人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第1章《空間幾何體》全部教案 同步單元測(cè)試卷(全冊(cè))

人教A版高中數(shù)學(xué)必修2

第一章空間幾何體

本章教材分析

柱體、錐體、臺(tái)體和球體是簡(jiǎn)單的幾何體，復(fù)雜的幾何體大都是由這些簡(jiǎn)單的幾何體組合而成的.有關(guān)

柱體、錐體、臺(tái)體和球體的研究是研究比較復(fù)雜的兒何體的基礎(chǔ).本章研究空間兒何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖

和直觀圖、表面積和體積等.運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、度量計(jì)算等方法，認(rèn)識(shí)和探索空間幾何圖形及其性

質(zhì).

本章中的有關(guān)概念，主要采用分析具體實(shí)例的共同特點(diǎn)，再抽象其本質(zhì)屬性空間圖形而得到.教學(xué)中應(yīng)

充分使用直觀模型，必要時(shí)要求學(xué)生自己制作模型，引導(dǎo)學(xué)生直觀感知模型，然后再抽象出有關(guān)空間幾何

體的本質(zhì)屬性，從而形成概念.

本章內(nèi)容是在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的.例如，對(duì)于棱柱，在義務(wù)教育階段直觀認(rèn)識(shí)正方體、

長(zhǎng)方體等的基礎(chǔ)匕進(jìn)一步研究了棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其體積、表面積.因此，在教材內(nèi)容安排中，特別注意

了與義務(wù)教育階段“空間與圖形”相關(guān)內(nèi)容的銜接.

值得注意的是在教學(xué)中，要堅(jiān)持循序漸進(jìn)，逐步滲透空間想象能力面的訓(xùn)練.由于受有關(guān)線面位置關(guān)系

知識(shí)的限制，在講解空間幾何體的結(jié)構(gòu)時(shí)，少問(wèn)為什么，多強(qiáng)調(diào)感性認(rèn)識(shí).要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止

拔高教學(xué).重視函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過(guò)電腦繪制簡(jiǎn)單幾何體的模型,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)

在學(xué)習(xí)中的重要作用.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際,合理地

進(jìn)行取舍.

本章教學(xué)時(shí)間約需7課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）:

1.1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征約1課時(shí)

1.1.2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征約1課時(shí)

1.2.1中心投影與平行投影

約1課時(shí)

1.2.2空間幾何體的三視圖

1.2.3空間兒何體的直觀圖約1課時(shí)

1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積約1課時(shí)

1.3.2球的體積和表面積約1課時(shí)

本章復(fù)習(xí)約1課時(shí)

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)教材先展示大量幾何體的實(shí)物、模型、圖片等，讓學(xué)生感受空間兒何體的結(jié)構(gòu)特征，從整體上認(rèn)

識(shí)空間幾何體，再深入細(xì)節(jié)認(rèn)識(shí)，更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

值得注意的是：由于沒(méi)有點(diǎn)、直線、平面的有關(guān)知識(shí)，所以本節(jié)的學(xué)習(xí)不能建立在嚴(yán)格的邏輯推理的

基礎(chǔ)上，這與以往的教材有較大的區(qū)別，教師在教學(xué)中要充分注意到這一點(diǎn).本節(jié)教學(xué)盡量使用信息技術(shù)等

手段，向?qū)W生展示更多具有典型幾何結(jié)構(gòu)特征的空間物體，增強(qiáng)學(xué)生的感受.

三維目標(biāo)

1.掌握柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力.

2.能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)建立幾何模型研究空間圖形，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.

教學(xué)難點(diǎn)：歸納柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.從古至今，各個(gè)國(guó)家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大廈的旋轉(zhuǎn)酒吧、

旋轉(zhuǎn)餐廳，還有上海東方明珠塔上的兩個(gè)球形建筑等.它們都是獨(dú)具匠心、整體協(xié)調(diào)的建筑物，是建筑師們

集體智慧的結(jié)晶.今天我們?nèi)绾螐臄?shù)學(xué)的角度來(lái)看待這些建筑物呢？引出課題：柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征.

思路2.在我們的生活中會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一些具有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結(jié)構(gòu)特

征如何？引導(dǎo)學(xué)生回憶，舉例和相互交流.教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)及時(shí)給予評(píng)價(jià).引出課題：柱、錐、臺(tái)、球的

結(jié)構(gòu)特征.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

1.觀察下面的圖片，請(qǐng)將這些圖片中的物體分成兩類，并說(shuō)明分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

2.你能給出多面體和旋轉(zhuǎn)體的定義嗎？

活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論，根據(jù)初中已有的知識(shí)，學(xué)生很快就能分成兩類，對(duì)沒(méi)有思路的學(xué)生，教師予以提

小.

1.根據(jù)圍成幾何體的面是否都是平面來(lái)分類.

2.根據(jù)圍成幾何體的面的特點(diǎn)來(lái)定義多面體，利用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)定義旋轉(zhuǎn)體.

討論結(jié)果：

1.通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同樣的特點(diǎn)：組成幾何體的

每個(gè)面都是平面圖形，并且都是平面多邊形，像這樣的兒何體稱為多面體：（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、

（11）、（12）具有同樣的特點(diǎn)：組成它們的面不全是平面圖形，像這樣的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體.

2.多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的

面；相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).按圍成多面體的面數(shù)分為：

四面體、五面體、六面體、……，一個(gè)多面體最少有4個(gè)面，四面體是三棱錐.棱柱、棱錐、棱臺(tái)均是多面

體.

旋轉(zhuǎn)體：由個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉兒何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球均是旋轉(zhuǎn)體.

提出問(wèn)題

1.與其他多面體相比，圖片中的多面體（5）、（7）、（9）具有什么樣的共同特征？

2.請(qǐng)給出棱柱的定義？

3.與其他多面體相比，圖片中的多面體（14）、（15）具有什么樣的共同特征？

4.請(qǐng)給出棱錐的定義.

5.利用同樣的方法給出棱臺(tái)的定義.

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，如果學(xué)生沒(méi)有思路時(shí)，教師再提示.

對(duì)于1、3,可根據(jù)圍成多面體的各個(gè)面的關(guān)系來(lái)分析.

對(duì)于2,利用多面體（5）、（7）、（9）的共同特征來(lái)定義棱柱.

對(duì)于4,利用多面體（14）、（15）的共同特征來(lái)定義棱錐.

對(duì)于5,利用圖片中的多面體（13）、（16）的共同特征來(lái)定義棱臺(tái).

討論結(jié)果：

1.特點(diǎn)是：有兩個(gè)面平行，其余的面都是平行四邊形.像這樣的幾何體稱為棱柱.

2.定義：兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些

面圍成的多面體稱為棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)

面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).

表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱柱.

分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3,其中一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形，這樣的兒何體稱為棱錐.

4.定義：有一面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的多面體叫做棱錐.這個(gè)多

邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的

頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

表示法：用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)的字母表示.

分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……

5.定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái).原棱錐的底面和截面叫

做棱臺(tái)的下底面和上底面：其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱：底面多邊形與

側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn).

表示法：用表示底面各頂點(diǎn)的字母表示棱臺(tái).

分類：按底面多邊形的邊數(shù)分為三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……

提出問(wèn)題

1.與其他旋轉(zhuǎn)體相比，圖片中的旋轉(zhuǎn)體（1）、（8）具有什么樣的共同特征？

2.請(qǐng)給出圓柱的定義.

3.其他旋轉(zhuǎn)體相比，圖片中的旋轉(zhuǎn)體（3）、（6）具有什么樣的共同特征？

4.請(qǐng)給出圓錐的定義.

5.類比圓錐和圓柱的定義方法，請(qǐng)給出圓臺(tái)的定義.

6.用同樣的方法給出球的定義.

討論結(jié)果：

1.靜態(tài)的觀點(diǎn)：有兩個(gè)平行的平面，其他的面是曲面；動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)：矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋

轉(zhuǎn)體.像這樣的旋轉(zhuǎn)體稱為圓柱.

2.定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸

叫做圓柱的軸；垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓

柱的側(cè)面，圓柱的側(cè)面又稱為圓柱面，無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線.

表示：圓柱用表示軸的字母表示.

規(guī)定：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體.

3.靜態(tài)的觀點(diǎn)：有一平面，其他的面是曲面；動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)：直角三角形繞其一直角邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的

旋轉(zhuǎn)體.像這樣的旋轉(zhuǎn)體稱為圓錐.

4.定義：以直角三角形的?條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

圓錐.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸：垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓錐的底面；不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)

而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面，圓錐的側(cè)面又稱為圓錐面，無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓錐側(cè)面的母

線.

表示：圓錐用表示軸的字母表示.

規(guī)定：圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體.

5.定義：以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的兒何體叫

做圓臺(tái).還可以看成是用平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截面與底面之間的部分.旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺(tái)的軸；

垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓臺(tái)的底面；不垂直于旋轉(zhuǎn)軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺(tái)的側(cè)

面，無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓臺(tái)側(cè)面的母線.

表示：圓臺(tái)用表示軸的字母表示.

規(guī)定：圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.

6.定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)

體稱為球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心稱為球心，連接球面上任意?點(diǎn)與球心的線段稱為球的半徑，連接球面上

兩點(diǎn)并且過(guò)球心的線段稱為球的宜徑.

表示：用表示球心的字母表示.

知識(shí)總結(jié)：

1.棱柱、棱錐、院臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征比較，如下表所示：

結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺(tái)

兩個(gè)平面互相平行，其余各有一面為多邊形，其用一個(gè)平行于棱錐底

面都是四邊形，并且每相鄰余各面是有一個(gè)公共面的平面去截棱錐，

定義兩個(gè)四邊形的公共邊都互相頂點(diǎn)的三角形，這些底面與截面之間的部

平行，這些面圍成的幾何體面圍成的幾何體叫做分，這樣的多面體叫

稱為棱柱棱錐做棱臺(tái)

兩底面是相似的多邊

底面兩底面是全等的多邊形多邊形

形

側(cè)面平行四邊形三角形梯形

側(cè)棱平行且相等相交于頂點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

平行于底面的與底面是相似的多邊與兩底面是相似的多

與兩底面是全等的多邊形

截面形邊形

過(guò)不相鄰兩側(cè)

平行四邊形三角形梯形

棱的截面

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征比較，如下表所示:

結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺(tái)球

以直角三角形以半圓的直徑所

以直角梯形垂直于

以矩形的一邊所在的?條直角邊在的直線為旋轉(zhuǎn)

底邊的腰所在的直

的直線為旋轉(zhuǎn)軸，為旋轉(zhuǎn)軸，其余軸，將半圓旋轉(zhuǎn)一

線為旋轉(zhuǎn)軸，其余

定義其余各邊旋轉(zhuǎn)而形各邊旋轉(zhuǎn)而形周所形成的曲面

各邊旋轉(zhuǎn)而形成的

成的曲面所圍成的成的曲面所圍稱為球面，球面所

曲面所圍成的幾何

幾何體叫做圓柱成的幾何體叫圍成的幾何體稱

體叫做圓臺(tái)

做圓錐為球體，簡(jiǎn)稱球

兩底面是平行且半兩底面是平行但半

底面圓無(wú)

徑相等的圓徑不相等的圓

側(cè)面展開(kāi)

矩形扇形扇環(huán)不可展開(kāi)

圖

母線平行且相等相交于頂點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)無(wú)

平行于底面且

平行于底與兩底面是平行且與兩底面是平行且球的任何截面都

半徑不相等的

面的截面半徑相等的圓半徑不相等的圓是圓

圓

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓

3.簡(jiǎn)單幾何體的分類:

.棱柱

多面體＜棱錐

棱臺(tái)

簡(jiǎn)單幾何體圓柱

圓錐

旋轉(zhuǎn)體V

圓臺(tái)

球

應(yīng)用示例

思路1

例1下列幾何體是棱柱的有（

①

④⑤

圖2

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

活動(dòng)：判斷一個(gè)幾何體是哪種幾何體，一定要緊扣柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，注意定義中的特殊字眼,

切不可馬虎大意.

棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩

個(gè)面的公共邊都互相平行.當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，這個(gè)幾何體才是棱柱.很明顯，

幾何體②④⑤⑥均不符合，僅有①③符合.

答案：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征.本題容易錯(cuò)認(rèn)為幾何體②也是棱柱，其原因是忽視了棱柱必須有兩個(gè)

面平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征,避免出現(xiàn)此類錯(cuò)誤的方法是將教材中的各種幾何體的結(jié)構(gòu)特征放在一起對(duì)比，并且

和圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)記憶,要做到看到文字?jǐn)⑹鼍拖氲綀D，看到圖形就想到文字?jǐn)⑹?

變式訓(xùn)練

1.下列兒個(gè)命題中，

①兩個(gè)面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；

②有兩個(gè)面互相平行,其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái);

③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；

④分別以矩形兩條不等的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)，所得到的兩個(gè)圓柱是兩個(gè)不同的圓柱.

其中正確的有.一個(gè).（）

A.1B.2C.3D.4

分析：①中兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會(huì)交于一點(diǎn)，所以①是錯(cuò)誤的：②

中兩個(gè)底面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形，也有可能兩底面根本就不相似，所以②不正確：③中底

面不一定是正方形，所以③不正確：很明顯④是正確的.

答案：A

2.下列命題中正確的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱

C.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐

D.棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

答案：D

3.下列命題中正確的是（）

A.以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

B.以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)

C.圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面

D.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑

分析：以直角梯形垂直于底的腰為軸，旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓自，所以B不正確：圓錐僅有一個(gè)底面，

所以C不正確；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，所以D不正確.很

明顯A正確.

答案：A

思路2

例1（2007寧夏模擬，理6）氏方體AC1的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1,從A到C|沿長(zhǎng)方體的表面的最

短距離為（）

A.1+V3B.2+V10C,3V2D.273

活動(dòng)：解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)間最短線路問(wèn)題，一般都是將空間幾何體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩

點(diǎn)間線段長(zhǎng)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.

解：如圖3,在長(zhǎng)方體ABCD—A|B|CQ|中，AB=3,BC=2,BBi=l.

如圖4所示，將側(cè)面ABB,A,和側(cè)面BCGBi展開(kāi)，

AtB,

ABC

圖4

則有AC|=A/52+12=V26，即經(jīng)過(guò)側(cè)面ABB|A|和側(cè)面BCGBi時(shí)的最短距離是426；

如圖5所示，將側(cè)面ABB.Ai和底面AiBiCiDi展開(kāi)，

則有AC|=g2+32=372,即經(jīng)過(guò)側(cè)面ABBIAI和底面AiBCQi時(shí)的最短距離是3近；

圖5

如圖6所示，將側(cè)面ADDiAi和底面A|B|C|D|展開(kāi)，

B,Ci

A,/)

AD

圖6

則有AC(=742+22=2V5,即經(jīng)過(guò)側(cè)面ADDIAI和底面ABC時(shí)的最短距離是2遍.

由于3近＜2石，3近＜底,

所以由A到Ci在正方體表面上的最短距離為3J5.

答案：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間兒何體的簡(jiǎn)單運(yùn)算及轉(zhuǎn)化思想.求表面上最短距離可把圖形展成平面圖形.

變式訓(xùn)練

1.圖7是邊長(zhǎng)為1m的正方體，有一蜘蛛潛伏在A處，B處有一小蟲(chóng)被蜘蛛網(wǎng)粘住，請(qǐng)制作出實(shí)物模型，

將正方體剪開(kāi)，描述蜘蛛爬行的最短路線.

L

圖7圖8

分析：制作實(shí)物模型(略).通過(guò)正方體的展開(kāi)圖8可以發(fā)現(xiàn),AB間的最短距離為A、B兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)

A/22+12=后.由展開(kāi)圖可以發(fā)現(xiàn),C點(diǎn)為其中一條棱的中點(diǎn).具體爬行路線如圖9中的粗線所示，我們要注

意的是爬行路線并不唯一.

解：爬行路線如圖9(1)—(6)所示:

圖9

2.(2006江西高考、理15)如圖10所示，已知正三棱柱ABC—ABCi的底面邊長(zhǎng)為1,高為8,一質(zhì)點(diǎn)

自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行咧用到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為.

圖10

分析：將正三棱柱ABC—ABC|沿側(cè)棱AAI展開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖如圖11所示，則沿著三棱柱的側(cè)面繞行

西用到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)就是圖II中AD+DA|.延長(zhǎng)AF至M,僧A1F=FM,圖DM,則AQ=DM,

如圖12所示.

ABC￡0)

Ai81G

圖11圖12

則沿著三棱柱的側(cè)面繞行停用到達(dá)A,點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)就是圖12中線段AM的長(zhǎng).在圖12中,AAAiM是

直角三角形，則AM=JAA；+A”=宜？+（1+1+1+1+1+1『=10.

答案：10

知能訓(xùn)練

1.（2007廣東中山二模，文2）如圖13,觀察四個(gè)兒何體，其中判斷正確的是（）

(1)(2)(3)(4)

圖13

A.（1）是棱臺(tái)B.（2）是圓臺(tái)

C.（3）是棱錐D.（4）不是棱柱

分析：圖（1）不是由棱錐截來(lái)的，所以（1）不是棱臺(tái)；圖（2）上下兩個(gè)面不平行，所以（2）不是圓臺(tái)；

圖（4）前后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以（4）是棱柱；

很明顯（3）是棱錐.

答案：C

2.下面幾何體中，過(guò)軸的截面一定是圓面的是（）

A.圓柱B.圓錐C.球D.圓臺(tái)

分析：圓柱的釉截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是圓面,

所以A、B、D均不正確.

答案：C

3.（2007山東荷澤二模，文13）一個(gè)無(wú)蓋的正方體盒子展開(kāi)后的平面圖，如圖14所示，A、B、C是展開(kāi)

圖上的三點(diǎn)，則在正方體盒子中NABC=.

圖14

分析：如圖15所示，折成正方體，很明顯點(diǎn)A、B、C是上底面正方形的三個(gè)頂點(diǎn),

則NABC=90°.

圖15

答案：90°

4.（2007山東東營(yíng)三模，文13）有一粒正方體的骰子每一個(gè)面有一個(gè)英文字母，如圖16所示.從3種不同

角度看同一粒骰子的情況，請(qǐng)問(wèn)H反面的字母是___________.

分析：正方體的骰子共有6個(gè)面，每個(gè)面都有一個(gè)字母，從每一個(gè)圖中都看到有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面，與標(biāo)

有S的面相鄰的面共有四個(gè)，由這三個(gè)圖，知這四個(gè)面分別標(biāo)有字母H、E、0、p、d,因此只能是標(biāo)有“p”

與“d”的面是同一個(gè)面，p與d是一個(gè)字母；翻轉(zhuǎn)圖②，使S面調(diào)整到正前面，使p轉(zhuǎn)成d,則O為正下面,

所以H的反面是O.

答案：O

5.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，軸截面的面積等于392cn?,母線與軸的夾角是45。，

求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長(zhǎng)和底面半徑.

分析：這類題目應(yīng)該選取軸截面研究幾何關(guān)系.

解：圓分的軸截面如圖17,

圖17

設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為xcm和3xcm,延長(zhǎng)AA1交001的延長(zhǎng)線于S.

在RtZiSOA中，ZASO=45°,貝ljNSAO=45°.

所以SO=AO=3x.所以001=2x.

又,（6x+2x）2x=392,解得x=7,

2

所以圓臺(tái)的高00i=14cm,母線長(zhǎng)1=收001=14后（：01,而底面半徑分別為7cm和21cm.

即圓臺(tái)的高14cm,母線長(zhǎng)14五cm,底面半徑分別為7cm和21cm.

6.（2005全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江預(yù)賽，4）正方體的截平面不可能是

①鈍角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五邊形;⑤正六邊形.

下述選項(xiàng)正確的是：（）

A.①②⑤B.①②④C.②③④D.③④⑤

分析：正方體的截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角

形（證明略）；對(duì)四邊形來(lái)講，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形

（證明略）；對(duì)五邊形來(lái)講，不可能是正五邊形（證明略）；對(duì)六邊形來(lái)講，可以是六邊形（正六邊形）.

答案：B

拓展提升

1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的兒何體是棱柱嗎？

分析：如圖18所示，此幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形，很明顯這個(gè)幾何體不是棱柱,

因此說(shuō)有兩個(gè)面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.

由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱柱，關(guān)鍵是緊扣棱柱的3個(gè)本質(zhì)特征：①有兩個(gè)面互相平行；②其

余各面都是四邊形；③每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行.這3個(gè)特征缺一不可，圖18所示的幾何體

不具備特征③.

2.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的兒何體是棱錐嗎？

剖析：如圖19所示，將正方體ABCD—ABCQi截去兩個(gè)三棱錐A—AID和C—BQD”得如圖20

所示的兒何體.

圖20所示的幾何體有一個(gè)面ABCD是四邊形,其余各面都是三角形的幾何體，很明顯這個(gè)幾何體不

是棱錐，因此說(shuō)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐.

由此看，判斷一個(gè)幾何體是否是棱錐，關(guān)鍵是緊扣棱錐的3個(gè)本質(zhì)特征：①有一個(gè)面是多邊形；②其

余各面都是三角形；③這些三角形面有?個(gè)公共頂點(diǎn).這3個(gè)特征缺一不可，圖18所示的兒何體不具備特

征③.

課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了柱體、錐體、臺(tái)體、球體的結(jié)構(gòu)特征.

作業(yè)

1.如圖21,甲所示為一幾何體的展開(kāi)圖.

甲乙

圖21

（1）沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，是哪一種兒何體？試用文字描述并畫(huà)出示意圖.

⑵需要多少個(gè)這樣的兒何體才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體？請(qǐng)?jiān)趫D乙棱長(zhǎng)為6cm的正方體

ABCD—AIBIGDI中指出這幾個(gè)幾何體的名稱.

答案：（1）有一條側(cè)棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，如圖22甲所示.

圖22

（2）需要3個(gè)這樣的幾何體，如圖22乙所示.分別為四棱錐：A1—CDDiG，Ai—ABCD,A,—BCC^,.

2.如圖23,在正三棱柱ABC—ABG中，AB=3,AA|=4.M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱

柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CG到M的最短路線長(zhǎng)為場(chǎng)，設(shè)這條最短路線與CG的交點(diǎn)為N,求P點(diǎn)的位置.

圖23

分析：把三棱錐展開(kāi)后放在平面上，通過(guò)列方程解應(yīng)用題來(lái)求出P到C點(diǎn)的距離，即確定了P點(diǎn)的位置.

解：如圖24所示，把正三棱錐展開(kāi)后，設(shè)CP=x,

圖24

根據(jù)已知可得方程22+（3+x尸=29.解得x=2.

所以P點(diǎn)的位置在離C點(diǎn)距離為2的地方.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的精神,按課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：降低邏輯推理，通過(guò)直觀感受和操作

確認(rèn)來(lái)設(shè)計(jì).在使用時(shí)、建議使用信息技術(shù)來(lái)處理圖片和例題，否則會(huì)造成課時(shí)不足的矛盾.

備課資料

備用習(xí)題

1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.多面體至少有四個(gè)面B.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

C.長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側(cè)面為三角形

分析：多面體至少應(yīng)有四個(gè)頂點(diǎn)組成（否則至多3個(gè)頂點(diǎn)，而3個(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)平面圖形），而四個(gè)頂

點(diǎn)當(dāng)然必須圍成四個(gè)面，所以A正確；棱柱側(cè)面為平行四邊形，其側(cè)棱和側(cè)面的個(gè)數(shù)與底面多邊形的邊數(shù)

相等，所以B正確；長(zhǎng)方體、正方體都是棱柱，所以C正確；三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，不是三角形，

所以D錯(cuò)誤.

答案：D

2.一個(gè)棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長(zhǎng)的和為60cm，則每條側(cè)棱長(zhǎng)為cm.

分析：n棱柱有2n個(gè)頂點(diǎn)，由于此棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，那么此棱柱為五棱柱，又因棱柱的側(cè)棱都相等，五

條側(cè)棱長(zhǎng)的和為60cm,可知每條側(cè)棱長(zhǎng)為12cm.

答案：12

3.在本節(jié)我們學(xué)過(guò)的常見(jiàn)幾何體中，如果用一個(gè)平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個(gè)幾何體可能

是.

分析：棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐等幾何體的截面都可以是三角形，因此本題答案是開(kāi)放的，作答時(shí)要考慮

周全.

答案：棱錐、棱柱、棱臺(tái)、圓錐

4.如圖25所示，有12個(gè)小正方體，每個(gè)正方體6個(gè)面上分別寫(xiě)著數(shù)字1、9、9、8、4、5,用這12個(gè)小

正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，那么圖中看不見(jiàn)的那些小正方體的面有多少個(gè)?并求這些面上的數(shù)字和.

/4/5/

1998

/

4598

/

8

989

8

458

X

圖25

分析：先求看得見(jiàn)的個(gè)數(shù)，再求看不見(jiàn)的面的個(gè)數(shù)，同樣，先求這12個(gè)小正方體各個(gè)面上的數(shù)字的和，

再減去看得見(jiàn)的數(shù)字的和.

解：這12個(gè)小正方體，共有面數(shù)6x12=72個(gè)，圖中看得見(jiàn)的面共有3+4x4=19個(gè)，

故圖中看不見(jiàn)的面有72-19=53個(gè)，

12個(gè)小正方體各個(gè)面的數(shù)字的和為(1+9+9+8+4+5)x12=432,

而圖中看得見(jiàn)的數(shù)字的和為130,

所以看不見(jiàn)的那些小正方體的面上的數(shù)字的和為432-130=302,

即看不見(jiàn)的那些小正方體的面有53個(gè)，這些面上的數(shù)字和是302.

知識(shí)拓展

1.特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊

形的直棱柱是正棱柱；底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；側(cè)棱垂直于底面的平行六面體叫做直

平行六面體；底面是矩形的直平行六面體叫做長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體.其中長(zhǎng)方體對(duì)角線

的平方等于同一頂點(diǎn)上三條棱的平方和.

2.特殊的棱錐：如果棱錐的底面為正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐,

正棱錐各側(cè)面底邊上的高均相等，叫做正棱錐的斜高；側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)的正三棱錐又稱為正四面體.

3.特殊的棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)，正棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形，正棱臺(tái)各側(cè)面等腰梯

形的高稱為正棱臺(tái)的斜高.

4.球心與球的截面圓心的連線垂直于截面.

5.規(guī)定：在多面體中，不在同一面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線叫做多面體的對(duì)角線，不在同一面上的兩條側(cè)棱稱

為多面體的不相鄰側(cè)棱，側(cè)棱和底面多邊形的邊統(tǒng)稱為棱.

(設(shè)計(jì)者：張新軍)

1.1.2簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，只有把我們周圍的物體形狀正確迅

速分解開(kāi)，才能清醒地認(rèn)識(shí)幾何學(xué)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).簡(jiǎn)單幾何體（柱體、錐體、臺(tái)體和球）是

構(gòu)成簡(jiǎn)單組合體的基本元素.本節(jié)教材主要是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)了柱、錐、臺(tái)、球的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的結(jié)

構(gòu)特征來(lái)描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.

三維目標(biāo)

1.掌握簡(jiǎn)單組合體的概念，學(xué)會(huì)觀察、分析圖形，提高空間想象能力和幾何直觀能力.

2.能夠描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)通過(guò)建立幾何模型來(lái)研究空間圖形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思

想.

重點(diǎn)難點(diǎn)

描述簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.在我們的生活中，酒瓶的形狀是圓柱嗎？我們的教學(xué)樓的形狀是柱體嗎？鋼筆、圓珠筆呢？這些物

體都不是簡(jiǎn)單幾何體，那么如何描述它們的結(jié)構(gòu)特征呢？教師指出課題：簡(jiǎn)單兒何體的結(jié)構(gòu)特征.

思路2.現(xiàn)實(shí)世界中的物體表示的兒何體，除柱體、錐體、臺(tái)體和球體等簡(jiǎn)單幾何體外，還有大量的兒何體

是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的，這些幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體，這節(jié)課學(xué)習(xí)的課題是：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

①請(qǐng)指出下列幾何體是由哪些簡(jiǎn)單兒何體組合而成的.

圖1

②觀察圖1,結(jié)合生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)單組合體有幾種組合形式？

③請(qǐng)你總結(jié)長(zhǎng)方體與球體能組合成幾種不同的組合體.它們之間具有怎樣的關(guān)系？

活動(dòng)：讓學(xué)生仔細(xì)觀察圖1,教師適當(dāng)時(shí)候再提示.

①略.

②圖1中的三個(gè)組合體分別代表了不同形式.

③學(xué)生可以分組討論，教師可以制作有關(guān)模型展示.

討論結(jié)果：①由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.現(xiàn)實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、

錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成.圖1（1）是一個(gè)四棱錐和一個(gè)長(zhǎng)方體拼接成的，這是多面體

與多面體的組合體；圖1（2）是一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，這是旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體；圖1（3）

是一個(gè)球和一個(gè)長(zhǎng)方體拼接成的，這是旋轉(zhuǎn)體與多面體的組合體.

②常見(jiàn)的組合體有一:種：多面體與多面體的組合；多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.

其基本形式實(shí)質(zhì)上有兩種：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體，如圖1（1）和（3）所示的組合

體；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的簡(jiǎn)單組合體，如圖1（2）所示的組合體.

③常見(jiàn)的球與長(zhǎng)方體構(gòu)成的簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征：1°長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同?個(gè)球面上，此時(shí)

長(zhǎng)方體稱為球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，球是長(zhǎng)方體的外接球，并且長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑；2。一球與正方體

的所有棱相切，則正方體每個(gè)面上的對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；3°一球與正方體的所有面相切，則正方體

的棱長(zhǎng)等于球的直徑.

應(yīng)用示例

思路1

例1請(qǐng)描述如圖2所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征.

(2)

圖2

活動(dòng)：回顧簡(jiǎn)單兒何體的結(jié)構(gòu)特征，再將各個(gè)組合體分解為簡(jiǎn)單幾何體.依據(jù)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征依

次作出判斷.

解：圖2(1)是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；

圖2(2)是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后剩下的部分得到的組合體；

圖2(3)是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐剩下的部分得到的組合體.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征和空間想象能力.

變式訓(xùn)練

如圖3所示，一個(gè)圓環(huán)繞著同一個(gè)平面內(nèi)過(guò)圓心的直線1旋轉(zhuǎn)180°,想象并說(shuō)出它形成的兒何體的

結(jié)構(gòu)特征.

答案：一個(gè)大球內(nèi)部挖去一個(gè)同球心且半徑較小的球.

例2連接正方體的相鄰各面的中心(所謂中心是指各面所在正方形的兩條對(duì)角線的交點(diǎn))，所得的一個(gè)幾

何體是幾面體？并畫(huà)圖表示該幾何體.

活動(dòng)：先畫(huà)出正方體，然后取各個(gè)面的中心，并依次連成線觀察即可.連接相應(yīng)點(diǎn)后,得出圖形如圖4(1),

再作出判斷.

[=>

解：如圖4(1),正方體ABCD—AIBICQI，0卜0?、。3、04>05>。6分別是各表面的中心.由點(diǎn)01、。2、

。3、。4、。5、。6組成了一個(gè)八面體，而且該八面體共有6個(gè)頂點(diǎn)，12條棱.該多面體的圖形如圖4(2)所

點(diǎn)評(píng)：本題中的八面體，事實(shí)上是正八面體——八個(gè)面都是全等的正三角形，并且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端，

都有相同數(shù)目的棱.由圖還可見(jiàn)，該八面體可看成是由兩個(gè)全等的四棱錐經(jīng)重合底面后而得到的，而且中間

一個(gè)四邊形O2O3O4O5還是正方形，當(dāng)然其他的如0102。6。4等也是正方形.為了增強(qiáng)立體效果，正方體應(yīng)

畫(huà)得“正”些，而八面體的放置應(yīng)稍許“傾斜”些，并且“后面的”線，即被前面平面所遮住的線，如圖中的01。5、

€)6。5、。5。2、。5。4應(yīng)畫(huà)成虛線.

變式訓(xùn)練

連接上述所得的幾何體的相鄰各面的中心，試問(wèn)所得的幾何體又是幾面體？

答案：六面體(正方體).

思路2

例1已知如圖5所示，梯形ABCD中，AD〃BC,且ADVBC,當(dāng)梯形ABCD繞BC所在直線旋轉(zhuǎn)一周

時(shí)，其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

圖5圖6

活動(dòng)：讓學(xué)生思考AB、AD、DC與旋轉(zhuǎn)軸BC是否垂直，以此確定所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

解：如圖6所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱拼接成的組合體.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力以及旋轉(zhuǎn)體、簡(jiǎn)單組合體.

變式訓(xùn)練

如圖7所示，已知梯形ABCD中，AD〃BC,且AD<BC,當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時(shí),

其他各邊旋轉(zhuǎn)圍成的一個(gè)幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

圖7圖8

答案：如圖8所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)圓錐后剩余部分而成的組合體.

例2如圖9(1)、(2)所示的兩個(gè)組合體有什么區(qū)別？

(1)⑵

圖9

活動(dòng)：讓學(xué)生分組討論和思考，教師及時(shí)點(diǎn)撥和評(píng)價(jià)學(xué)生.

解：圖9(1)所示的組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體上面又放置了一個(gè)圓柱，也就是一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱拼接成的

組合體；而圖9(2)所示的組合體是一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了一個(gè)圓柱剩余部分構(gòu)成的組合體.

點(diǎn)評(píng)：考查空間想象能力和組合體的概念.

變式訓(xùn)練

如圖10,說(shuō)出下列物體可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

*

⑴⑵

圖10

答案：圖10（1）中的幾何體可以看作是由一個(gè)圓柱和?個(gè)圓錐拼接而成；圖10（2）中的螺帽可以近似

看作是一個(gè)正六棱柱中挖掉一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體

知能訓(xùn)練

1.（2005湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，9）若干個(gè)棱長(zhǎng)為2、3、5的長(zhǎng)方體，依相同方向拼成棱長(zhǎng)為90的正方體，則正

方體的一條對(duì)角線貫穿的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)是（）

A.64B.66C.68D.70

分析：由2、3、5的最小公倍數(shù)為30,由2、3、5組成的棱長(zhǎng)為30的正方體的一條對(duì)角線穿過(guò)的長(zhǎng)方體

為整數(shù)個(gè)，所以由2、3、5組成棱長(zhǎng)為90的正方體的一條對(duì)角線穿過(guò)的小長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)應(yīng)為3的倍數(shù).

答案：B

2.圖11是,個(gè)獎(jiǎng)杯，可以近似地看作由哪幾種幾何體組成？

答案：獎(jiǎng)杯的底座是一個(gè)正棱臺(tái)，底座的上面是一個(gè)正四棱柱，獎(jiǎng)杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放

著一個(gè)球.

拓展提升

1.請(qǐng)想一想正方體的截面可能是什么形狀的圖形？

活動(dòng)：靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面.用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看幾何問(wèn)題的形成，容易建立空

間想象力，這樣對(duì)于分割和組合圖形是有好處的.

明確棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的定義及圓柱、圓錐、圓臺(tái)的生成過(guò)程，以及柱、錐、臺(tái)的相互關(guān)系，對(duì)

于我們正確的割補(bǔ)圖形也是有好處的.

對(duì)于正方體的分割，可通過(guò)實(shí)物模型，實(shí)際切割實(shí)驗(yàn)，還可借助于多媒體手段進(jìn)行切割實(shí)驗(yàn).對(duì)于切割所得

的平面圖形可根據(jù)它的定義進(jìn)行證明，從而判斷出各個(gè)截面的形狀.

探究：本題考查立體幾何的空間想象能力，通過(guò)嘗試、歸納，可以有如下各種肯定或否定性的答案：

（1）截面可以是三角形：等邊三角形、等腰三角形、一般三角形.

（2）截面三角形是銳角三角形，截面三角形不能是直角三角形、鈍角三角形.

（3）截面可以是四邊形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形：截面為四邊形時(shí)，這個(gè)

四邊形至少有一組對(duì)邊平行.

（4）截面不能是直角梯形.

（5）截面可以是五邊形：截面五邊形必須有兩組分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等；截面五邊形不可能

是正五邊形.

（6）截面可以是六邊形：截面六邊形必須有分別平行的邊，同時(shí)有兩個(gè)角相等.

（7）截面六邊形可以是等角（均為120。）的六邊形，即正六邊形.

截面圖形如圖12中各圖所示:

(I)(2)(3)(4)(5)

圖12

課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單組合體的概念和結(jié)構(gòu)特征.

作業(yè)

習(xí)題1.1A組第3題：B組第2題.

設(shè)計(jì)感想

本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量立體圖形，認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單組合體

的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描繪現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).在教學(xué)時(shí)，盡量多給學(xué)生一些圖片，以便

學(xué)生形成直觀感知，初步獲得感性認(rèn)識(shí).

備課資料

備用習(xí)題

1.試描述圖13軸承所示的承架的結(jié)構(gòu)特征.

圖13

答案：底板：其外部結(jié)構(gòu)是一個(gè)長(zhǎng)方體；半圓頭豎板：其下部是一個(gè)長(zhǎng)方體，上部是半個(gè)圓柱，中間挖了

一圓柱孔.

2.如圖14,四邊形ABCD繞邊AD所在直線EF旋轉(zhuǎn)，其中AD〃BC,AD1CD,當(dāng)點(diǎn)A選在射線DE上

的不同位置時(shí)，形成的兒何體大小、形狀不同，比較其異同點(diǎn).

圖14

答案：當(dāng)AD>BC時(shí)，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為底面半徑為CD的圓柱和圓錐拼成;

當(dāng)AD=BC時(shí)-，四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱；

當(dāng)0<AD<BC時(shí);四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱中挖去?個(gè)同底的圓錐；

當(dāng)AD=O時(shí)、四邊形ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓柱中挖去一個(gè)同底等高的圓錐.

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影

1.2.2空間幾何體的三視圖

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

在上一節(jié)認(rèn)識(shí)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，本節(jié)來(lái)學(xué)習(xí)空間幾何體的表示形式，以進(jìn)一步提高對(duì)空

間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí).主要內(nèi)容是：畫(huà)出空間幾何體的三視圖.

比較準(zhǔn)確地畫(huà)出幾何圖形，是學(xué)好立體幾何的一個(gè)前提.因此，本節(jié)內(nèi)容是立體兒何的基礎(chǔ)之一，教學(xué)

中應(yīng)當(dāng)給以充分的重視.

畫(huà)三視圖是立體幾何中的基本技能，同時(shí)，通過(guò)三視圖的學(xué)習(xí)，可以豐富學(xué)生的空間想象力.“視圖”

是將物體按正投影法向投影面投射時(shí)所得到的投影圖.光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“正視

圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“側(cè)視圖”，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖用這三種視圖

即可刻畫(huà)空間物體的幾何結(jié)構(gòu)，這種圖稱之為“三視圖”.

教科書(shū)從復(fù)習(xí)初中學(xué)過(guò)的正方體、長(zhǎng)方體……的三視圖出發(fā)，要求學(xué)生自己畫(huà)出球、長(zhǎng)方體的三視圖；

接著，通過(guò)“思考”提出了“由三視圖想象幾何體”的學(xué)習(xí)任務(wù).進(jìn)行幾何體與其三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化是高中

階段的新任務(wù)，這是提高學(xué)生空間想象力的需要，應(yīng)當(dāng)作為教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).

三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過(guò)學(xué)生自一的親身實(shí)踐，動(dòng)手作圖來(lái)完成.因此，教科書(shū)主要通過(guò)提出問(wèn)題，

引導(dǎo)學(xué)生自一動(dòng)手作圖來(lái)展示教學(xué)內(nèi)容.教學(xué)中，教師可以通過(guò)提出問(wèn)題，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐的過(guò)程中學(xué)會(huì)

三視圖的作法，體會(huì)三視圖的作用.對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體，在作三視圖之前應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生細(xì)心觀察，認(rèn)

識(shí)了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動(dòng)手作圖.教材中的“探究”可以作為作業(yè)，讓學(xué)生在課外完成后，再把自己的

作品帶到課堂上來(lái)展示交流.

值得注意的問(wèn)題是三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐、動(dòng)手作圖來(lái)完成.另外，教學(xué)中

還可以借助于信息技術(shù)向?qū)W生多展示一些圖片，讓學(xué)生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖

形.

三維目標(biāo)

1.掌握平行投影和中心投影，了解空間圖形的不同表示形式和相互轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)

學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法.

2.能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，并能識(shí)別上述三視圖

表示的立體模型，會(huì)用材料（如紙板）制作模型，提高學(xué)生識(shí)圖和畫(huà)圖的能力，培養(yǎng)其探究精神和意識(shí).

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖，給出三視圖和直觀圖，還原或想象出原實(shí)際圖的結(jié)構(gòu)特征.

教學(xué)難點(diǎn)：識(shí)別三視圖所表示的幾何體.

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.能否