2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)、渾南區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 解析版

2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)、渾南區(qū)九年級（上）期末

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，謂將正確答案涂在答題卡上，

每小題2分，共20分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x=-2B.x3-2x+l=0

C.x+3xy+l=0D.---+-^—5=0

X?x

2.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球，黃球共36個(gè)，這些球除顏色外都相同.小明通過多次

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）

A.5B.9C.15D.24

3.由5個(gè)相同的小正方體組成的幾何體如圖所示，該幾何體的主視圖是（）

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形O45C是矩形，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,。的坐標(biāo)

分別是（6,0）,（0,3）,點(diǎn)8在第一象限，則點(diǎn)8的坐標(biāo)是（）

A.(3,6)B.(6,3)C.(6,6)D.(3,3)

5.函數(shù)y=-用(x>0)的圖象位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.如圖，把一塊長為40c〃?，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形，然后

把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底

面積為600c〃P,設(shè)剪去小正方形的邊長為X。"，則可列方程為()

A.(30-2%)(40-%)=600B.(30-%)(40-%)=600

C.(30-%)(40-2%)=600D.(30-2x)(40-2x)=600

8.兩個(gè)相似多邊形的一組對應(yīng)邊分別是3c〃?和4.5cm如果它們的周長之和是80c,w,那么

較大的多邊形的周長是()

A.16。九B.32cmC.48c/?zD.52cm

9.已知菱形的周長為8,兩鄰角的度數(shù)比為1：2,則菱形的面積為()

A.8因B.8C.4(3D.2邁

10.如圖，拋物線丫="2+法+c(”/0)交x軸于點(diǎn)A,B,交)，軸于點(diǎn)C.若點(diǎn)A坐標(biāo)為(-

4,0),對稱軸為直線x=-I,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.二次函數(shù)的最大值為a-h+c

B.a+b+c>0

C.Z?2-4ac>0

D.2〃+%=0

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）從目，-1，1,2中任取一個(gè)數(shù)作為。的值，使拋物線y=ar2+/zr+c（a,b,c

是常數(shù)）的開口向上的概率為.

12.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程，+5x-m=0的一個(gè)根是2,則另一個(gè)根是______.

13.（3分）若點(diǎn)A（-5,a）,B（3,b）,C（6,c）都在反比例函數(shù)R引的圖象上，則a,

b,c中最大的是.

14.（3分）如圖，面積為16的菱形ABC。中，點(diǎn)。為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

過點(diǎn)E作EF±BD于點(diǎn)F,EG±AC于點(diǎn)G,則四邊形EFOG的面積為.

15.（3分）豎直上拋物體時(shí)，物休離地而的高度/?（山）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（s）之間的關(guān)系可以

近似地用公式/?=-5/+應(yīng)+/?0表示，其中ho（/?）是物體拋出時(shí)離地面的高度，vo（mk）

是物體拋出時(shí)的速度.某人將一個(gè)小球從距地面1.5m的高處以20mls的速度豎直向上拋

出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為m.

16.（3分）如圖，菱形ABCO的對角線4C和8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)G在射線0。上，且GD=

3OD,過點(diǎn)G作GE〃C。交射線0C于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作0E的垂線，與過點(diǎn)G作0G的

垂線交于點(diǎn)F,得到矩形0EFG.射線A。交線段GF于點(diǎn)H,將△GOH沿直線AH折疊,

得到當(dāng)點(diǎn)M在矩形0EFG的邊上時(shí)，回=____.

回

三、（17題6分，18題，19題各8分，共22分）

17.（6分）若關(guān)于x的一元二次方程依2-6犬+9=0有實(shí)數(shù)根，求&的取值范圍.

18.(8分)如圖，點(diǎn)。在/B4C的內(nèi)部，Z1=Z2,/1+NBAC=18O°.BD=1.5,CD

19.（8分）在學(xué)校即將召開的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲，乙兩名學(xué)生準(zhǔn)備從100米短跑（記為項(xiàng)目A）,

800米中長跑（記為項(xiàng)目B）,跳遠(yuǎn)（記為項(xiàng)目C）三個(gè)項(xiàng)目中，分別隨機(jī)選擇一個(gè)項(xiàng)目

參加比賽.請用畫樹狀圖或列表法求甲，乙兩名學(xué)生選擇相同項(xiàng)目的概率.

四、（20,21題各8分，共16分）

20.（8分）如圖，正方形A8C。中，點(diǎn)尸是對角線AC上一點(diǎn)，連接PB,邊作交

AO邊于于點(diǎn)E,且點(diǎn)E不與點(diǎn)A,力重合，作PACLAD,PNLAB,垂足分別為點(diǎn)M和

N.

(1)求證：PM=PN；

21.（8分）某超市購進(jìn)一種商品，進(jìn)貨單價(jià)為每件10元，在銷售過程中超市按相關(guān)規(guī)定，

銷售單價(jià)不低于1元且不高于19元.如果該商品的銷售單價(jià)x（單位：元/件）與日銷售

量y（單位：件）滿足一次函數(shù)關(guān)系y=-2x+40,設(shè)該商品的日銷售利潤為w元，那么

當(dāng)該商品的銷售單價(jià)x（元/件）定為多少時(shí)，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

五、（本題10分）

22.（10分）如圖，一次函數(shù)），=履+1的圖象與反比例函數(shù)丫=8G〉0）的圖象交于點(diǎn)4（2,

a）,點(diǎn)8為x軸正半軸上一點(diǎn)，過2作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,交一次

函數(shù)的圖象于點(diǎn)。.

（1）求a的值及一次函數(shù)y=fcr+l的表達(dá)式；

（2）若8。=10,求△AC。的面積.

六、（本題10分）

23.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=Ax過點(diǎn)A（6,〃?），過點(diǎn)A作x軸的垂

線，垂足為點(diǎn)B,過點(diǎn)A作丫軸的垂線，垂足為點(diǎn)C.NAOB=60°,CCOA于點(diǎn)Q.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā).以每

秒?個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,。同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)尸,

Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為z（s）,且，＞0.

（1）求相與女的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，求r的值；

（3）連接。。，點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，連接PE,當(dāng)時(shí)，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

24.(12分)已知，在。ABC。中，/A8C=45°,|AB=3次,點(diǎn)G是直線8c上一點(diǎn)，

(1)如圖，若A￡>=6,連接B。，AG,且AGLB。于點(diǎn)E,

①求對角線8。的長；

②線段5G的長為；

(2)連接AG,作8FJ_AG,交直線AO于點(diǎn)F,當(dāng)BF=^"AG時(shí)，請直接寫出線段8G的

25.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/-G-2&&為常數(shù))的頂點(diǎn)為N.

(1)如圖，若此拋物線過點(diǎn)4(3,-1),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在(1)的條件下，拋物線與)，軸交于點(diǎn)B,

①求NA8O的度數(shù)：

②連接AB,點(diǎn)P為線段AB上不與點(diǎn)4,B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作CO〃x軸交拋物

線在第四象限部分于點(diǎn)C,交)，軸于點(diǎn)。，連接PM當(dāng)ABPNsABNA時(shí),線段C。的

長為.

(3)無論左取何值，拋物線都過定點(diǎn)“，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),當(dāng)NMHN=90。時(shí)，

請直接寫出k的值.

2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)、渾南區(qū)九年級（上）期末

數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，謂將正確答案涂在答題卡上，

每小題2分，共20分）

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x--2B.x~-2x+l=0

214

C.x+3盯+1=0D.——-+—5=Q

X?x

【分析】只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一元二

次方程必須滿足兩個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

【解答】解：A、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；

8、該方程屬于一元三次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、該方程中未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2且含有兩個(gè)未知數(shù)，不屬于一元二次方程，故本選

項(xiàng)不符合題意；

。、該方程是分式方程，不屬于一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

2.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球，黃球共36個(gè)，這些球除顏色外都相同.小明通過多次

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是（）

A.5B.9C.15D.24

【分析】設(shè)袋子中紅球有x個(gè)，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右列出關(guān)于x的方程,

求出x的值，從而得出答案.

【解答】解：設(shè)袋子中紅球有x個(gè)，

根據(jù)題意，得：工=0.25,

國

解得x=9,

.?.袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是9個(gè)，

故選：B.

3.由5個(gè)相同的小正方體組成的幾何體如圖所示，該幾何體的主視圖是（）

【分析】找到從幾何體的正面看所得到的圖形即可.

【解答】解：主視圖有3歹U,每列小正方形數(shù)目分別為2,1,1,

故選：D.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)

分別是（6,0）,（0,3）,點(diǎn)B在第一象限，則點(diǎn)8的坐標(biāo)是（）

A.(3,6)B.(6,3)C.(6,6)D.(3,3)

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出點(diǎn)8的坐標(biāo)即可.

【解答】解：???四邊形。A8C是矩形,

：,OC=AB,CB=OA,

:點(diǎn)4,C的坐標(biāo)分別是(6,0),(0,3),

：.AB=3,OA=6,

.?.點(diǎn)8坐標(biāo)為（6,3）,

故選：B.

5.函數(shù)y=-目（x>0）的圖象位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中>=目

,當(dāng)k<0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,

在每一象限內(nèi)y隨X的增大而增大，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：函數(shù)y=-3（x>0）的圖象位于第四象限.

)

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可.

7.如圖，把一塊長為40c〃?，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個(gè)相同小正方形，然后

把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個(gè)無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底

面積為600”「，設(shè)剪去小正方形的邊長為玄機(jī)，則可列方程為（）

A.(30-2%)(40-%)=600B.(30-%)(40-x)=600

C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=600

【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長是xcm,則紙盒底面的長為（40-2x）cm,寬為（30-

2x）cm,根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合紙盒的底面積是600a）,即可得出關(guān)于彳的一元二

次方程，此題得解.

【解答】解：設(shè)剪去小正方形的邊長是我〃?，則紙盒底面的長為（40-Zr）cm,寬為（30

-2x)cm.

根據(jù)題意得：(30-2x)(40-2x)=600.

故選：D.

8.兩個(gè)相似多邊形的一組對應(yīng)邊分別是3cm和4.5cnz,如果它們的周長之和是80c〃z,那么

較大的多邊形的周長是（）

A.16cmB.32cmC.48c/%D.52cm

【分析】根據(jù)相似多邊形相似比即對應(yīng)邊的比，周長的比等于相似比，即可解決.

【解答】解：設(shè)較大多邊形與較小多邊形的周長分別是，〃，〃.則,=目噌

因而n=^n.

根據(jù)面積之和是80C，〃2.得到機(jī)+即=80.

解得：m=4Scm.

故選：C.

9.己知菱形的周長為8,兩鄰角的度數(shù)比為1：2,則菱形的面積為（）

A.8因B.8C.4^3D.2因

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和菱形面積公式即可求出結(jié)果.

【解答】解：如圖，I?兩鄰角度數(shù)之比為1：2,兩鄰角和為180。，

.?.乙48c=60°,/84。=120°,

???菱形的周長為8,

邊長AB=2,

菱形的對角線AC=2,BD=2X2sin60°=2函,

菱形的面積=±AC?8￡)=1X2X2近=2^.

故選：D.

10.如圖，拋物線y="，+bx+c（。*0）交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C.若點(diǎn)A坐標(biāo)為（-

4,0）,對稱軸為直線x=-1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)

A.二次函數(shù)的最大值為a-6+c

B.a+b+c>0

C.b2--4?c>0

D.2a+b=0

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸、y軸的交點(diǎn)以及過特殊點(diǎn)

時(shí)相應(yīng)的系數(shù)〃、b.c滿足的關(guān)系進(jìn)行綜合判斷即可.

【解答】解：當(dāng)x=-l時(shí)，y=a-6+c的值最大，選項(xiàng)A不符合題意；

拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（2,0）,

當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c>0,因此選項(xiàng)8不符合題意；

拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此/-4ac>0,故選項(xiàng)C不符合題意；

拋物線y=ay2+6x+c過點(diǎn)A（-4,0）,對稱軸為直線x=-l,

因此有：x=-l=-上，即2〃-6=0,因此選項(xiàng)。符合題意；

國

故選：

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）從目，-1,1,2中任取一個(gè)數(shù)作為a的值，使拋物線y=ajc1+bx-^c（a,b,c

是常數(shù)）的開口向上的概率為_曰_.

【分析】直接利用二次函數(shù)的開口向上。>0,再利用概率公式得出答案.

【解答】解：當(dāng)拋物線>=依2+法+。（a,b,c是常數(shù)）的開口向上時(shí)，a>0,

故從目，-1,1,2中任取一個(gè)數(shù)作為a的值，使拋物線了=以2+法+。（〃，h,c是常數(shù)）

的開口向上的概率為：息.

故答案為：目.

12.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程/+5x-〃?=（）的一個(gè)根是2,則另一個(gè)根是-7.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.

【解答】解：設(shè)另一個(gè)根為X,則

x+2--5,

解得X--7.

故答案為-7.

13.(3分)若點(diǎn)A(-5,a),B(3,b),C(6,c)都在反比例函數(shù)Q的圖象上，則小

b,c中最大的是b.

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中&>0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫

坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論.

【解答】解：???2=4>0,

???圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨］的增大而減小，

V-5<0,

(-5,a)位于第三象限,

V0<3<6,

，點(diǎn)5(3,b),C(6,c)位于第一象限，

：.b>c>0.

:?a,b,c中最大的是

14.(3分)如圖，面積為16的菱形A8CQ中，點(diǎn)。為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn),

過點(diǎn)E作于點(diǎn)F,EGL4C于點(diǎn)G,則四邊形E/OG的面積為2.

【分析】由菱形的性質(zhì)得出OA=OC,OB=OD,AC1BD,面積=m4CXB。，證出四

邊形EFOG是矩形，即〃OC,EG//OB,得出EF、EG都是AOBC的中位線，則EF=舸

臥。，由矩形面積即可得出答案.

EG=工。3

回

【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,AC1BD,面積=臥

CXBD,

?.,EF_L8￡>于凡EG_LAC于G,

四邊形EFOG是矩形，EF//OC,EG//OB,

?點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),

:.EF、EG都是△08C的中位線,

X32=2；

15.（3分）豎直上拋物體時(shí)，物休離地而的高度/?（加）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（s）之間的關(guān)系可以

近似地用公式仁-5』+?+的表示，其中h0（/n）是物體拋出時(shí)離地面的高度，vo（加s）

是物體拋出時(shí)的速度.某人將一個(gè)小球從距地面15〃的高處以20血s的速度豎直向上拋

出，小球達(dá)到的離地面的最大高度為

【分析】根據(jù)題意可得到h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，再將其化為頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的

性質(zhì)可得答案.

【解答】解：由題意得:

7

h=-5/+201+1.5

=-5(r-2)2+21.5,

a=-5<0,

...當(dāng)f=2時(shí)，〃取得最大值，此時(shí)〃=21.5.

故答案為：21.5.

16.（3分）如圖，菱形A8CZ）的對角線AC和80交于點(diǎn)O,點(diǎn)G在射線0。上，且GZ）=

30D,過點(diǎn)G作GE〃C￡＞交射線0C于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作0E的垂線，與過點(diǎn)G作0G的

垂線交于點(diǎn)F,得到矩形OEFG.射線AD交線段GF于點(diǎn)H,將△G。，沿直線AH折疊,

得到當(dāng)點(diǎn)M在矩形OEFG的邊上時(shí)，回=的或匪

【分析】由菱形和平行線的性質(zhì)得出NA8O=NCBO=NADB=NDGE=NCDB=Z

HDG,由折疊的性質(zhì)得。G=OM,GH=MH,ZHDG^ZHDM,分兩種情況討論：①

若點(diǎn)M在EF上；②若點(diǎn)M在OE上；由銳角三角函數(shù)定義、相似三角形的判定與性質(zhì)

以及勾股定理解答即可.

【解答】解：；四邊形ABCO是菱形，

:.NABD=/CBD=4ADB=NCDB,ACVBD,

\'GE//CD,

:.NDGE=NCDB,

：.NABD=NCBD=ZADB=NDGE=NCDB=NHDG,

由折疊的性質(zhì)得：DG=DM,GH=MH,ZHDG^ZHDM,

①若點(diǎn)M在EF上，如圖1所示：

設(shè)BD=2OB=2OD=2b,AC=2O4=2OC=2姑，

:.DG=DM=3OD=3b,OG=DG+OD=3b+b=4b,

：.OE=kOG=Akh,GH=HM=3kb,

：.FH=OE-GH=4kb-3kb=kb,

過點(diǎn)。作DNLEF于點(diǎn)N,

'：NFHMMFMH=NFMH+NDMN,

：.ZFHM=/DMN,

,:/F=/DNM=90°,

:AMFHsXDNM,

；.MN=b,

'：DM2=DN2+MN2,

：.(3b)2=(4⑹2+Z>2,

圖(不合題意舍去),

②若點(diǎn)M在OE上，如圖2所示:

設(shè)/GOH=NA￡>O=NA2O=/OOC=a,0￡>=x,

則OG=3x,OG=4x,

"?ZMOG=ZDGH=90°

GH=￡>G*tana=3x*tana,

OC=OD*tana=x*tana,

由折疊性質(zhì)知，DG=DM=3xfGMLDH,

：.ZOGM+ZMGH=,

：?/OGM=NGHD,

:?△OGMS/\GHD,

由勾股定理得，0爐+0加2=。加2,

?"+2=⑶)2,

故答案為：紅3或四

17.(6分)若關(guān)于x的一元二次方程丘2-6x+9=0有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到2#0且4=(-6)2-4kX

920,然后求出兩不等式的公共部分即可.

【解答】解：根據(jù)題意得％/0且4=(-6)2-4AX920,

解得kW1且20.

18.(8分)如圖，點(diǎn)。在NBAC的內(nèi)部，N1=N2,/l+/54C=180°.80=1.5,CD

【分析】延長AD,由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)及/l+/8AC=180°可得出/8AC=/8OE,結(jié)合三

角形的外角性質(zhì)及NBAC=N8AO+NC4￡＞可得出/B=/C4O,結(jié)合N1=N2可證出△

ABD^/XCAD,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長.

【解答】解：延長A。，如圖所示.

；N1+/BAC=18O°，Zl+ZBDE=}SO°,

NBAC=NBDE.

又,?ZBAC=ZBAD+ZCAD,NBDE=ZBAD+ZB,

：.ZB^ZCAD.

VZ1=Z2,

AABDs^CAD,

19.（8分）在學(xué)校即將召開的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，甲，乙兩名學(xué)生準(zhǔn)備從100米短跑（記為項(xiàng)目A）,

800米中長跑（記為項(xiàng)目B）,跳遠(yuǎn)（記為項(xiàng)目C）三個(gè)項(xiàng)目中，分別隨機(jī)選擇一個(gè)項(xiàng)目

參加比賽.請用畫樹狀圖或列表法求甲，乙兩名學(xué)生選擇相同項(xiàng)目的概率.

【分析】畫出樹狀圖，共有9個(gè)等可能的結(jié)果，甲，乙兩名學(xué)生選擇相同項(xiàng)目的結(jié)果有3

個(gè)，再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

共有9個(gè)等可能的結(jié)果，甲，乙兩名學(xué)生選擇相同項(xiàng)目的結(jié)果有3個(gè),

甲、乙兩名學(xué)生選擇相同項(xiàng)目的概率=忌臼.

四、（20,21題各8分，共16分）

20.（8分）如圖，正方形A2CD中，點(diǎn)尸是對角線AC上一點(diǎn)，連接尸3,邊作交

AQ邊于于點(diǎn)E,且點(diǎn)E不與點(diǎn)A,O重合，作PMLAQ,PNLAB,垂足分別為點(diǎn)〃和

N.

(1)求證：PM=PN；

(2)求證：EM=BN.

【分析】(1)由四邊形為正方形可得出AC平分NBA。，再利用角平分線的性質(zhì)

可證出PM=PN；

(2)易證四邊形PMAN為正方形，進(jìn)而可得出NMPN=90°,利用等角的余角相等可

得出結(jié)合NPME=NPNB=90°,即可證出△PA/Eg/XPNB

(ASA),再利用全等三角形的性質(zhì)即可證出EM=BN.

【解答】證明：(1)???四邊形48CC為正方形，

；.AC平分/BAO,

又PN1.AB,

：.PM=PN.

(2)'：PM±AD,PNLAB,/MAN=90°,PM=PN,

四邊形PMAN為正方形，

:./MPN=90°,即/MPE+/EPN=90°.

；PELPB,

：.ZEPN+ZNPB=90°,

:./MPE=/NPB.

,：PMA.AD,PN工AB,

:.NPME=NPNB=9G°.

fZMPE=ZNPB

在△?〃后和△PN8中，PM=PN，

ZPME=ZPNB

:ZME沿APNB(ASA),

:.EM=BN.

21.（8分）某超市購進(jìn)一種商品，進(jìn)貨單價(jià)為每件10元，在銷售過程中超市按相關(guān)規(guī)定，

銷售單價(jià)不低于1元且不高于19元.如果該商品的銷售單價(jià)x（單位：元/件）與日銷售

量y（單位：件）滿足一次函數(shù)關(guān)系y=-2x+40,設(shè)該商品的日銷售利潤為w元，那么

當(dāng)該商品的銷售單價(jià)x（元/件）定為多少時(shí);日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

【分析】根據(jù)利潤等于每件的利潤乘以銷售量，可列出w關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫成

頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意得：

w=（-2x+40）Cx-10）

=-2?+60x-400

=-2（x-15）2+50,

...當(dāng)x=15時(shí)，w取得最大值，最大值為50.

Vl<15<19,

.??x=15符合題意.

當(dāng)該商品的銷售單價(jià)定為15元/件時(shí)，日銷售利潤最大，最大利潤是50元.

五、（本題10分）

22.（10分）如圖，一次函數(shù)>=履+1的圖象與反比例函數(shù)丫=&&〉0）的圖象交于點(diǎn)4（2,

x

。），點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，過B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,交一次

函數(shù)的圖象于點(diǎn)。.

（1）求a的值及一次函數(shù)丫=履+1的表達(dá)式；

（2）若BO=10,求△48的面積.

【分析】(1)把點(diǎn)A(a,4)代入反比例函數(shù)關(guān)系式可求出a的值，確定點(diǎn)A的坐標(biāo),

進(jìn)而求出正比例函數(shù)的關(guān)系式;

(2)根據(jù)30=10,求出點(diǎn)8的橫坐標(biāo)，求出。8,代入求出8C,根據(jù)三角形的面積公

式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)把點(diǎn)A(2,〃)代入反比例函數(shù)y=艮(x>0)得，。=昌=4,

.,.點(diǎn)A(2,4),代入y=fcv+l得，4=2%+1,

解得Q同

一次函數(shù)的表達(dá)式為y^X+l；

(2)VBD=10,

的縱坐標(biāo)為10,

六、(本題10分)

23.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=日過點(diǎn)A(6,m),過點(diǎn)4作x軸的垂

線，垂足為點(diǎn)8,過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C.NAO8=60°,CCOA于點(diǎn)D動(dòng)

點(diǎn)戶從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā).以每

秒?個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P,Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P,

。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),且f>0.

(1)求相與％的值；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，求r的值；

(3)連接。。，點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，連接PE,當(dāng)PE_L。。時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)直角三角形含30。角的性質(zhì)可得AB的長，即〃?=6|J3,從而知點(diǎn)A

的坐標(biāo)，代入中可得4的值；

(2)根據(jù)直角三角形含30°角的性質(zhì)可得的長，即OP=9,根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度

可得t的值；

(3)存在兩種情況：如圖2和圖3,連接PQ,過點(diǎn)P作PFJ_AB于凡分別表示PQ,

PF,FQ的長，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】解：(1),：AB±OB,

：.ZABO=90°,

,：ZAOB=60°,

ZBAO=30°,

A(6,M,

???。5=6,AB=mf

.,.OA=2O8=12,AB=6四

...楊=6^0，即A(6,6邁)，

?.?直線>=日過點(diǎn)A(6,6171),

；.6&=6pl，

"=171；

(2)如圖1,：A8〃y軸，

(3)如圖2,連接PQ,過點(diǎn)尸作尸尸，43于R

：.AD=3f

：.PD=OA-AD-0P=\2-2r-3=9-It,

是。。的中點(diǎn)，PE工DQ,

：.PQ=PD=9-It,

心△AP/中，N8AO=30°,

?,?尸尸=如尸=寺(12-2力=6-t，

；AQ=因，

：.FQ=AB-AQ-8尸=6函-函f--2^f,

RtZ\P。尸中，由勾股定理得：PQ2=FQ2+p產(chǎn),

(9-2t)2=(6171-2R71/)2+(67)2,

解得：八=3(如圖3,此時(shí)尸與。重合)，短=目，

OB

圖3

RtZiOPM中，NPOM=30°，

七、（本題12分）

24.（12分）已知，在aABCD中，NA8C=45°,|郎=3如,點(diǎn)G是直線BC上一點(diǎn),

（1）如圖，若A￡>=6,連接B。，AG,且4G_LBO于點(diǎn)E,

①求對角線8。的長；

②線段BG的長為4；

（2）連接AG,作BFLAG,交直線于點(diǎn)F,當(dāng)BF=^AG時(shí)，請直接寫出線段BG的

長.

【分析】（1）①先求出GH=OH=3,進(jìn)而求出BH,最后用勾股定理求出BD,即可得

出結(jié)論;

②先利用勾股定理建立方程求出BE,進(jìn)而求出OE,再判斷出△8EGs/\OE4,得出比

例式，即可得出結(jié)論；

（2）分點(diǎn)F在點(diǎn)A左側(cè)和右側(cè)兩種情況：先求出BN=3,AM=3,再用同角的余角相等

判斷出/F=/GAM,進(jìn)而得出△BNFs^GMA,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（D①如圖1,過點(diǎn)。作。H_LBC交BC延長線于H,

AZH=90°,

?.?四邊形A8CO是平行四邊形,

：.BC=AD=6,CZ)=AB=3函，CD//AB,

；.NDCH=NABC=45°,

在RtZiCH。中，CH=DH=

:.BH=BC+CH=9,

在中,BD=JBH?+DH)=J/+3'=3曠id；

②?.?AG_L8。,

AZAEB=ZA￡D=90°,

由①知，8￡>=31713,

設(shè)BE=x,則DE=BD-BE=3k/l^-x,

在R/AEB中，AEi=AB2-B^=（3近）2-x2=18-x2,

在RtAED中，AE^^AD1-DE1=61-（3^3-x）2=-x2+6|Vldr-54,

2

：.18-/=-x+6|Vl3r-54,

四邊形A8CO是平行四邊形,

.,.AD//BC,

:.△BEGS^DEA,

故答案為：4；

???NAM?=NAM8=90°,

在RtZXABM中，NA8C=45°，48=323,

.\BM=AM=圖3,

FAD//BC,

：.ZMBN+ZANB=\SO°，

：.Z