近五年高考試題匯編推理與證明

10年高考數(shù)學(xué)推理與證明試題匯編

一、選擇題

1.（2010?廣東文，10）在集合｛“，b,c,"｝上定義兩種運算、⑧如下:

那么d?（ac）=（）

?abed?abed

aabedaaaaa

bbbbbbabed

ccbcbcacca

ddbbddadad

A.a

B.b

C.c

D.d

［答案］A

［解析］根據(jù)運算、?的定義可知，ac=c,d?c=a,故選A.

2.（文）（2010?福建莆田質(zhì)檢）如果將1,2,3,…，n重新排列后,得到一個新

系列41，。2,6，…，an,使得左+a*（左=1,2,…，〃）都是完全平方數(shù)，則稱〃為

“好數(shù)”.若〃分別取4,5,6,則這三個數(shù)中，“好數(shù)”的個數(shù)是（）

A.3

B.2

C.1

D.0

［答案］C

［解析］5是好數(shù)，4和6都不是，,取勿=3,。2=2,的=1,&=5,a5=4,

則1+0=4=22,2+42=4=22,3+的=4=2?4+44=32,5+45=32.

（理）（2010?壽光現(xiàn)代中學(xué)）若定義在區(qū)間D上的函數(shù).危），對于D上的任意〃

個值X|,X2，…，X”，總滿足/（X1）+/（X2）H卜於,）24"+"2:_則稱/（X）

為。上的凹函數(shù)，現(xiàn)已知_/（x）=tanx在（0,舒上是凹函數(shù)，則在銳角三角形43C

中，tan4+tan5+tanC的最小值是()

A.3

C.3小

D小

［答案］C

［解析］根據(jù)/（x）=tanx在（0,舒上是凹函數(shù)，再結(jié)合凹函數(shù)定義得，tarU+

tan5+tanC23tan件土^土^）=3tany=36.故所求的最小值為3小.

3.（文）定義某種新運算“婷'：S=a?6的運算原理為如圖的程序框圖所示，

則式子5?4—3?6=（）

A.2

B.1

C.3

D.4

［答案］B

［解析］由題意知5?4=5X(4+1)=25,3?6=6X(3+1)=24,所以5?4-3?6

3兀

(理)如圖所示的算法中，令41211，，b=sin0,c=cos。，若在集合

中任取。的一個值，輸出的結(jié)果是sin。的概率是（)

［答案］A

［解析］該程序框圖的功能是比較a,b,c的大小并輸出最大值，因此要使

輸出的結(jié)果是sin仇需sinGtan。,且sinGcos。，,當(dāng)。金（0,舒時，總有tanGsin。,

當(dāng)06?兀）時,sinft>0,tan興0,cos8<0,當(dāng)（兀，幻時，tan分0,sin8<0,

故輸出的結(jié)果是sin。時，6的范圍是住，兀），結(jié)合幾何概型公式得，輸出sin。的

兀

n-21

概率為——=?故選A.

2^-0

4.（2010?曲師大附中）設(shè)△/8C的三邊長分別為人b、c,△NBC的面積為

7V

S,內(nèi)切圓半徑為r,則『一看「類比這個結(jié)論可知：四面體S一/8C的四

a+b+c

個面的面積分別為Si、S2、S3、S,，內(nèi)切球的半徑為r,四面體S-/8C的體積

為V,則尸=（）

A------1—

S+S2+S3+S4

B'Si+S2+S3+S4

——

CS+S2+S3+S4

AV

DS1+S2+S3+S4

［答案］c

O,

［解析］設(shè)三棱錐的內(nèi)切球球心為那么由VS_ABC=VO-ABC+VO-SAB+VO-

sxc+Vo-SBC，

即―聶尸+聶尸+品廠+否”，

3V

/sr=,

可得Si+S2+S3+S4

5.(2010?遼寧錦州)類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的

X——XXI—X

兩個函數(shù)，S(x)=y—,C(x)=^~Y~,其中a>0,且aWl,下面正確的運算

公式是()

①S(x+_y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)；

②S(x—y)=S(x)C(y)—C(x)S(y)；

③。(x+歷=C(x)C(y)-S(x)S(y)；

④C(x—y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).

A.①③

B.②④

C.①④

D.①②③④

［答案］D

［解析］實際代入逐個驗證即可.

如5(x)C(y)+C(x)S(y)

_ax-ax-+亡―+尸——a-

=-2--2~+-2--2-

1ax+y—a~(x+y)

=^(2ax>y-2ax-y)=------j-------=S(x+y),

故①成立.同理可驗證②③④均成立.

6.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在1、2、3、4號位子

上如圖所示，第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…，這

樣交替進行下去，那么第2011次互換座位后，小兔的座位對應(yīng)的是()

第一次第二次第三次第四次

A.編號1B.編號2C.編號3D.編號4

［答案］D

［解析］根據(jù)動物換座位的規(guī)則，可得第四次、第五次、第六次、第七次換

座后的結(jié)果如下圖所示：

1貓兔2

3猴鼠4

1猴鼠2

32田兔4

第一次第二次第三次第四次

據(jù)此可以歸納得到：四個小動物在換座后，每經(jīng)過四次換座后與原來的座位

一樣，即以4為周期，因此在第2011次換座后，四個小動物的位置應(yīng)該是和第

3次換座后的位置一樣，即小兔的座位號是4,故選D.

［點評］因為問題只求小兔座位號，故可只考慮小兔座位號的變化，用1-2

表示小兔從1號位換到2號位，則小兔座位的變化規(guī)律是：

3-2f4f3-1-2f4f3…，顯見變化周期為4,又2011=4*502+3,故經(jīng)

過2011次換座后，小兔位于4號座.

7.(2010?山東文)觀察(%2)'=2x,(X4),=4x3,(COST)'=—sinx,由歸納推

理可得：若定義在R上的函數(shù)人x)滿足人一x)=〃)，記g(x)為/)的導(dǎo)函數(shù)，則

X-x)=()

A../(%)

B.-J［x}

C.g(x)

D.-g(x)

［答案］D

［解析］觀察所給例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，，g(—x)=一

g(x),選D.

8.甲、乙兩位同學(xué)玩游戲，對于給定的實數(shù)卬，按下列方法操作一次產(chǎn)生

一個新的實數(shù)：由甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個正面朝上或兩

個反面朝上，則把?乘以2后再加上12；如果出現(xiàn)一個正面朝上，一個反面朝

上，則把m除以2后再加上12,這樣就可得到一個新的實數(shù)02.對實數(shù)。2仍按上

述方法進行一次操作，又得到一個新的實數(shù)力.當(dāng)時，甲獲勝，否則乙獲

勝.若甲獲勝的概率為玄則田的取值范圍是（）

A.[-12,24]

B.（-12,24）

C.（—8,-12）0（24,+8）

D.（一8,-12]U[24,+8）

[答案]D

[解析]因為甲、乙同時各擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)的可能情形有4種：（正,

正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），所以每次操作后，得到兩種新數(shù)的概率是

一樣的.

故由題意得

即4?i+36,m+18,ai+36,；m+18出現(xiàn)的機會是均等的，由于當(dāng)a^>a\

時，甲勝且甲勝的概率為京故在上面四個表達式中，有3個大于內(nèi)，???0+18>幻,

0+36>四，故在其余二數(shù)中有且僅有一個大于由4m+36>小得。1>—12,

由/i+18>m得，0<24,故當(dāng)一12《i<24時，四個數(shù)全大于內(nèi)，當(dāng)mW—12或

3224時，有且僅有3個大于“1,故選D.

9.（2010?廣州市）如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們

是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第〃行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為：（〃22）,每個數(shù)是它

下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如;=昇白，|=1+7,則第7行第4

個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

T

22

111

---

363

1111

-

44-

1212

11111

-1

55-

203020

A-140

B?卡

c表

D42

［答案］A

［解析］第6行從左到右各數(shù)依次為為1111

第7行從左到

30'60'60'30'

右各數(shù)依次為;，/，忐1出1忐表,

故選A.

10.（2010?山東淄博一中）如圖，在梯形ABCD中,

AB//DC,AB=a,CD=b(a>h).若EF//AB,EF至I」CD

met+nh

與4的距離之比為〃一，則可推算出：EF=H，

試用類比的方法，推想出下述問題的結(jié)果.在上面的梯形

ABCD延長梯形兩腰8C相交于。點，設(shè)△045、的面積分別

為Si、S2,EF//AB,且E尸到CO與的距離之比為加〃，則△OEE的面積

So與&、S2的關(guān)系是（）

mS\+nSz

A-5o=m+n

nS\+mSi

*加+〃

D派」追？曲

vm~vn

［答案］c

［解析］根據(jù)面積比等于相似比的平方求解.

二、填空題

11.（2010?鹽城調(diào)研）請閱讀下列材料：

若兩個正實數(shù)41，6滿足4/+。22=1，那么處+做忘啦.

證明：構(gòu)造函數(shù)段）=（》一卬）2+。一念）2=2》2—2（。|+的比+1,因為對一切

實數(shù)x,恒有/（x）20,所以AW0,從而得4（ai+a2）2—8W0,所以m+zW啦.

根據(jù)上述證明方法，若〃個正實數(shù)滿足。/+。22+…+?！?=1時，你能得到

的結(jié)論為.（不必證明）

［答案］m+a2H---

12.（文）如圖甲，在△NBC中，/B_L4C,/O,8C,。是垂足，則AB?=BDBC,

該結(jié)論稱為射影定理.如圖乙，在三棱錐力—8C。中，平面N8C,4。，平

面BCD,O為垂足，且。在△8C。中，類比射影定理，探究SMBC、S&BCO、SABCD

之間滿足的關(guān)系式是.

［答案］S^ABC=S/\BCO'S^BCD

［解析］根據(jù)類比推理，將線段的長推廣為三角形的面積，從而得到答案.

（理）（2010?湖南湘潭市）現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個平

面內(nèi)有兩個邊長都是。的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個

2

正方形重疊部分的面積恒為:，類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中

一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為

［答案］9

13.(文)(2010?陜西理)觀察下列等式：13+23=3勺3+23+33=6勺3+23+33

+43=102,根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為.

［答案］13+23+33+43+53+63=212

［解析］觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)：

13+23=32=(1+2)2

13+23+33=62=(1+2+3)2

13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2

推想：r'+23+33+,,,+/73=（l+2+3+…+”）2

.?.第五個等式為：13+23+33+43+53+63=（1+2+-+6）2=212.

（理）（2010?廣東省佛山順德區(qū)質(zhì)檢）已知一系列函數(shù)有如下性質(zhì)：

函數(shù)歹=x+g在（0,1］上是減函數(shù)，在［1,+8）上是增函數(shù)；

函數(shù)y=x+,在（0,啦］上是減函數(shù)，在［啦，+8）上是增函數(shù)；

函數(shù)y=x+,在（0,?。萆鲜菧p函數(shù)，在［小，+8）上是增函數(shù)；

利用上述所提供的信息解決問題：

a川

若函數(shù)少=》+《1>>0）的值域是［6,+°°）,則實數(shù)用的值是.

［答案］2

［解析］由題目提供信息可知y=x+—（x>0）在（0,次］上是減函數(shù)，在［F，

+8）上是增函數(shù)，，當(dāng)》=小^時，ymin=6,.,?加=2.

14.（文）（2010?湖南衡陽八中）如圖（1）有關(guān)系今宵-=吟篝二，則如圖（2）

Vp-A，BC

有關(guān)系

Vp-ABC

B,

B

R4'PB'PC'

［答案］-PAPBPC-

ppVp-ABC

［解析］根據(jù)類比推理，將平面上三角形的結(jié)論，推廣到空間,

Vp-ABC

PA'PB'PC1

一—PAPBPC一-簡證如下:

設(shè)B'、5到平面次的距離分別為6H,略=%

S^PAC_PA'PC

SAPACPA'PC

.Vp-AB'C3S^PA，c"hPA'PCPB'

==

AVp-ABCT__~_PAPCPB-

4c力

(理)(2010?江蘇姜堰中學(xué))如圖①，數(shù)軸上/(Xi)、8(X2)，點尸

分AB成兩段長度之比低="則點P的坐標(biāo)xp=1警成立；

ri>1~TA

Ap

如圖②，在梯形ABCD中，EF//AD//BC,且而=九則EF=

￡S￡)

AD+ABC

1+A-,

根據(jù)以上結(jié)論作類比推理，如圖③，在棱臺ABCi-ABC

中，平面。跖與平面/8C平行，且彩=九△48iG、ADEF、△NBC的面積

依次是$,S,S2,則有結(jié)論：.

［答案］小=工-!［豆、

［解析］將三棱臺補成棱錐P-N8C,不妨令R4i=m,DA=n,則4。=戒,

那么，

,.y［S\m,BIT4S\

由泰=中,阿〃=小一的'

_,yfsm+nX,,

又由低=〃?+〃a+i），付/H加+加=

y[S2—\[S'

.nAy[S\n\[s

??木-信+〃"=低-V?

,y[s/_y[s由此得#=嗎磬.

y[s-yj^\\[S2~yjs

三'解答題

15.（2010?瑞安中學(xué)）用分析活證明：小一啦＞^^一W.

［證明］證法1：要證小一啦》\「一5成立，

■:小一?。?,小一?。?,

只要證（、后一啦）2＞（小一幣）2成立.

即證5—2加＞9—成立.

即證一2加＞4—成立，

只須證#＜—2+4而成立.

'：y/20-2＞0,故只須證6＜24-4亞成立.

即證9＞24為成立，即證81＞80成立.

最后一個不等式顯然成立，以上步步可逆，故原不等式成立.

證法2：要證仍一啦＞^白一卡成立，只須證小+5＞\3+也成立，只須證

7+2，五＞7+25成立，即證血＞7訶成立，即證12＞10成立，最后一個不等式

顯然成立，故原結(jié)論成立.

（\

蘇”,〃為偶數(shù)

16.（文）設(shè)數(shù)列｛斯｝的首項ai=ag，且a?+i=＜

It己b〃=

口+,,〃為奇數(shù).

4，"=1,2,3,….

（I）求。2，。3；

（2）判斷出”｝是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

［解析］（l）a2=ai+|=a+1,

。3=52=5+/

(2)：。4=的+a=2"+8,

.?.恁=%4=%+得

猜想｛勾｝是公比為g的等比數(shù)列.

證明如下：

...__1_1a2n_I_K2w-1,n_i

?bn+\—ci2n+1-4—2-4—2\'4J-4

=*2"-i-；)=米(〃eN*).

???｛與｝是首項為a—公比為3的等比數(shù)列.

(理)(2010?湖南文)給出下面的數(shù)表序列：

表1表2表3…

113135

448

12

其中表〃(〃=1,2,3,…)有〃行，第1行的〃個數(shù)是1,3,5,…，2M-1,從第

2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.

(1)寫出表4,驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,

并將結(jié)論推廣到表〃(〃23)(不要求證明)；

(2)每個數(shù)表中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列，1,4,12,…，記此數(shù)

列為冏?求和:箴+贏+…+腦〃

［解析］⑴表4為

1357

4812

1220

32

它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項為4,公比

為2的等比數(shù)列.

將這一結(jié)論推廣到表〃(〃23),即

表〃(〃23)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n,公比為2

的等比數(shù)列.

簡證如下(對考生不作要求)

首先,表〃(〃23)的第1行1,3,5,…，2/?-1是等差數(shù)列，其平均數(shù)為

]+3+???+(2〃—])

=n；其次，若表〃的第左(11)行內(nèi),做，…，冊—k+i

是等差數(shù)列,則它的第k+1行⑹+的、…，斯-4+1也是等差數(shù)列.由

等差數(shù)列的性質(zhì)知，表〃的第4行中的數(shù)的平均數(shù)與第k+1行中的數(shù)的平均數(shù)

+%―卜+a

分別是1i+a2+&+

=a\-\~an-k+\-

由此可知，表〃(〃23)各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按

從上到下的順序構(gòu)成首項為〃，公比為2的等比數(shù)列.

(2)表〃的第1行是1,3,5,…，2n—1,其平均數(shù)是

1+3+5+???+(2〃-1)

n

由(1)知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為〃，公比為

2的等比數(shù)列(從而它的第左行中的數(shù)的平均數(shù)是〃于是，表〃中最后一行

的唯一一個數(shù)為為=〃21.

用小一+2(左+2)2人|:+2

因此6也+1-左21)0一碌+

2(1+1)T11〃_、

一.女+1>2/2_72-3—(后+1>2小2(左一1,2,3,…,?)

故念+盒+…+-W7)+團+…+

1_1'

_〃X2"-3—(“+I)X2"-2_

=_1_]]

-2

-1X2(/7+1)X2M~2-(〃+l)X2"

17.(文)已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“，若4”,斯什2,即+1(加GN*)成等

差數(shù)列，試判斷必，S,”+2,S“+|是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

［解析］設(shè)等比數(shù)列｛為｝的首項為。I，公比為q(aiWO,qWO),

右Clfn,成等差數(shù)列，

貝2am+2。/〃T-。機+1?

??2。闖—ci\q十.

gWO,/.2q2—q—\=0.

解得<7=1或<1=~2-

1=(21，

當(dāng)^=1時，,**Sm—ma\,S〃?+m+1)。］,5巾+=(加+2)。

2

??25洲+工5膽+Stn

???當(dāng)9=1時，Sm，S/2,必+1不成等差數(shù)列.

當(dāng)(?=一3時，Sm,Sm+2,S”+l成等差數(shù)列.

證明如下:

1)—2—1)—a〃?+2)

證法1：?(S〃?+Sm+2S/〃+(S/〃+S〃?+dtn+2(S〃?+。切+1+

=一冊+i—2即+2=—a加+1-2夕斯壯1

??2Sm+2-S/〃+Sm+i.

...當(dāng)時，Sm,Sm+2,S“+i成等差數(shù)列.

2a\

證法2：**2szM+2=

+1?

...當(dāng)時，S”“S"+2,Sm+I成等差數(shù)列.

(理)已知函數(shù)次幻對任意的實數(shù)x、y都有火x+y)=/(x)+y(y)—l,且當(dāng)x>0

時，於)>1.

(1)求證：函數(shù)人x)在R上是增函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的不等式人刀2—ox+5a)<2的解集為｛x|-3<x<2｝,求人2010)的值;

(3)在(2)的條件下，設(shè)處=|/(〃)一14|(〃6N*),若數(shù)列｛6｝從第左項開始的連

續(xù)20項之和等于102,求人的值.

[解析]⑴證明：設(shè)陽>82,則看一M>0,從而兀VLX2)>1,即人陽一^2)—1>0.

./(X1)=/[X2+(X1-X2)]

~AX2)+J｛X\—xi)—1次X2),

故段)在R上是增函數(shù).

(2)設(shè)/(b)=2,于是不等式化為/(f—ax+5a)勺仍).

則82—辦+5。<6,即/一辦+5。-b<0.

?不等式y(tǒng)(x2—ax+5a)<2的解集為｛x|—3<x<2｝.，方程/一℃+5a—b=0

的兩根為一3和2,

-3+2=4a=-1

于是《,解得?W)=2.

［—3X2=5。一bb=\

在已知等式中令x=〃，y=1#,/(M+1)—/(M)=1.

所以伏〃)｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列.

次〃)=2+(〃一1)X1=〃+1,故人2010)=2011.

(3)四=1/6)一14|=|(左+1)-14|=|^-13|.

設(shè)從第4項開始的連續(xù)20項之和為丁卜則公=以+僅+|+…+公+回

當(dāng)％213時，恁=|A—13|=A—13,n^^i3=0+l+2+3H---F19=190>102.

當(dāng)左<13時，ak=\k-l3\=13-k.

公=(13—左)+(12-A)H---F1+0+1+-+()l+6)=Z：2-7^+112.

令d一7左+112=102,解得％=2或左=5.

20X19

［點評］當(dāng)左213時，四=|左一13|=左一13,令〃=20(左一13)+―2-Xl=

102,無正整數(shù)解，故人213時，A不可能取值為102.

2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編—推理與證明創(chuàng)新題

[a,a-b<\,

a?h-<

1.（天津理4）對實數(shù)。和6,定義運算“③”：也。一6>1.設(shè)函數(shù)

7?（x）=（x2-2）⑥（x-x2）,xeR.若函數(shù)y=/⑴_c的圖像與x軸恰有兩個公

共點，則實數(shù)。的取值范圍是

A.（-巴加卜用

(-oo,-2]u-1,--

B.

-1,---,+°°

c.卜用電什）D.4)4

【答案】B

2.（山東理12）設(shè)4,4,4,4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若

————————3=2

44=孫4（九WR）,（MGR）,且丸4，則稱4,4調(diào)

和分割4,4,已知平面上的點c,D調(diào)和分割點A,B則下面說法正確的

是

A.C可能是線段AB的中點

B.D可能是線段AB的中點

C.C,D可能同時在線段AB上

D.C,D不可能同時在線段AB的延長線上

【答案】D

3.（湖北理9）若實數(shù)a,b滿足且砧=0,則稱a與b互補，記

觀a,b）=《『+b2-a-b,,那么。SM=°是a與b互補的

A.必要而不充分的條件B.充分而不必要的條件

C.充要條件D.即不充分也不必要的條件

【答案】C

4.（福建理15）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射&滿足：對任

意向量a=(xi，yi)GV,b=(x2,y2)GV,以及任意均有

/(4+a(\-秘)=2/(a)+(l-

則稱映射f具有性質(zhì)Po

現(xiàn)給出如下映射：

①/R,f2（/?）=X,-y,m=（x,y）eV;

2

②人PR,f2(m)=x+y,m=(x,y)eV\

③%：P-^R,f3(m)=x+y+\,m=(x,y)eV.

其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為。(寫出所有具有性質(zhì)P的映射

的序號)

【答案】①③

5.(湖南理16)對于〃eN*,將n表示

kkx2i

n=a0x2+a{x2~'+a2x2-+...+ak_lx2+akx20當(dāng)j=o時，q=l當(dāng)

V”時,囚為0或1.記《〃）為上述表示中小為0的個數(shù)（例如:

7=1x2°,4=lx22+0x2'+0x2°），故41）=0,1（4）=2），則

〃1

(1)?12)=________________；（2）W=1

【答案】21093

6.（北京理8）設(shè)“（°，°）,8（4,0）,C（/+4,4）,D（/,4）（feR）記N。）為平行四邊

形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是

整數(shù)的點，則函數(shù)N"）的值域為

A.{TO，”}B{9,10,12}

C.{9,11,12}D,{10,11,12}

【答案】C

7.（江西理7）觀察下列各式：55=3125,56=15625,57=78125,...?則52°"的

末四位數(shù)字為

A.3125B.5625C.0625D.8125

【答案】D

8.（廣東理8）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果W%beS,有abeS,則稱S關(guān)

于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，7u0=Z,且

^a,b,c&T,有abceT;\fx,y,ze匕有"zeJ則下列結(jié)論恒成立的是

A.T，/中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的

B.中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的

C.3中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的

D.7,修中每一個關(guān)于乘法都是封閉的

【答案】A

9.（江西理10）如右圖，一個直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時針

方向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點.那么，當(dāng)小

圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點M,N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與歹都是整數(shù)，就稱點（羽團為整

點，

下列命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）.

①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點

②如果人與b都是無理數(shù)，則直線V=依+°不經(jīng)過任何整點

③直線/經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)/經(jīng)過兩個不同的整點

④直線卜=丘+6經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：人與b都是有理數(shù)

⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線

【答案】①，③，⑤

11.（四川理16）函數(shù)f（X）的定義域為A,若打x?wA且f（xp=f區(qū)）時總有

X1=X2,則稱f(x)為單函數(shù).例如，函數(shù)f(x)=2x+l(xeR)是單函數(shù).下

列命題：

①函數(shù)f(x)=x2(XGR)是單函數(shù)；

②若f(x)為單函數(shù)，X|,x?eA且X]WX2,則f(X|)"(X2);

③若f：A->B為單函數(shù)，則對于任意beB,它至多有一個原象;

④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù).

其中的真命題是.(寫出所有真命題的編號)

答案：②③④

解析：①錯，???再=±%,②③④正確

/(%)=—2—(%>0)

12.(山東理15)設(shè)函數(shù)x+2，觀察:

X

工(x)=/(x)=

x+2

X

力(x)=/(/(x))=

3x+4

Y

f3(x)=f(f2(x))=--,

7x4-8

X

〃x)=/(/；(x))=

15x+16

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：

當(dāng)〃eN+且〃22時，￡(x)=/(Z,-iW)=,

X

［答案］(2"T)x+2"

13.(陜西理13)觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此規(guī)律，第〃個等式為

【答案】〃+(〃+1)+(“+2)-1----F(3n-2)=(2/j—I)2

12年高考推理與證明試題匯編

1.湖南16.設(shè)N=2"(〃GN*,〃22),將N個數(shù)xi,X2,…，XN依次放入編號為1,2,…，

N的N個位置，得到排列Po=X|X2…XN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)

取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前史和后四個位置，得到排列Pl=XiX3…

22

,N

XN.X2X4…XN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段"個數(shù)，并對每段作

2

N

C變換，得到??；當(dāng)2WiWn-2時，將Pi分成2,段，每段捺個數(shù)，并對每段C

變換，得到Pi+l，例如，當(dāng)N=8時,P2=X|X5X3X7X2X6X4X8,此時X7位于P2中的第

4個位置.

(1)當(dāng)N=16時，X7位于P2中的第一個位置；

(2)當(dāng)N=2“(n28)時，X173位于P4中的第一個位置.

【答案】(1)6；(2)3X2"-4+11

【解析】(1)當(dāng)N=16時,

1=%wwx//…%，可設(shè)為(1，2,3,4,5,6「-,16),

6=七專X55…X15X2X4X6…再6,即為(1,3,5,7,9,…2,4,6,8,…,16),

P2=%,馬石3%3%7孫國5%2年"/6，即(1，5,9,13,3,7,11,15,2,6L?,16),X:位于P2中的第

6個位置,；

(2)方法同(1)，歸納推理知X173位于P4中的第3X2—+11個位置.

【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題

的能力.

需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.

2.江蘇20.(2012年江蘇省16分)已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列也｝和也｝滿足:

(1)設(shè)4M=1+%,〃eN*,求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

叫

(2)設(shè)%=亞?%,〃eN*,且｛q｝是等比數(shù)列，求%和々的值.

【答案】解：(1)???”用=1+%,...=一#廿%_=>初一

%舊+?"⑻2

%)

2

(hy

，數(shù)列%是以1為公差的等差數(shù)列。

\a”)

(2)%>0,…,/"心4%2+“〈(…,)2。

n+Z?n

.,.1<??+1=/<V2o（*）

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,由%>0知4>0,下面用反證法

證明《=1

若q>l,貝!Jax=—v。24及，,當(dāng)〃>log.—時，〃“+1=>V2，

q可

與（*）矛盾。

n

若0<夕vl,貝>1，???當(dāng)〃>logq,時，an+]=a]q<1,

qq

與（*）矛盾。

工綜上所述，4=1?，擭*),/.1<tZj<V2o

又???仇用=&?%="?％(〃eN*),...{b?}是公比是走的等比

%佝q

數(shù)列。

若qH>/2,貝!]———>1,于是b、<b2Vb30

q

又由見用=竿"=即可=；也_,得"二心注，:。

向+b：

/.b｝,b2,打中至少有兩項相同，與4<與<與矛盾。，q=0。

ax=b2=V2O

【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。

【解析】(1)根據(jù)題設(shè)_和b向=",求出姐=

M+b：冊an+l

(h\2\2

從而證明如一區(qū)=1而得證。

⑵根據(jù)基本不等式得至打“尸金'用反證法證明等比數(shù)

列的公比q=lo

從而得到冊=可(〃eN*)的結(jié)論，再由bll+l=J2A=—?bn知也｝是公比是它的

等比數(shù)列。最后用反證法求出q=與=也。

3.江西6.觀察下列各式：a+b—^a'+b1=3,a3+b,—4,a4+b4-7,^+b5=11,---

則小+即=()

A.28B.76C.123D.199

6.C【解析】本題考查歸納推理的思想方法.

觀察各等式的右邊，它們分別為1,3,4,7,11,…，

發(fā)現(xiàn)從第3項開始，每一項就是它的前兩項之和，故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,

18,29,47,76,123,…，

故建+/=123.

【點評】歸納推理常?？山柚皫醉椀墓残詠硗瞥鲆话阈缘拿}.體現(xiàn)考綱中要

求了解歸納推理.來年需要注意類比推理等合情推理.

4.全國卷大綱版22(本小題滿分12分)(注意：在試卷上作答無效)

函數(shù)/(x)=Y-2x-3o定義數(shù)列｛%｝如下：x,=2,西山是過兩點

P(4,5),0〃))的直線PQ,與x軸交點的橫坐標(biāo)。

(1)證明：2WX,,<X“M<3；

(2)求數(shù)列｛x,,｝的通項公式。

解：(1)為〃4)=42-8-3=5,故點尸(4,5)在函數(shù)/(x)的圖像上,故由所給出

的兩點P(4,5),0(x“J(x“))，可知，直線“斜率一定存在。故有

直線PQ的直線方程為k5=/&)-5(》-4),令歹=0,可求得

演一4

xj-2x“-8-54x“+3

-5(x-4)==x-4=x=

七一4居+2x,,+2

=牝+3

所以X.M

當(dāng)+2

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明2<3

當(dāng)〃=1時，再=2,滿足2WX1<3

假設(shè)〃=左時，24/<3成立，貝U當(dāng)〃=左+1時，/+]=%+3=4---------

/+2%+2

由2</<3=44/+2<5=1<—<-?2<—<4一——<3即

xk+244xk4-2

2W4+I<3也成立

綜上可知2Wx“<3對任意正整數(shù)恒成立。

下面證明x?<x?+1

4七,+34:4x〃+3-xj-2x“_-(.-if+4

由瑞+|一怎

演+2"x?+2xn+2

由2<x“<3n1<怎一1<2=0<-(x“-I)?+4W3,故有xn+i-xn>0即x“<x?+1

綜上可知2Wx?<x?+1<3恒成立o

⑵由加=需得到該數(shù)列的一個特征方程A筌即--3=。，解

得x=3或1=一1

_3=生生_3=上1①小小儲山卷②

%

x”+2x“+2

兩式相除可得至二=上口，而五匚=

x〃+］+15Xn+1玉+12+13

故數(shù)列—是以-‘為首項以工為公比的等比數(shù)列

［x“+lj35

9x5"~'-l

=3------：—

3x5n-l+l3x5n-l+l

【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運

用。先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點坐標(biāo)，再運用數(shù)學(xué)歸納法進行

證明，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進而求得數(shù)列的通基。

【點評】以函數(shù)為背景，引出點的坐標(biāo)，并通過直線與坐標(biāo)軸的交點得到數(shù)列的

遞推公式。既考查了直線方程，又考查了函數(shù)解析式，以及不等式的證明，試題

比較綜合，有一定的難度。做這類試題那就是根據(jù)已知條件，一步一步的翻譯為

代數(shù)式，化簡得到要找的關(guān)系式即可。

5.陜西11.觀察下列不等式

1

+3

一<—

212

+15

+—<-，

21333

+

2

照此規(guī)律，第五個不等式為___________________________________________

【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左邊=l+4+4+L+廣二,

2~3（77+1）

右邊二2（二丁,所以第五個不等式為I+5+?+（+!+5<11.

6上海23.對于數(shù)集—={-1,石,々,…,X”},其中0<玉<馬<…〈4，n>2,定

義向量集

Y={a|t7=（5,/）,5GX,t&X}.若對于任意［eY,存在工€丫，使得74=0,則

稱X

具有性質(zhì)P.例如X={-1,1,2）具有性質(zhì)P.

（1）若x>2,且{一1,1,2,x},求x的值；（4分）

（2）若X具有性質(zhì)P,求證：MX,且當(dāng)x”>l時，H=1；（6分）

（3）若X具有性質(zhì)P,且修=1,X2=q“為常數(shù)），求有窮數(shù)列王,七,???,Z

的通

項公式.（8分）—

［解］（1）選取I=（x,2）,丫中與I垂直的元素必有形式（-1涉）.……2

分

所以x=2b,從而x=4.

4分

(2)證明：取q=(X],X])e丫.設(shè)的=(s,丫滿足其?點=0.

由(s+￡)X]=0得s+t=0,所以s、f異號.

因為T是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、/中之一為T,另一為1,