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用立方根的性質(zhì)以及負指數(shù)幕的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：原式=-2X（-3）+V3-1-4

=1+V3.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

16.（5分）（2019?陜西）化簡：（空2+Y5—）+廿2

22

a+2a-4a-2a

【考點】6C：分式的混合運算.

【專題】11：計算題；513：分式.

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變

形，約分即可得到結(jié)果.

【解答】解:

原式=售籍.喑

=(a+2)2.a(a-2)

(a+2)(a-2)a+2

=4.

【點評】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

17.（5分）（2019?陜西）如圖，在△ABC中，AB=AC,是邊上的高.請用尺規(guī)作

圖法，求作AABC的外接圓.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；MA：三角形的外接圓與外心；N3：作圖一復(fù)雜作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】作線段AB的垂直平分線，交AO于點。以。為圓心，為半徑作。。OO

即為所求.

【解答】解：如圖所示：即為所求.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

18.（5分）（2019?陜西）如圖，點A,E,尸在直線/上，AE=BF,AC//BD,且AC=8O,

求證：CF=DE.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】553：圖形的全等.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到證明△ACP0ZXBOE,根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】證明：

：.AE+EF=BF+EF,即AF=BE,

,JAC//BD,

：.ZCAF=ZDBE,

在△ACP和△BOE中，

'AC=BD

<ZCAF=ZDBE.

,AF=BE

:.AACF注ABDE（SAS）

:.CF=DE.

【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判

定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

19.（7分）（2019?陜西）本學(xué)期初，某校為迎接中華人民共和國建國七十周年，開展了以

“不忘初心，緬懷革命先烈，奮斗新時代”為主題的讀書活動.校德育處對本校七年級

學(xué)生四月份“閱讀該主題相關(guān)書籍的讀書量”（下面簡稱：“讀書量”）進行了隨機抽樣調(diào)

（1）補全上面兩幅統(tǒng)計圖，填出本次所抽取學(xué)生四月份“讀書量”的眾數(shù)為3.

（2）求本次所抽取學(xué)生四月份“讀書量”的平均數(shù)；

（3）已知該校七年級有1200名學(xué)生，請你估計該校七年級學(xué)生中，四月份“讀書量”

為5本的學(xué)生人數(shù).

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統(tǒng)計圖；VC：條形統(tǒng)計圖；W2：加權(quán)平均數(shù);

W5：眾數(shù).

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖可知眾數(shù)為3；

(2)平均數(shù)—3X1+18X2+21X3+12X4+545

二3；

3+18+21+12+6

（3）四月份“讀書量”為5本的學(xué)生人數(shù)=1200義&=120（人）.

(2)平均數(shù)—3X1+18X2+21X3+12X4+545

二3；

3+18+21+12+6

（3）四月份“讀書量”為5本的學(xué)生人數(shù)=1200X且=120（人）,

60

答：四月份“讀書量”為5本的學(xué)生人數(shù)為120人.

【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用.讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)

計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù);

扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

20.（7分）（2019?陜西）小明利用剛學(xué)過的測量知識來測量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度.一天

下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護，他們無法

到達古樹的底部B,如圖所示.于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D,并在點D

處安裝了測量器DC,測得古樹的頂端A的仰角為45°；再在BD的延長線上確定一點G,

使。G=5米，并在G處的地面上水平放置了一個小平面鏡，小明沿著BG方向移動，當

移動帶點/時，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時，測得打?=2米,

小明眼睛與地面的距離跖=1.6米，測傾器的高度。=0.5米.已知點尸、G、。、8在

同一水平直線上，且ERCD、42均垂直于EB,求這棵古樹的高度（小平面鏡的

大小忽略不計）

【考點】SA：相似三角形的應(yīng)用；TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【專題】55E：解直角三角形及其應(yīng)用.

【分析】過點C作CH1AB于點H,則CH=BD,BH=CD=0.5.解RtAAC/7,得出AH

=CH=BD,那么AB=A8+8H=3O+05再證明△EEGs△ABG,根據(jù)相似三角形對應(yīng)

邊成比例求出80=17.5,進而求出AB即可.

【解答】解：如圖，過點C作于點"

則CH=BD,BH=CD=0.5.

在RtZ\AC”中，NACH=45°,

：.AH=CH=BD,

：.AB^AH+BH^BD+0.5.

:EFLFB,AB1FB,

:.NEFG=NABG=90°.

由題意，易知/EGP=/AG8,

:AEFGs叢ABG,

.EF_FG即1.6—2

"ABBGBD+0.55+BD'

解之，得BD=17.5,

17.5+0.5=18(m).

，這棵古樹的高AB為18Ml.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直角三角形，難度一般.

21.(7分)(2019?陜西)根據(jù)記錄，從地面向上11加1以內(nèi)，每升高氣溫降低6℃；

又知在距離地面11切2以上高空，氣溫幾乎不變.若地面氣溫為相(°C),設(shè)距地面的高

度為尤(km)處的氣溫為y(℃)

(1)寫出距地面的高度在11初7以內(nèi)的y與尤之間的函數(shù)表達式；

(2)上周日，小敏在乘飛機從上海飛回西安途中，某一時刻，她從機艙內(nèi)屏幕顯示的相

關(guān)數(shù)據(jù)得知，飛機外氣溫為-26℃時，飛機距離地面的高度為7km,求當時這架飛機下

方地面的氣溫；小敏想，假如飛機當時在距離地面12bw的高空，飛機外的氣溫是多少度

呢？請求出假如當時飛機距離地面12加時，飛機外的氣溫.

【考點】FH：-一次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】533：一次函數(shù)及其應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)氣溫等于該處的溫度減去下降的溫度列式即可；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論解答即可.

【解答】解：⑴根據(jù)題意得：y=m-6x；

(2)將x=7,y—-26y—m-6x,得-26=/w-42,.'.m—16

.,.當時地面氣溫為16℃

Vx=12>ll,

；.y=16-6X11=-50(℃)

假如當時飛機距地面12km時，飛機外的氣溫為-50℃.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)值的求解，要注意自變量的取值范圍和高

于11千米時的氣溫幾乎不再變化的說明.

22.(7分)(2019?陜西)現(xiàn)有A、2兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小

球.其中，A袋裝有2個白球，1個紅球；8袋裝有2個紅球，1個白球.

(1)將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；

(2)小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A,8兩袋中隨機摸出一個小球，摸

出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝.請用列表法或

畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平.

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；X7：游戲公平性.

【專題】543：概率及其應(yīng)用.

【分析】（1）P（摸出白球）=2；

3

（2）由上表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有4種，顏色相同的結(jié)

果有5種P（顏色不相同）=里，P（顏色相同）=$，這個游戲規(guī)則對雙方不公

9999

平

【解答】解：（1）共有3種等可能結(jié)果，而摸出白球的結(jié)果有2種

：.p（摸出白球）=2；

3

（2）根據(jù)題意，列表如下:

AB紅1紅2白

白1（白1,紅1）（白1,紅2）（白1，白）

白2（白2,紅1）（白2,紅2）（白2,白）

紅（紅，紅1）（紅，紅2）（白1,白）

由上表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中顏色不相同的結(jié)果有4種，顏色相同的結(jié)果有5

種

：.P（顏色不相同）=且，P（顏色相同）=$

99

.（.-4-々---5-

99

/.這個游戲規(guī)則對雙方不公平

【點評】本題考查了概率，根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部等可能情況的總數(shù)；②

符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率

23.（8分）（2019?陜西）如圖，AC是。。的一條弦，AP是O。的切線.作并與

AP交于點延長MB交AC于點E,交。。于點。，連接AD

（1）求證：AB=BE；

（2）若。。的半徑R=5,AB=6,求的長.

【考點】MC：切線的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出NEAM=90°,等腰三角形的性質(zhì)

根據(jù)等角的余角相等得出即可證得A2=BE；

（2）證得求得AM=毀，由ND=NC,求得/

5

AMD,即可證得4￡>=AM=毀.

5

【解答】（1）證明：:AP是。。的切線，

：.ZEAM^9Q°,

：.ZBAE+ZMAB=90°,ZAEB+ZAMB=90°.

又,：AB=BM,

：.ZMAB=ZAMB,

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE

（2）解:連接BC

：AC是。。的直徑，

ZABC=90°

在RSBC中，AC=10,AB=6,

:.BC=8,

；BE=AB=BM,

；.EM=12,

由（1）知，ZBAE=ZAEB,

：.AABCsAEAM

J.ZC^ZAME,典=圖1,

ACBC

即絲=幽，

108

5

又：/D=/C,

J.ZD^ZAMD

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握性

質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

24.(10分)(2019?陜西)在平面直角坐標系中，已知拋物線L：y=ax2+(c-a)尤+c經(jīng)過

點A(-3,0)和點8(0,-6),L關(guān)于原點。堆成的拋物線為Z/.

(1)求拋物線L的表達式;

(2)點尸在拋物線17上，且位于第一象限，過點尸作尸軸，垂足為D若

與△AOB相似，求復(fù)合條件的點P的坐標.

VA

6-

5-

4

3

2

1

II1II1,

-6-5-4-3-2-If123456x

-2

-3

-4

-5

-6

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；41：待定系數(shù)法；55D：圖形的相似；66：運算能力.

【分析】(1)將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

(2)分△PODS^,BOA、兩種情況，分別求解.

【解答】解：(1)將點42的坐標代入拋物線表達式得」9a-3"+a)+c=0,解得Ja=l

Ic=-6Ic=-6

??Lzy—~x-5%-6

(2);點A、B在L'上的對應(yīng)點分別為A，(-3,0)、B'(0,-6),

設(shè)拋物線〃的表達式>=/+法+6,

將A，(-3,0)代入丫=/+汝+6,得b=-5,

拋物線Z/的表達式為y=/-5x+6,

A(-3,0),B(0,-6),

.,.AO=3,OB—6,

設(shè)：P(m,m2-5m+6)(m>0),

???PD，y軸，

.?.點。的坐標為(0,zn2-5m+6),

PD=m,OD=m2-5m+6,

RtAPOD與RtAAOB相似，

①△POOS/\BO4時，

即m=2(m2-5/71+6),

OB0A

解得：機=?■或4；

2

②當AOPOsAAOB時，

同理可得：機=1或6；

：尸1、尸2、尸3、尸4均在第一象限，

符合條件的點尸的坐標為(1,2)或(6,12)或(23,43)或(4,2).

【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、三角形相似等，其中(2),

要注意分類求解，避免遺漏.

25.(12分)(2019?陜西)問題提出：

(1)如圖1,已知△ABC,試確定一點使得以A,B,C,。為頂點的四邊形為平行

四邊形，請畫出這個平行四邊形；

問題探究：

(2)如圖2,在矩形A3C。中，AB=4,BC=10,若要在該矩形中作出一個面積最大的

△BPC,且使/BPC=90°,求滿足條件的點P到點A的距離；

問題解決：

(3)如圖3,有一座草根塔A,按規(guī)定，要以塔A為對稱中心，建一個面積盡可能大的

形狀為平行四邊形的草根景區(qū)2COE根據(jù)實際情況，要求頂點8是定點，點8到塔A

的距離為50米，ZCB￡=120°,那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四

邊形景區(qū)BCZJE?若可以，求出滿足要求的平行四邊形8CQE的最大面積；若不可以,

請說明理由.（塔A的占地面積忽略不計）

圖1圖2圖3

【考點】LO：四邊形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）利用平行四邊形的判定方法畫出圖形即可.

（2）以點。為圓心，長為半徑作OO,一定于相交于Pi,尸2兩點，點P,

P2即為所求.

（3）可以，如圖所示，連接8。，作△BOE的外接圓。。，則點E在優(yōu)弧俞上，取血的

中點",連接E'B,E'D,四邊形DE1即為所求.

【解答】解：（1）如圖記為點。所在的位置.

（2）如圖,

'：AB=4,BC=W,.?.取BC的中點則

，以點。為圓心，長為半徑作OO,。。一定于AD相交于Pi,P2兩點,

連接BP1,PiC,Pi。，：NBPC=90°,點尸不能再矩形外；

/.4BPC的頂點Pi或尸2位置時，ABPC的面積最大，

作垂足為E,則0E=3,

：.APi=BE=OB-OE=5-3=2,

由對稱性得AP2=8.

(3)可以，如圖所示，連接8。,

D

圖3

為nBCDE的對稱中心，BA=50,ZCBE=\2Q°,

：.BD=100,/BED=60°

作△BOE的外接圓O。，則點E在優(yōu)弧俞上，取血的中點，連接E'B,E'D,

則戌B=E'D,5.ZBE'D=60°,：./\BE'。為正三角形.

連接/。并延長，經(jīng)過點A至C',使E'A^AC,連接8C',DC,

'：E'A±BD,

，四邊形E'。為菱形，且/C'BE'=120°,

作斯_LB。，垂足為R連接E。，則所WEO+OA-E'O+OA^E'A,

S^BDE—-,BD,EF^^-,BD,E'A—S/^E'BD,

22

s平行四邊形BCDEWS平行四邊形B<?DE，=2SAE，BD=10()2?sin60°=5000^3(m2)

所以符合要求的nBCDE的最大面積為500()7務(wù)/.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角

形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題.

考點卡片

1.算術(shù)平方根

(1)算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個正數(shù)尤的平方等于a,即/=a,那么這個正數(shù)

x叫做a的算術(shù)平方根.記為a.

(2)非負數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)。是非負數(shù)；②算術(shù)平方根a本

身是非負數(shù).

(3)求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根與求一個數(shù)的平方互為逆運算，在求一個非負數(shù)的算術(shù)平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

2.立方根

(1)定義：如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果4=a,那么x叫做。的立方根?記作：圾.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負數(shù)的立方根是負數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

(3)求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù).

注意：符號。3中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負

數(shù)都有唯一一個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負數(shù)沒有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個數(shù)的立方根只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù),

0的立方根是0.

3.無理數(shù)

(I)、定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).

說明：無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù).如圓周

率、2的平方根等.

(2)、無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,13=0.33333…而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù)，比如2=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比；而無理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會判斷無理數(shù)，了解它的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小

數(shù)，③含有TT的數(shù)，如分數(shù)712是無理數(shù)，因為TT是無理數(shù).

無理數(shù)常見的三種類型

（1）開不盡的方根，如血,炳,相等.

（2）特定結(jié)構(gòu)的無限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003-（兩個3之間依次多一個0）.

（3）含有n的絕大部分數(shù)，如2Tt.

注意：判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如標是有理數(shù)，而不是

無理數(shù).

4.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

5.整式的混合運算

（1）有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)

的混合運算順序相似.

（2）“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地

解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來.

6.分式的混合運算

（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除,

然后加減，有括號的先算括號里面的.

（2）最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.

（3）分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運

算律進行靈活運算.

【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題

1.注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面

的.

2.注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式.分子、分母中有公因式的要進行約

分化為最簡分式或整式.

3.注意運算律的應(yīng)用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特

點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程.

7.零指數(shù)累

零指數(shù)累：J=1（aWO）

由a-a，"=l,""~"，=產(chǎn)"=/可推出/=1（60）

注意：0°#l.

8.負整數(shù)指數(shù)塞

負整數(shù)指數(shù)哥：aP=lapQWO,p為正整數(shù)）

注意：①aWO；

②計算負整數(shù)指數(shù)嘉時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)嘉的意義計算，避免出現(xiàn)（-3）一2=（-

3）X（-2）的錯誤.

③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

9.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)〉=丘+6,（左W0,且左，b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

（，0）；與y軸的交點坐標是（0,b）.

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=fcc+b.

10.一次函數(shù)圖象與幾何變換

直線（ZWO,且左，匕為常數(shù)）

①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成-y：-y=kx+b,即y=-"-Z?；

（關(guān)于X軸對稱，橫坐標不變，縱坐標是原來的相反數(shù)）

②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成-尤：y—k（-x）+b,y—-kx+b；

（關(guān)于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標是原來的相反數(shù)）

③關(guān)于原點對稱，就是尤和y都變成相反數(shù)：-尸左（-無）+6,即〉=日-瓦

（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）

11.一次函數(shù)的應(yīng)用

1、分段函數(shù)問題

分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學(xué)合理，又要符合實際.

2、函數(shù)的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù).

3、概括整合

（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用.

（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵.

12.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)y="x（人為常數(shù)，ZWO）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（尤，y）的橫縱坐標的積是定值公即沖=%

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在y=klx圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形

的面積是定值|川.

13.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

14.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

(2)二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關(guān)鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用題

從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型.關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

15.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角

相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補..簡單說成：兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

16.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

17.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段

相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質(zhì)語言：如圖，在/AO8的平分線上，CD1OA,CE±OB：.CD=CE

0

18.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從

中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

19.平行四邊形的判定與性質(zhì)

平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用

平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、

線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要

證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行

四邊形達到上述目的.

運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定

義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單.

凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四

邊形的性質(zhì)和判定去解決問題.

20.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所

在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

21.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，

有四條對稱軸.

22.四邊形綜合題

四邊形綜合題.

23.圓心角、弧、弦的關(guān)系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”

是指同為優(yōu)弧或劣弧.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等,

三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心

旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合.

（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分.