16.1 二次根式（解析版）

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十六章二次根式》16.1二次根式知識點一知識點一二次根式的定義◆二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”稱為二次根號，a為被開方數(shù).1、二次根式的條件：①含有二次根號；②被開方數(shù)是一個非負(fù)數(shù)；2、被開方數(shù)a既可以是一個數(shù)，又可以是一個含有字母的式子.【注意】二次根式的定義是從形式來界定的，必須含有二次根號“”，不能從化簡結(jié)果上判斷，如4，9是二次根式；“”的根指數(shù)是2，一般把根指數(shù)2省略，不要誤認(rèn)為根指數(shù)是1或沒有知識點二知識點二二次根式有意義的條件◆二次根式有意義的條件是：被開方數(shù)（式）為非負(fù)數(shù)，反之也成立.即：a有意義=>a≥0,a無意義，a＜0.◆【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件：1．如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．2．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．3．如果一個式子中含有二次根式且被開方數(shù)中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，那么它有意義的條件是：底數(shù)不為0.知識點三知識點三二次根式的性質(zhì)◆1、a的性質(zhì)：a≥0；a≥0◆2、（a）2（a≥0）的性質(zhì)：（a）2＝a（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．◆3、a2的性質(zhì)：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）與a2的區(qū)別與聯(lián)系.（a）2（a≥0）a區(qū)別取值范圍a≥0a為任意實數(shù)表示的意義表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方表示a2的算術(shù)平方根運算順序先開平方后平方先平方后開平方運算結(jié)果（a）2＝a（a≥0）讀法讀作：“根號a的平方”或“a的算術(shù)平方根的平方”讀作：“根號”或“a的平方的算術(shù)平方根”聯(lián)系（1）結(jié)果都是非負(fù)數(shù)；（2）當(dāng)a≥0時，a2＝（a）知識點四知識點四代數(shù)式◆1、定義：用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱為代數(shù)式.【注意】代數(shù)式式數(shù)或字母之間的運算關(guān)系，代數(shù)式中只能含運算符號，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等關(guān)系符號.◆2、列代數(shù)式的常用方法：①直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式；②公式法：根據(jù)公式列出代數(shù)式；③探究規(guī)律法：將一組數(shù)或一組圖形的排列規(guī)律用代數(shù)式表示出來.題型一二次根式的識別題型一二次根式的識別【例題1】（2021秋?古縣期末）下列各式中，是二次根式的是（）A．n2 B．-4 C．38 D【分析】根據(jù)形如a（a≥0）的式子是二次根式，可得答案．【解答】解：A、被開方數(shù)n2≥0，故A是二次根式；B、D被開方數(shù)小于0，無意義，故B、D不是二次根式；C、是三次根式，故C不是二次根式；故選：A．【點評】本題考查了二次根式的定義，注意二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，根指數(shù)是2．解題技巧提煉判斷一個式子是否為二次根式，要緊扣滿足二次根式的兩個條件：（1）含有二次根號“”；（2）被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，兩個條件缺一不可.【變式1-1】（2021秋?九臺區(qū)期末）下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．-2 C．b2+1 D【分析】根據(jù)二次根式的概念，形如a（a≥0）的式子是二次根式，逐一判斷即可得到答案．【解答】解：A、8是二次根式，不合題意；B、∵﹣2＜0，∴-2不是二次根式，符合題意；C、b2D、13故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的定義，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2022春?合川區(qū)校級期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．-5 B．π C．a(chǎn)3 D．【分析】根據(jù)二次根式的定義判斷即可．【解答】解：A、﹣5＜0，二次根式無意義，故此選項不符合題意；B、π是無理數(shù)，不是二次根式，故此選項不合題意；C、當(dāng)a＜0時，二次根式無意義，故此選項不合題意；D、7是二次根式，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查二次根式的定義，掌握二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2021春?海淀區(qū)校級期末）下列各式：3-27，-4，2a-1（a＜12【分析】一般地，形如a（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式．【解答】解：3-27，-4，2a-1（一是三次方根，二，三根號里面的數(shù)小于0，第四個可以變?yōu)椋╝+1）2．故是二次根式的有a2【點評】此題主要考查：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．【變式1-4】下列各式中，二次根式有（）-3，0.5，0，23，a2+1，x+1（xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次根式的定義：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式，即可解答．【解答】解：下列各式中：-3，0.5，0，23，a2+1，x+1（x是二次根式的有0.5，0，23，a共有4個，故選：D．【點評】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022秋?詔安縣期中）給出下列各式：①32；②6；③-12；④-m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷．【解答】解：①∵3＞0，∴32是二次根式；②6不是二次根式；③∵﹣12＜0，∴-12不是二次根式；④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴-m是二次根式；⑤∵a2+1＞0，∴a2⑥35所以二次根式有3個．故選：B．【點評】本題考查的是二次根式的定義，解題時，要注意：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．題型二二次根式有意義的條件題型二二次根式有意義的條件【例題2】（2022春?欽北區(qū)校級月考）若代數(shù)式xx-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，分式有意義的條件即可得出答案．【解答】解：∵x≥0，x﹣1≠0，∴x≥0且x≠1．故選：D．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不等于0是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉求式子有意義時字母的取值范圍方法：第一步,明確式子有意義的條件，對于單個的二次根式，只需滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；對于含有多個二次根式的，則必須滿足多個被開方數(shù)同時為非負(fù)數(shù);對于零指數(shù)冪,則必須滿足底數(shù)不能為零;對于含有分式的、滿足分母不能為零.第二步,利用使式子有意義的所有條件,建立不等式或不等式組；第三步,求出不等式或不等式組的解集,即為字母的取值范圍.【變式2-1】（2022?徐州）若x-2有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【分析】根據(jù)二次根式有意義，被開方數(shù)大于等于0，列不等式求解．【解答】解：根據(jù)題意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故選：B．【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件的知識點，代數(shù)式的意義一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)代數(shù)式是整式時，字母可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)代數(shù)式是分式時，分式的分母不能為0；（3）當(dāng)代數(shù)式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．【變式2-2】（2021春?白云區(qū)期末）當(dāng)x滿足一定條件時，式子x-3x-3是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【分析】代數(shù)式中主要有二次根式和分式兩部分．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可．【解答】解：由題可得：x﹣3≥0且x﹣3≠0，解得x≥3，x≠3，∴x＞3，即當(dāng)x＞3時，式子x-3x-3故選：B．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，注意：分式應(yīng)考慮分式的分母不能為0；二次根式應(yīng)考慮被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式2-3】（2021春?黔西南州期末）式子2xx-1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：式子2xx-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件是：x﹣1＞0解得：x＞1．故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式2-4】無論a取何值，下列各式中一定有意義的是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)2-1 C．a(chǎn)+1 D【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)判斷即可．【解答】解：A.a不一定有意義，不合題意；B.a2C.a+1不一定有意義，不合題意；D.a2故選：D．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2020秋?淇濱區(qū)校級月考）若代數(shù)式(x-2)02-x-1有意義，則x的取值范圍是【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）可得x﹣2≠0，根據(jù)二次根式和分式有意義的條件可得x﹣1≥0，且x﹣1≠4，再解不等式即可．【解答】解：∵代數(shù)式(x-2)0∴x﹣2≠0且x﹣1≥0且x﹣1≠4，解得x≥1且x≠2且x≠5，∴x的取值范圍是x≥1且x≠2且x≠5，故答案為：x≥1且x≠2且x≠5．【點評】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件和零次冪，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式有意義的條件是分母不等于零．【變式2-6】求下列式子有意義的x的取值范圍.（1）14-3x（2）3-xx-2（3）x-3x-2（4）-x2（5）【分析】（1）（2）（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，由被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0可知；（4）（5）（6）根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)可知．【解答】解：（1）根據(jù)二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數(shù)4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，解得x＜4所以x的取值范圍是x＜4（2）根據(jù)二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數(shù)3﹣x≥0，解得x≤3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．所以x的取值范圍是x≤3且x≠2．（3）根據(jù)二次根式的意義和分式有意義的條件，被開方數(shù)x﹣3≥0，解得x≥3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．因為大于或等于3的數(shù)中不包含2這個數(shù)，所以x的取值范圍是x≥3．（4）根據(jù)題意得：﹣x2≥0，∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0．∴x的取值范圍是x＝0；（5）根據(jù)題意得：2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，故x的取值范圍是任意實數(shù)；（6）根據(jù)題意得：2x﹣3≥0，解得x≥32x﹣3≤0，解得x≤3綜上，可知x=3∴x的取值范圍是x=3【點評】本題主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．當(dāng)二次根式在分母上時還要考慮分母不等于零，此時被開方數(shù)大于0．題型三利用二次根式的性質(zhì)計算題型三利用二次根式的性質(zhì)計算【例題3】（2021秋?高臺縣期末）下列式子正確的是（）A．(-9)2=-9 B．25=±5 C．3(-1)3【分析】利用開平方的性質(zhì)和開立方的性質(zhì)計算．【解答】解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)：A、(-9)2=9，故B、25=5，故BC、屬于立方根的運算，故C正確；D、(-2)2=故選：C．【點評】此題主要考查二次根式的化簡，正確理解算術(shù)平方根的意義，注意符號的處理．解題技巧提煉運用（a）2（a≥0），a2=|a（1）計算（a）2，直接運用（a）2＝a；（2）計算a2①去掉根號及被開方數(shù)的指數(shù)，寫成絕對值的形式，即a2=|②去掉絕對值符號，根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行化簡.【變式3-1】下列結(jié)論正確的是（）A．-(-6)2=-6 BC．(-16)2=±6 D．﹣（-【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案【解答】解：B．原式=-3，故BC．原式＝16，故C錯誤；D．原式=-1625，故故選：A．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練運用二次根式的性質(zhì)．【變式3-2】化簡：（1）=；（2）；（3）；（4）；【分析】直接利用二次根式的（a）2＝a（a≥0）性質(zhì)化簡求解.【解答】（1）(17（2）(23)2=22×(（3）；（4）﹣(3)2【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟練運用二次根式的性質(zhì)．【變式3-3】計算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)1和性質(zhì)2化簡可得．【解答】解：原式＝7﹣4＝3，故選：A．【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)1和性質(zhì)2．【變式3-4】（2022?谷城縣二模）計算：(1-2)2=【分析】判斷1和2的大小，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：∵1＜2∴1-2＜∴(1-2)故答案為：2-1【點評】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】（2021秋?安岳縣期末）當(dāng)x＝2時，二次根式2+7x的值是．【分析】把x＝2代入二次根式計算可得答案．【解答】解：當(dāng)x＝2時，2+7x=2+7×2故答案為：4．【點評】此題考查的是二次根式的定義，正確代入數(shù)值是解決此題關(guān)鍵．【變式3-6】（2022秋?蓮湖區(qū)校級月考）計算下列各式：（1）279；（2）0.81-0.04；（3）412-4【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答；（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）2=25=5（2）0.81＝0.9﹣0.2＝0.7；（3）4=(41+40)×(41-40)=81＝9；（4）1-=16=4【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．【變式3-7】（2022春?乾安縣期末）計算：32=，0．72=，02=（1）根據(jù)計算結(jié)果，回答：a2一定等于a（2）利用你總結(jié)的規(guī)律，計算(3.14-π)【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)a2=|a【解答】解：計算：32=3，0．72=0.7，02故答案為：3；0.7；0；6；34（1）a2不一定等于a發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：a2=|a（2）(3.14-π＝|3.14﹣π|＝π﹣3.14．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)a2=|a題型四二次根式的非負(fù)性應(yīng)用題型四二次根式的非負(fù)性應(yīng)用【例題4】已知a、b、c滿足2|a﹣1|+2a-b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣【分析】利用非負(fù)數(shù)之和為零，則各自為零，進(jìn)而求出a，b，c的值求出答案．【解答】解：∵2|a﹣1|+2a-b+（c+b）2＝又∵|a﹣1|≥0，2a-b≥0，（c+b）2≥0∴a-1=02a-b=0∴a=1b=2∴2a+b﹣c＝2+2+2＝6．【點評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出a，b，c的值是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉二次根式a（a≥0）、絕對值|a|、完全平方式（a±b）2都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則它們均為0.【變式4-1】（2021春?安順期中）已知y=x-1+1-x+A．1 B．78 C．-54 【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出x、y的值，再代入代數(shù)式計算即可．【解答】解：因為y=x-1+1-x+即x≥1x≤1，解得x＝1，所以y＝10所以，2x+y5x-2y故選：D．【點評】本題考查了二次根式的意義和實數(shù)的運算能力．解決此題的關(guān)鍵是要先根據(jù)二次根式意義求出x，y的值再代入所求的代數(shù)式中求值．本題中涉及到簡單的一元一次不等式組的解法，要會靈活運用．【變式4-2】（2021春?寧津縣期末）在△ABC中，a、b、c為三角形的三邊，化簡(a-b+c)2-2|c﹣a﹣bA．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a(chǎn)+3b﹣c D．2a【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到根號內(nèi)或絕對值內(nèi)的式子的符號，再根據(jù)二次根式或絕對值的性質(zhì)化簡．【解答】解：∵a、b、c為三角形的三邊，∴a+c＞b，a+b＞c，即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；∴(a-b+c)2-2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3故選：B．【點評】本題主要考查二次根式的化簡方法與運用：a＞0時，a2=a；a＜0時，a2=-a；a＝0絕對值的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；正數(shù)的絕對值等于它本身；0的絕對值是0．【變式4-3】（2021秋?安居區(qū)期末）若x＜1，則化簡(x-2)2+|4﹣A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【分析】由已知可得x﹣2＜﹣1＜0，4﹣x＞3＞0，原式可化為|x﹣2|+4﹣x，根據(jù)絕對值的定義進(jìn)行計算即可得出答案．【解答】解：∵x＜1，∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1，∴4﹣x＞﹣1+4，即4﹣x＞3＞0，∴(x-2)2+|4＝|x﹣2|+4﹣x＝﹣（x﹣2）+4﹣x＝﹣x+2+4﹣x＝6﹣2x．故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練應(yīng)用二次根式的性質(zhì)與化簡的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2012秋?瀘縣期中）若x，y都是實數(shù)，且滿足y＜x-1+1-x【分析】要化簡，先確定題中各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，應(yīng)把握好以下幾點：一是分母不能為零；二是二次根號下為非負(fù)數(shù)．【解答】解：依題意，有x-1≥01-x≥0，得x＝1，此時y＜所以1﹣y＞12所以|1-y|y-1=【點評】正數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)．【變式4-5】（2022秋?榮縣校級月考）已知一個三角形的三邊長分別為5，2a﹣1，10，化簡：(a-8)2【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷a的取值范圍，再化簡求值．【解答】解：由題意得：10﹣5＜2a﹣1＜10+5，解得：3＜a＜8，∴(a-8)＝8﹣a﹣（a﹣2）＝8﹣a﹣a+2＝10﹣2a．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-6】（2021?零陵區(qū)校級自主招生）若化簡|1﹣x|-x2-8x+16的結(jié)果為2x﹣5，則x的取值范圍是【分析】根據(jù)x的取值化簡絕對值和二次根式的性質(zhì)分析．【解答】解：∵|1﹣x|-＝|1﹣x|-＝2x﹣5，則|1﹣x|-(x-4)2=x﹣1+x即1﹣x≤0，x﹣4≤0，解得1≤x≤4．【點評】此題難點不是根據(jù)x的取值化簡絕對值和二次根式，而是由絕對值和二次根式得化簡值求x的取值范圍．所以要求對絕對值的代數(shù)定義和二次根式的性質(zhì)熟練、靈活掌握．【變式4-7】已知實數(shù)a滿足|2010-a|+a-2011=a，求a﹣2010【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出a的取值范圍，再去掉絕對值號，然后兩邊平方整理即可得解．【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣2011≥0，解得a≥2011，去掉絕對值號得，a﹣2010+a-2011=所以，a-2011=2010兩邊平方得，a﹣2011＝20102，所以，a﹣20102＝2011．【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求出a的取值范圍并去掉絕對值號是解題的關(guān)鍵．題型五利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡題型五利用數(shù)軸和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡【例題5】實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡|a|+(a-bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【分析】直接利用數(shù)軸上a，b的位置，進(jìn)而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用絕對值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：由圖可知：a＜0，a﹣b＜0，則|a|+＝﹣a﹣（a﹣b）＝﹣2a+b．故選：A．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及實數(shù)與數(shù)軸，正確得出各項符號是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉本題運用了數(shù)學(xué)結(jié)合思想，利用數(shù)軸由“形”的位置來確定“數(shù)（式）”的符號，充分體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”是一個互相依存、不可分割的有機整體，解答含有二次根式的化簡類題目的關(guān)鍵是確保去掉根號后的結(jié)果是非負(fù)數(shù).【變式5-1】（2022秋?天府新區(qū)月考）已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖，則(a+b)2-(a-b)【分析】利用數(shù)軸得出a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，進(jìn)而化簡得出即可．【解答】解：由數(shù)軸可得出：a+b＜0，a﹣b＜0，a＜0，故(a+b＝﹣（a+b）+（a﹣b）+a＝a﹣2b．故答案為：a﹣2b．【點評】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確得出各項符號是解題關(guān)鍵．【變式5-2】（2021春?東城區(qū)校級期末）如果數(shù)軸上表示a、b兩個數(shù)的點都在原點的左側(cè)，且a在b的左側(cè)，則|a﹣b|+(a+b)2的值為【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定a，b的大?。龠\用二次根式的性質(zhì)化簡．【解答】解：∵a、b兩個數(shù)的點都在原點的左側(cè)，且a在b的左側(cè)，即a＜b＜0，∴|a﹣b|+(a+b)2=b﹣a﹣（a+b）＝b﹣a﹣a﹣b故答案為：﹣2a．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡及實數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是確定a，b的大?。咀兪?-3】（2021秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡a2【分析】根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法得到a＜0＜b，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去絕對值后合并即可．【解答】解：∵a＜0＜b，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：a2=|a【變式5-4】實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡a+|a+b|-c2-|b﹣【分析】根據(jù)數(shù)軸，確定a、b、c的正負(fù)，確定a+b、b﹣c的正負(fù)，然后再化簡．【解答】解：由數(shù)軸知：a＞0，b＜c＜0，|a|＜|b|，∵a+b＜0，b﹣c＜0∴原式＝a﹣（a+b）﹣|c|+（b﹣c）＝a﹣a﹣b+c+b﹣c＝0．【點評】本題考查了數(shù)軸的相關(guān)知識，絕對值、二次根式的化簡．兩數(shù)相加，取決于絕對值較大的加數(shù)的符號，大數(shù)減小數(shù)為正，小數(shù)減大數(shù)為負(fù)．【變式5-5】（2021春?秦安縣校級期末）已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡a2【分析】直接利用數(shù)軸得出a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，進(jìn)而化簡得出答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出各項符號是解題關(guān)鍵．題型六代數(shù)式題型六代數(shù)式【例題6】下列各式中，代數(shù)式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8個B．7個C．6個D．5個【分析】代數(shù)式即用加、減、乘、除、乘方、開方、絕對值等運算連接起來的式子，代數(shù)式中不應(yīng)含等號或不等號等；再根據(jù)單獨算數(shù)字和字母也是代數(shù)式，逐一分析即可解答．【解答】解：①m是代數(shù)式；②4a是代數(shù)式；③mx+y是代數(shù)式；④π是代數(shù)式；⑤ab=ba是等式；⑥S=12（a+b）h是等式；⑦3.6×103πa2是代數(shù)式；⑧22＜32是不等式，故代數(shù)式有5故選：D．【點評】此題考查的是代數(shù)式的知識，熟練掌握其定義是關(guān)鍵．解題技巧提煉用基本運算符號（基本運算符號包括：加、減、乘、除、乘方和開方）把表示數(shù)或字母連接起來的式子，稱