高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其線性運(yùn)算6省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)

空間向量及其線性運(yùn)算1/35平面向量知識(shí)復(fù)習(xí)一、基本概念向量、向量模、零向量、單位向量平行(共線)向量、相等向量、相反向量1、定義2/352、平面向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算向量加法三角形法則ab向量加法平行四邊形法則ba向量減法三角形法則aba－ba

＋ba(k>0)ka(k<0)k向量數(shù)乘aa

＋b首尾相連共起點(diǎn)，指向被減3/353、平面向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算律加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：4/35推廣:（1）首尾相接若干向量之和，等于由起始向量起點(diǎn)指向末尾向量終點(diǎn)向量；（2）首尾相接若干向量若組成一個(gè)封閉圖形，則它們和為零向量。5/35二、平面向量運(yùn)算及其性質(zhì)

運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量加法向量減法①平行四邊形法則②三角形法則三角形法則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)AB＋BC＝ACa－b＝a＋(－b)AB＝－BAOB－OA＝AB6/35運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量數(shù)乘向量數(shù)量積λa是一個(gè)向量①λ＞0時(shí)，

λa與a同向；②λ＜0時(shí)，

λa與a反向；③λ＝0時(shí),λa＝0a·b是一個(gè)數(shù)a·b

＝|a|·|b|cos<a,b>7/35三、定理及主要結(jié)論

1、向量共線定理假如有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之假如b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.8/352、平面向量基本定理假如e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.OP＝(OA＋OB)幾何意義？129/35存在λ，使b＝λa(a≠0)x1y2＝x2y1x1x2＋y1y2＝0a·b＝0bb3、兩個(gè)向量平行充要條件：4、兩個(gè)向量垂直充要條件：若=(x1,y1)、=(x2,y2)則//充要條件是

.(坐標(biāo)表示)aa//充要條件是

；

(向量表示)

ab⊥充要條件是

；(向量表示)

ab若

=(x1,y1)、=(x2,y2)則⊥充要條件也可是

.(坐標(biāo)表示)aabb10/35空間向量在空間，我們把含有大小和方向量

叫做空間向量.

空間向量表示相等向量（同一向量）空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)兩條有向線段表示所以凡是包括空間任意兩個(gè)向量問(wèn)題，平面向量中相關(guān)結(jié)論仍適合用于它們11/35空間向量OA＋AB＝OBOB－OA＝ABOP＝λa(λ∈R)一、空間向量運(yùn)算OACBP空間向量運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算推廣12/35a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)二、空間向量運(yùn)算律加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律AA1CC1BDD1B1abc會(huì)證嗎？13/35加法結(jié)合律：abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+14/35假如表示空間向量有向線段所在直線相互平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.AA1CC1BDD1B1abc零向量與任何向量共線！向量與向量平行，記作//.aabb15/35三、共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(a≠0)，b與a共線充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.16/35例題演練例1、在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1中點(diǎn)，化簡(jiǎn)以下各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到向量：⑴CB＋BA1；⑵AC＋CB＋AA1；⑶AA1－AC－CB.12ACBA1C1B1M17/35例題演練例2、在長(zhǎng)方體OADB－CA'D'B'中，OA=3，OB＝4，OC＝2，OI＝OJ＝OK＝1，點(diǎn)E、F分別是DB、D'B'中點(diǎn)，設(shè)OI＝i，OJ＝j(luò)，OK＝k，試用i、j、k表示OE和OF.CADBOA'B'D'EFIKJ34218/35ABCDA1B1C1D1GM例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1,化簡(jiǎn)以下向量表示式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果向量。(如圖)

始點(diǎn)相同三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱平行六面體以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)對(duì)角線所表示向量變：《教測(cè)》21/eg219/35例4：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足以下各式x值。ABCDA1B1C1D120/35ABCDA1B1C1D1例4：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足以下各式x值。21/35ABCDA1B1C1D1例4：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足以下各式x值。22/35ABCDA1B1C1D1例4：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足以下各式x值。23/351、在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖所表示，A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，E、F、G、H、P、Q分別是AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A中點(diǎn)，求證：EF＋GH＋PQ=0.備用例題D1ABCA1C1B1EFDGFHPQ24/352、如圖所表示在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，N是C1D1中點(diǎn)，Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1.⑴用a、b、c表示向量AQ；⑵若AN＝xa＋yb＋zc，求x、y、z值.ABCDNQA1B1C1D1備用例題25/35ABMCGD練習(xí)1在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)M、G分別是BC、CD邊中點(diǎn),化簡(jiǎn)26/35ABMCGD(2)原式練習(xí)1在空間四邊形ABCD中,點(diǎn)M、G分別是BC、CD邊中點(diǎn),化簡(jiǎn)27/35ABCDDCBA練習(xí)2在立方體AC1中,點(diǎn)E是面A’C’中心,求以下各式中x,y.E28/35ABCDDCBA練習(xí)2E在立方體AC1中,點(diǎn)E是面AC’中心,求以下各式中x,y.29/35ABCDDCBA練習(xí)2E在立方體AC1中,點(diǎn)E是面AC’中心,求以下各式中x,y.30/35練習(xí):P83頁(yè).1、2、3、631/35若O為⊿ABC平面外一點(diǎn),假如

那么G位置在圖中哪里?OBCA思索:32/35OMBGCA若G為⊿ABC重心,證實(shí)

33/35平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義表示法