初高中數(shù)學(xué)銜接

初高中數(shù)學(xué)銜接中的問題分析與對策探索

石家莊外國語學(xué)校.崔景雪

今天在做的大都是初中教師，我是一線的高中教師，今天我們坐在一起共同

探討“初高中數(shù)學(xué)銜接問題分析”我認(rèn)為很有意義，因為隨著教材的變化，課改

的深入，這個問題越來越突出，每年中考完以后，都有一個座談會，初高中教師

都要爭論一番，相互埋怨，有些意見直接影響著下一年的中考命題方向，因此希

望今天，我對這個問題的看法對我們初中教師教學(xué)有所幫助，或自己身邊有即將

上高中的孩子有所幫助。

下面我們先看這樣的?組數(shù)據(jù)：

入學(xué)市全市高中入學(xué)平期末全市高中期末

入學(xué)相統(tǒng)考相

屆數(shù)均市平平均

對距離對距離

平均分最高最低均分最高最低

2010105.7111.1100.89.74%69.3385.3857.4840.24%

2009103.8109.498.510.50%77.8984.2762.2628.25%

200891.498.586.413.24%74.7195.6462.8543.89%

初中生經(jīng)過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲,

都有把高中課程學(xué)好的愿望。但經(jīng)過一段時間，他們普遍感覺高中數(shù)學(xué)并非想象

中那么簡單易學(xué)，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節(jié)如聽天書。在做習(xí)

題、又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當(dāng)部分學(xué)

生進(jìn)入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“困難期”，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)嚴(yán)重的滑坡現(xiàn)象。漸漸地他們認(rèn)為

數(shù)學(xué)神秘莫測，從而產(chǎn)生畏懼感，動搖了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

的興趣。

造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，下面我想從以下5個層面于大家共同探討:

一、成因的分析。

1.環(huán)境與心理的變化。

(1)、對高一新生來講，環(huán)境可以說是全新的，新教材、新同學(xué)、新教師、新集

體……，學(xué)生有一個由陌生到熟悉的適應(yīng)過程。他們在入學(xué)前，就耳聞高中數(shù)學(xué)

很難學(xué)，從而產(chǎn)生一種畏懼心理，使他們從開始就處于怵頭無趣的被動局面。

(2)、另外，經(jīng)過緊張的中考復(fù)習(xí)，考取了自己理想的高中，必有些學(xué)生產(chǎn)生"

松口氣"想法，有些同學(xué)把初中的那一套思想移植到高中來。他們認(rèn)為自已在初

一、二時并沒有用功學(xué)習(xí)，只是在初三臨考時才發(fā)奮了一、二個月就輕而易舉地

考上了高中，有的還是重點中學(xué)里的重點班，因而認(rèn)為讀高中也不過如此。高一、

高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發(fā)奮一、二個月，也一樣會

考上一所理想的大學(xué)的。存有這種思想的同學(xué)是大錯特錯的。有多少同學(xué)就是因

為高一、二不努力學(xué)習(xí)，臨近高考了，發(fā)現(xiàn)自己缺漏了很多知識再彌補(bǔ)后悔晚矣。

2.教材的變化。

(1)、數(shù)學(xué)語言在抽象程度上突變

初、高中的數(shù)學(xué)語言有著顯著的區(qū)別。初中的數(shù)學(xué)主要是以形象、通俗的語

言方式進(jìn)行表達(dá)。而高一數(shù)學(xué)一下子就觸及非常抽象的集合語言、邏輯運(yùn)算語言、

函數(shù)語言、符號語言，圖形語言等，例如:對f(x)的理解，Log2》與對數(shù)的運(yùn)

算法則。

(2)知識內(nèi)容的整體數(shù)量劇增

高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)又一個明顯的不同是知識內(nèi)容的“量”上急劇增加了，單位

時間內(nèi)接受知識信息的量與初中相比增加了許多，輔助練習(xí)、消化的課時相應(yīng)地

減少了。首先初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容通俗具體，多為常量，題型少而簡單；而新課標(biāo)

高中數(shù)學(xué)教材有如下特點，知識內(nèi)容的整體數(shù)量不僅劇增，而且抽象，多研究變

量、字母，不僅注重計算，而且還注重理論分析，這與初中相比增加了難度。(我

們大家都有這樣的經(jīng)驗，對一個問題的掌握學(xué)生應(yīng)有“三遍”，這在初中可以做

到，但在我們高中是不行的。在初中，由于內(nèi)容少，題型簡單，課時較充足。因

此，課容量小，進(jìn)度慢，對重難點內(nèi)容均有充足時間反復(fù)強(qiáng)調(diào)，對各類習(xí)題的解

法，教師有時間進(jìn)行舉例示范，學(xué)生也有足夠時間進(jìn)行鞏固與糾錯，初中數(shù)學(xué)教

學(xué)采取的方法是，把各種可能的錯誤，都告訴學(xué)生注意，只要有一人出過錯，就

要提出來，讓全體同學(xué)引為借鑒。這叫“一人有病，全體吃藥?！备咧袛?shù)學(xué)課沒

有那么多時間，除了少數(shù)兒種典型錯，其它錯誤，不能一一顧及。只能“誰有病，

誰吃藥”。如果學(xué)生“有病”，而自己卻又忘記吃藥，就將形成一處隱患，--處

“地雷”，遲早要惹禍。這也使高一新生開始不適應(yīng)高中學(xué)習(xí)而影響成績的提高。

3、思維方法向理性層次躍遷。

高中數(shù)學(xué)思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學(xué)生將各種題建

立了統(tǒng)一的思維模式，如解分式方程分兒步；因式分解先看什么，再看什么。即

使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對線段相等、角相等，分別確定了各自的

思維套路。因此，初中學(xué)習(xí)中習(xí)慣于這種機(jī)械的、便于操作的定勢方式。高中數(shù)

學(xué)在思維形式上產(chǎn)生了很大的變化，數(shù)學(xué)語言的抽象化對思維能力提出了高要

求。在第一章與第二章中，就滲透了高中所有必須掌握的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，

如集合與對應(yīng)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想及配方法、換元法、

待定系數(shù)法、反證法等數(shù)學(xué)方法。當(dāng)然，能力的發(fā)展是漸進(jìn)的，不是一朝一夕的。

這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應(yīng)，故而導(dǎo)致成績下降。

我記著高一開學(xué)第一課，我給同學(xué)們介紹高中數(shù)學(xué)特點時是這樣說的：

1、高中數(shù)學(xué)教材的特點概括為：

高度的概括性，

極度的抽象性，

嚴(yán)密的邏輯性

、廣泛的適用性。

2、中考的目的是檢驗?zāi)闶欠衲艹蔀椤罢Ｈ恕?，而高考是檢驗?zāi)闶欠衲艹蔀椤叭?/p>

上人”，是決定你的社會地位及社會給你的待遇的考試。

3、舉了兩個例子：

(1)解不等式：2x-3=5x;2x-3>5x

(2).解關(guān)于x不等式：2x-b=ax;2x-b>5x.

4.學(xué)生學(xué)法的變化

(1)從學(xué)生方面上，在初中，教師講得細(xì)，類型歸納得全，練得熟，考試時，學(xué)生只要記

準(zhǔn)概念、公式及教師所講例題類型，學(xué)生依賴于教師為其提供套用的“模子”一般均可對號入

座取得好成績。因此，學(xué)生習(xí)慣于圍著教師轉(zhuǎn)，不注重獨立思考和對規(guī)律的歸納總結(jié)。

到高中，由于內(nèi)容多時間少，教師不可能把知識應(yīng)用形式和題型講全講細(xì)，只能選講一些具

有典型性的題目，以落實"三基"培養(yǎng)能力。許多同學(xué)進(jìn)入高中后，還象初中那樣，有很強(qiáng)的

依賴心理，跟隨老師慣性運(yùn)轉(zhuǎn)，沒有掌握學(xué)習(xí)的主動權(quán)。因此，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生要勤

于思考，善于歸納總結(jié)規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)思想方法，做到舉一反三，觸類旁通。故有人說：初

中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，靠的是一個字:練；高中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)靠的也是一個字:悟!，然而，

剛?cè)雽W(xué)的高一新生，往往繼續(xù)沿用初中學(xué)法，致使學(xué)習(xí)困難較多，完成當(dāng)天作業(yè)都很困難,

更沒有預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)及總結(jié)等自我消化自我調(diào)整的時間。這顯然不利于良好學(xué)法的形成和學(xué)習(xí)

質(zhì)量的提高。

三、初高中數(shù)學(xué)知識的“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式

這部分內(nèi)容在初中教材中已刪去不講，但進(jìn)入高中后，它的運(yùn)算公式卻還在用。

比如說：

(1)立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三數(shù)和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(4)兩數(shù)和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式：(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3。

2.因式分解

十字相乘法在初中已經(jīng)不作要求了，同時三次或三次以上多項式因式分解也不作要求

了，但是到了高中，教材中卻多處要用到。

3.二次根式中對分子、分母有理化

這也是初中不作要求的內(nèi)容，但是分子、分母有理化卻是高中函數(shù)、不等式常用的解

題技巧，特別是分子有理化。

4.二次函數(shù)

二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是初高中銜接中最重要的內(nèi)容,二次函數(shù)知識的生長點在初

中，而發(fā)展點在高中，是初高中數(shù)學(xué)銜接的重要內(nèi)容.二次函數(shù)作為一種簡單而基本的函數(shù)

類型，是歷年來高考的一項重點考查內(nèi)容，經(jīng)久不衰。

5.根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

在初中，我們一般會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方

程，而到了高中卻不再學(xué)習(xí)，但是高考中又會出現(xiàn)這一類型的考題，

（1）理解一元二次方程的根的判別式，并能用判別式判定根的情況；

（2）掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并能運(yùn)用它求含有兩根之和、兩根之積的代

數(shù)式（這里指“對稱式“）的值，能構(gòu)造以實數(shù)p、q為根的一元二次方程。

6.圖像的對稱、平移變換

初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函

數(shù)關(guān)于原點，對稱軸、給定直線的對稱問題必須掌握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式

初中教材中同樣不作要求，只作定量研究，而在高中，這部分內(nèi)容被視為重難點。

方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心、外心、內(nèi)心等）和定理（如平行線分線段比例

定理，射影定理，圓塞定理等），初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中教材多常常要涉及。

（以上這些脫節(jié)的知識，何時補(bǔ)？補(bǔ)到什么深度？這都應(yīng)是我們共同探討的問題，為

此，我校教研組共同編寫了一本“材料”見附件1,有興趣的教師可供參考。）

四、對策

以上問題隨著初高中教師的斗爭，以及課改教育理念的深入，勢必要影響我

們高中的教學(xué)，同時也影響著初中的教學(xué)，第二輪的教材修訂已經(jīng)完成，即將實

行。改革是以后教育的潮流，我們必須及時應(yīng)對，改變教育觀念，適應(yīng)教育的發(fā)

展，誰走到前列，誰就是勝利，我想這是我們初高中教師共同面臨的問題，我們

只有找出對策，共同去應(yīng)對。

（-）從教法上,改變思想觀念。課堂教學(xué)進(jìn)行轉(zhuǎn)型。

課堂教學(xué)的形態(tài),主要有兩種，

1、傳授式課堂（“教數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)”型）

2、活動式課堂（“玩數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)”）

下面以我們學(xué)校為例：

（1）校長的思想超前:

a、石家莊外國語學(xué)校

b、教師的來源。

C、學(xué)生的來源。

D、抓住政策的機(jī)會，保送。

E、教改的跟進(jìn)。

5、教師教法上的轉(zhuǎn)變：

(1)看如下表：

“四環(huán)節(jié)”教學(xué)模式(“項目設(shè)置”、“完成項目與交流展示”和“評價激勵”、

“課后作業(yè)”，——：模式的理解--“矯枉必先過正”

下面看我們附件2：

每一冊書都是按以上4個環(huán)節(jié)既：“項目設(shè)置”、“完成項目與交流展示”

和“評價激勵”、“課后作業(yè)”四個欄目，其中：“項目設(shè)置”體現(xiàn)了用什么方法

和途徑完成本課核心內(nèi)容且達(dá)到國家課程標(biāo)準(zhǔn)；“完成項目與交流展示”體現(xiàn)了

新課程對“知識與技能、過程與方法”的要求，為給學(xué)生留有較大的自主學(xué)習(xí)空

間，還設(shè)置了形式多樣的教學(xué)活動，包括“項目準(zhǔn)備”、“項目探究”、“學(xué)以致用”

等等；“評價激勵”通過檢測使師生及時檢驗評價課堂的學(xué)習(xí)效果，讓更多的學(xué)

生體驗成功，提高學(xué)習(xí)興趣；通過提升拓展問題和習(xí)題進(jìn)一步提升學(xué)生的思維品

質(zhì)；通過讓學(xué)生從知識、思想、方法以及易錯點等方面進(jìn)行梳理和總結(jié)，促使學(xué)

生及時總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生勤于反思，善于總結(jié)的好習(xí)慣；“課后作業(yè)”完成課本習(xí)

題，掌握課堂的基本知識和方法，再通過挑戰(zhàn)自我，對知識的綜合運(yùn)用，激發(fā)學(xué)

生學(xué)習(xí)的積極性與主動性。

通過較長時間的訓(xùn)練，同學(xué)們一定能形成如下良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)能力：

1.搜集、篩選、捕捉、提煉信息的自學(xué)

能力；

2.獨立思考、自主探究的習(xí)慣；

3.良好的心理素質(zhì)、心理承受能力；

4.動手實踐能力；

5.合作意識、交際能力；

6.傾聽的習(xí)慣；

7.語言表達(dá)能力；

8.概括、歸納與反思的習(xí)慣；

9.敢于質(zhì)疑、敢于發(fā)表自己的主張和見

解的習(xí)慣；

10.敢于挑戰(zhàn)自我、戰(zhàn)勝困難的精神。

課改的深入：

A、體育課

B、選修課

C、班會。

通過比較：兩種課堂模式的長處與短處。（見文章）

（二）、對教師的要求

1、吃透教材，吃透學(xué)生。

2、教師?定不要低估學(xué)生的能力，要讓學(xué)生去爬無名山。努力去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)

興趣，要讓學(xué)生去“玩數(shù)學(xué)，去做數(shù)學(xué)”。

3、有意識的去學(xué)生能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生能力，主要有：（1）培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的能力；（2）培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解

決問題的能力；（3）培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)確計算能力；（4）培養(yǎng)學(xué)生推理和轉(zhuǎn)換能力；（5）培養(yǎng)良

好的心理素質(zhì)，發(fā)揮非智力因素的作用。

（三）、培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。反復(fù)使用的方法將變成人們的習(xí)慣。什么是良好的學(xué)

習(xí)習(xí)慣？良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣包括制定計劃、課前自學(xué)、專心上課、獨立作業(yè)、解決

疑難、及時復(fù)習(xí)、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個方面。

制定計劃

確定自己的學(xué)習(xí)目的，時間安排合理，不慌不忙，穩(wěn)扎穩(wěn)打，它是推動主動

學(xué)習(xí)和克服困難的內(nèi)在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠(yuǎn)打算，又有短期

安排，執(zhí)行過程中嚴(yán)格要求自己，磨煉學(xué)習(xí)意志。

1、課前自學(xué)是上好新課、取得較好學(xué)習(xí)效果的基礎(chǔ)。

高中課堂容量大，知識點多，有時一節(jié)課便要學(xué)習(xí)兒個定理、公式，兒道例

題，學(xué)生若不進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，便很難跟上教師的講解，也難保證聽課的針對性。

要求學(xué)生對預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的難點，，那些就是聽課的重點，應(yīng)記個記號，對預(yù)習(xí)中

遇到的沒有掌握好的有關(guān)的舊知識，應(yīng)及時的補(bǔ)上。做到“讀、戈k寫、查”，

以減少聽課過程中的困難；事實上，學(xué)生做好課前預(yù)習(xí)，真正做到帶著問題聽講,

可以明顯地提高教學(xué)效率，培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力，也就較能適應(yīng)強(qiáng)度較大的高

中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

其實，自學(xué)能力的提高也是一個人生活的需要，他從一個方面也代表了一個

人的素養(yǎng)，人的一生只有18-—24年時間是有導(dǎo)師的學(xué)習(xí)，其后半生，最精彩的

人生是人在一生學(xué)習(xí)，靠的自學(xué)最終達(dá)到了自強(qiáng)。

2、上課是理解和掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

（1）注意兩頭，講課開頭，一般是概括前一節(jié)課的要點指出本節(jié)課要講的

內(nèi)容，是把舊知識和新知識聯(lián)系起來的環(huán)節(jié)，結(jié)尾常常是對一節(jié)課所講知識的歸

納總結(jié)，具有高度的概括性，是在理解的基礎(chǔ)上掌握本節(jié)知識方法的綱要。

（2）中間做到“5至建

“口到”：就是做到全神貫注的在老師的指導(dǎo)下，

主動回答問題或參加討論，

“耳到”：就是全身心地投入課堂學(xué)習(xí)，專心聽

講，聽老師如何講課，如何

分析，如何歸納總結(jié)，另外，還要聽

同學(xué)們的答問，看是否對自

己有所啟發(fā)，

“眼到”：就是在聽講的同時看課本和板書，看老

師講課的表情，手勢和演

示實驗的動作，生動而深刻的接受老師

所要表達(dá)的思想，

“心到”：就是用心思考，跟上老師的數(shù)學(xué)思路，

分析老師是如何抓住重點，

解決疑難的，

“手到”：就是在聽、看、想、說的基礎(chǔ)上劃出課

文的重點，記下講課的要

點以及自己的感受或有創(chuàng)新思維的見

解。

若能做到上述“五到”，精力便會高度集中，課堂所學(xué)的?切重要內(nèi)容便會

在自己頭腦中留下深刻的印象。

3、獨立完成作業(yè)。

作業(yè)是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進(jìn)一步加深對所

學(xué)新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過

運(yùn)用使對所學(xué)知識由“會”到“熟”。要求如下：

（1）,溫故知新，把握要領(lǐng)

先把書看透，再動手做作業(yè)。做作業(yè)前，首先溫故有關(guān)的知識，回顧概念，

掌握要求，了解有關(guān)的注意事項，明確學(xué)習(xí)的目的，把握解題的規(guī)范化要求，然

后再動手做作業(yè)，就心中有數(shù)，練中學(xué)，學(xué)中練，達(dá)到鞏固目的，強(qiáng)化了知識，

提高了能力。

但事實上，我們許多同學(xué)沒有這個好習(xí)慣，拿到題目就做。這樣，首先是速

度慢，效率低。另外，由于概念不清，有的概念理解錯誤，做了題目起不到應(yīng)有

的作用，甚至還有反作用，鞏固了錯誤，在相應(yīng)方面形成了一個頑疾，為以后學(xué)

習(xí)埋下后患。

（2）,明確題意，構(gòu)建思路

題海戰(zhàn)術(shù)的最大特點是以做題的數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)，并期望以多取勝。由于高考

升學(xué)的壓力，不少同學(xué)不知不覺的掉進(jìn)題海，拿到題目不假思索，跟著感覺走，

時常出現(xiàn)張冠李戴，答非所問等現(xiàn)象，也會出現(xiàn)漏解或者畫蛇添足，勞而無功。

長期下去，最大的壞處是形成不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，不利于將來的發(fā)展。

審題是我們解題的前奏工作，不可忽視，在解題前必須審清題意，分析條件

和結(jié)論，并且根據(jù)條件和結(jié)論進(jìn)行聯(lián)想：以前遇到過類似或者部分類似的問題

嗎？當(dāng)時是用什么方法解決的？在這里還有效嗎？等等。通過聯(lián)想構(gòu)建解題思

路，設(shè)計解題程序，把握解題要點，為正確快速解題掃清障礙，奠定基礎(chǔ)。

(3),限定時間，一氣呵成

做作業(yè)限時完成，不拖拉，干凈利落，遇到困難，待各項任務(wù)基本完成后,

再進(jìn)行鉆研，遇到難題是先能做多少就做多少，能解決到什么程度就解決到什么

程度，當(dāng)解決了問題的部分時，常常會閃出好念頭，悟出問題的解決方案。實際

上每解決一點就是向目標(biāo)靠近一步，這就是“吹盡黃沙始得金”的道理。解決疑難

一定要有鍥而不舍的精神。實在解決不了的要請教老師和同學(xué)，做錯的作業(yè)再做

一遍。對錯誤的地方要反復(fù)思考。

(4),做后反思，提高效益

有人說題海戰(zhàn)術(shù)是臭豆腐，聞的臭，吃的香。題海戰(zhàn)術(shù)既然被人普遍使用，

肯定有它存在的道理，不能全盤否定。但是它的效益不高的弊端也是很明顯的。

對它進(jìn)行改進(jìn)也是情理之中，實踐證明解題后反思是提高效益的有效途徑，就是

要“悟”。并要經(jīng)常把易錯的知識拿來復(fù)習(xí)強(qiáng)化，作適當(dāng)?shù)闹貜?fù)性練習(xí)，把求老

師問同學(xué)獲得的東西消化變成自己的知識，使所學(xué)到的知識由“熟”到“活”。

5、及時復(fù)習(xí)，系統(tǒng)小結(jié)是高效率學(xué)習(xí)的重要一環(huán)。

小結(jié)要在系統(tǒng)復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上以教材為依據(jù)，參照筆記與資料，通過分析、綜

合、類比、概括，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以達(dá)到對所學(xué)知識融會貫通的目的。

經(jīng)常進(jìn)行多層次小結(jié)，能對所學(xué)知識由“懂”到“悟”。

6、課外學(xué)習(xí)。

精挑慎選課外讀物.，初中學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，如果不注意看課外讀物，?般地說,

不會有什么影響。高中則大不相同。高中數(shù)學(xué)考的是學(xué)生解決新題的能力。作為

一名高中生，如果只是圍著自己的老師轉(zhuǎn)，不論老師的水平有多高，必然都會存

在著很大的局限性。因此，要想學(xué)好數(shù)學(xué)，必須打開一扇門，看看外面的世界。

當(dāng)然，也不要自立門戶，另起爐灶。一旦脫離校內(nèi)教學(xué)和自己的老師的教學(xué)體系，

也必將事倍功半。課外學(xué)習(xí)包括閱讀課外書籍與報刊，參加學(xué)科競賽與講座，走

訪高年級同學(xué)或老師交流學(xué)習(xí)心得等。課外學(xué)習(xí)是課內(nèi)學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和繼續(xù)，它不

僅能豐富同學(xué)們的文化科學(xué)知識，加深和鞏固課內(nèi)所學(xué)的知識，而且能夠滿足和

發(fā)展興趣愛好，培養(yǎng)獨立學(xué)習(xí)和工作的能力，激發(fā)求知欲與學(xué)習(xí)熱情。

綜合上述，要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)，主要注意以下8點：

1,先看筆記后做作業(yè).

2,做題之后加強(qiáng)反思.

3,主動復(fù)習(xí)總結(jié)提高.

4,重視改錯錯不重犯.

5,積累資料隨時整理.

6,精挑慎選課外讀物.

7,配合老師主動學(xué)習(xí).

8,合理規(guī)劃步步為營.

第四部分分章節(jié)突破

目錄

11數(shù)與式的運(yùn)算

11.1絕對值

11.2.乘法公式

11.3.二次根式

11.4.分式

12分解因式

21一元二次方程

21.1根的判別式

21.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

22二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像和性質(zhì)

22.2二次函數(shù)的三種表示方式

22.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

23方程與不等式

23.1二元二次方程組解法

23.2一元二次不等式解法

31相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2兒種特殊的三角形

3.3圓

3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系

3.3.2點的軌跡

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1.絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),

零的絕對值仍是零.即

a,a>09

||=<0,〃=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：卜-4表示在數(shù)軸上，數(shù)4和數(shù)匕之間的

距離.

例1解不等式：|x—l|+|x—3|>4.

解法一：由x-l=O,得x=l；由x-3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可變?yōu)?(x-l)—(x-3)>4,

即-2x+4>4,解得xVO,

又x<1,

.\x<0；

②若14x<2,不等式可變?yōu)?x-l)-(x-3)〉4,

即1>4,

???不存在滿足條件的X；

③若xN3,不等式可變?yōu)?x-l)+(x-3)>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又應(yīng)3,

Ax>4.

綜上所述，原不等式的解為

xVO,或x>4.

解法二：如圖1.1—1,表示X,",

、

P

on

—

pCA—

n

34

x01X

以一1|

圖1.1-1

軸上坐標(biāo)為X的點P到坐標(biāo)為1的點A之間的距離I以I，即I上I=|x-l|；|x-3|

表示x軸上點P到坐標(biāo)為2的點B之間的距離|PB|,即|PB|=|x-3].

所以，不等式卜-1|+卜-3|>4的兒何意義即為

|B4|+|PB|>4.

由|AJB|=2,可知

點P在點。(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點P在點。(坐標(biāo)為4)的右側(cè).

x<0?或x>4.

練習(xí)

1.填空：

(1)若卜|=5,則x=；若忖=|一4|,則x=.

(2)如果時+問=5,且a=—1,貝ijb=；若|l-c|=2,則0=.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=回，則a=b(B)若同>例，則a>b

(C)若a<b,則問<問(D)若同=網(wǎng)，則4=±6

3.化簡：|x—5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-匕)=/一b?；

(2)完全平方公式(a±b)2=/±2。匕+/.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+h2)-a3+h3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-by；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)"=a~+b-+c~+2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b^；

(5)兩數(shù)差立方公式(a—0)3=/—3^+3加―火

對上面列出的五個公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計算：(X+l)(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1).

解法一：原式=(/-1)[，+1)2-》2]

=(x2-l)(x4+x2+1)

=x6-l.

解法二：原式=(x+l)(x2-x+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知a+/?+c=4,ab+hc+ac=4,求/+/+c?的值.

解：a2+b~+c2=(a+0+c)2-2(ab+fee+ac)=8.

練習(xí)

1.填空：

(1)/一％=(小++)();

(2)(4m4->=16〃/+4〃z+()；

(3)(a+2b—c)2=ct~+4b~+c?+().

2.選擇題：

(1)若12+!機(jī)工+%是一個完全平方式，則左等于()

2

(A)m2(B)—nT(C)—m~(D)—m2

4316

(2)不論a,匕為何實數(shù)，a2+/—2a—4b+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如正(aNO)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能

夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+yla2+b+2b,&+及等是無理式,

ffi]y/2x2+x+\,x2+>/2xy+},2,V?等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)

有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它

們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如也與

72,3&與0+庭與G-遙，26-3正與26+3四，等等.一般

地，與4，ay[x+by[ya\[x-h^y,+〃與互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中

的根號的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進(jìn)行，

運(yùn)算中要運(yùn)用公式。物=而5NO/20);而對于二次根式的除法，通常先寫

成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加

減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式病的意義

行=同=『心"

11[-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)712^；(2)4a^b(a>0)；(3)也凸(.<0).

解：⑴71^=2回；

(2)\/a2b-|a|\fb-a4b(a>0)；

(3)y)4x6y=2|x3|y[y=-2x3y[y(x<0).

例2計算：百+(3-?

解法—：6+(3—6)=—~—/=

3—73

V3-(3+V3)

(3-73)(3+73)

_36+3

9-3

_3(6+1)

6

—出+1

2

解法二：V3+(3-乖>)----尸

3-V3

73(73-1)

]

V3-1

氏+1

(V3-1)(73+1)

也+1

2

例3試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）Vi2-Vn^VTT-Vio；（2）和26一屈.

V6+4

Vi2-Vn(V12-ViT)(Vi2+7n)i

解:(1)?:阮-拒=

1Vi2+vn一配+而，

VTi-VioVH-A/IO（Vn-由）（而+屈）1

1Vn+VioVTT+Vio，

又屈+而>而7廂,

/.Vi2-Vn<ViT-Vio.

272-76(272-76)(272+76)2

(2)2V2-V6=

12V2+V62五+后

又4>2啦，

.,.加+4>,+2啦，

-3—<2V2-V6.

V6+4

例4化簡：(6+&)2叫(6-尤嚴(yán)5.

解：（6+忘嚴(yán)4.（百一夜產(chǎn)5

=(G+V2)2004-(V3-V2)2004.(V3-V2)

=[(G+V2).(V3-V2)]2("，4.(V3-A/2)

=l2004.(^-V2)

-y/3-V2.

例5化簡：(1)，9-4)；(2)^JX2+-^--2(0<X<1).

解：(1)原式=出+4后+4

=7(V5)2+2x2x75+22

=J(2-9

=|2-V5|=V5-2.

(2)原式=J(x—)~=x—,

0<X<1,

**?—>1>X,

X

所以，原式=」-x.

X

例6已知x=W~y=孑+，求3f-5盯+3/的值.

V3+V2-V3-V/21--

解：?x+y

V3-V2V3+V2,

孫=^r^7ri，

，3x2—5孫+3y2=3(x+y)2—1Ixy=3x10?_11=289.

練習(xí)

1.填空:

1—A/3

(1)

1+V3

(2)若J(5_X)(X—3)2=(X_3)VT^,則x的取值范圍是

(3)4724-6754+3796-2V150=.

.也y/x+i—y/x—l>/x+l+dX-l

(4)若工=——,則J~/=-+-7=~~____

2Jx+1+Jx—1yjX+].—\X—\

2.選擇題：

等式成立的條件是()

(A)xH2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

cH7V<2—14-\\—Cl~q7M,士

3.若b=----------------------,求〃+/?的1值.

。+1

4.比較大小:2一小____鄧一木(填或"V”).

1.1.4.分式

1.分式的意義

AAA

形如々的式子，若8中含有字母，且3/0,則稱C?為分式.當(dāng)M#）時，分式白■具

BBB

有下列性質(zhì)：

AAxM

~B~BxM；

A_A^-M

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像—心，〃?:"+〃這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若當(dāng)土=4+上，求常數(shù)A,8的值.

x(x+2)xx+2

?.AB+2)+Bx(A+3)x+2A5x+4

fflr??+===,

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

.fA+8=5,

??V

2A=4,

解得A=2,8=3.

例2(1)試證：——=--——(其中”是正整數(shù))；

n(n+l)n〃+1

(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃，W—+—++--—<-.

2x33x4〃(〃+1)2

(1)證明：V---L=(〃+i)_〃__1_,

n〃+1+n(n+V)

...」一='——L(其中〃是正整數(shù))成立.

〃(〃+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

——=2

1010

(3)證明：：一'-+,+…+—1—

〃(幾+1)

1

)

n+1

2n+1

又論2,且〃是正整數(shù),

，擊一定為正數(shù)，

111

+---+d---------------

2733x4n{n+1)

例3設(shè)e=￡，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5ac+2a2=0兩邊同除以d,得

Ie1—5e+2=0,

.\(2e-l)(e-2)=0,

<1,舍去；或e=2.

：.e=2.

練習(xí)

1.填空題：

對任意的正整數(shù)〃，一,—=—(--——)；

n(n+2)nn+2

2.選擇題：

若工2=2,則±=

)

x+y3y

、546

(A)1(B)-(C)-(D)-

455

3.正數(shù)x,y滿足產(chǎn)-/=2"，求0的值.

x+y

計算」一+111

4.-----1-----+…d---------

1x22x33x499x100

習(xí)題1.1

A組

1.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求d+y3+3孫的值.

3.填空：

(1)(2+G)i8(2-G)i9=；

(2)若J(j)2+7(1+a)2=2，則a的取值范圍是

1]]]]

(3)

1+V2V2+V3V3+V4V4+V5亞+?>

B組

1.填空:

3a2-ab

(1)a=—b=—貝n|lJ--------------

2f33a2+5"-2/

%2+3孫+/

(2)若r+Ay—2y~0,貝ij

x2+y2

1

2.已知：x=-,y），求，-戶的值.

234x-^yN/X+Jy

C組

1.選擇題：_____________

(1)若J-a-b-2^/cib—yj~b-J-a,貝！J)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

（2）計算｝等于

)

（A）4-a(B)4a(C)~yJ—U(D)—yjci

,11

2.解方程2(x2+—)-3(x+-)-l=0.

xX

、?1111

3.計算：-----1-----------1---------+???+

1x32x43x59x11

111

4.試證：對任意的正整數(shù)”，有--------------1---------------1■…H---------------------------<4-

1x2x32x3x4〃(〃+1)(〃+2)

1.1.1.絕對值

1.(1)±5；±4(2)±4；一1或32.D3.3%-18

1.1.2.乘法公式

11

1.(1)—ci--b(2)(3)4ah-2ac-4hc

3224

2.(1)D(2)A

1.1.3.二次根式

1.(1)V3-2(2)3<x<5(3)-876(4)V5.

2.C3.14.>

1.1.4.分式

11-99

1.2.B3.V2-14.—

2100

習(xí)題1.1

A組

1.(1)x<-2或x>4(2)-4<x<3(3)x<-3,或x>3

2.13.(1)2-百(2)-l<a<l(3)V6-1

B組

351

1.(1)-(2)或一三2.4.

725

C組

1.(1)C(2)C2.X.=-,X^23.—

12255

，包一11rl1■.

4.提不：-----------=—[------------------]

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,

另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如圖1.2-L將二次項f分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項

2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3心就是

f—3x+2中的一次項，所以，有

x2—3x+2=(x—l)(x—2).

圖1.2—1圖1.2—2圖1.2—3圖1.2—4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.2—1中的

兩個x用1來表示(如圖1.2—2所示).

(2)由圖1.2-3,得

X2+4X-12=(x-2)(x+6).

(3)由圖1.2-4,得

/一(Q+b)xy4-aby2=(x-ay)(x-by)A-1

yK1

(4)xy-l+x-y=xy+(x-y)-l圖L2_5

=。-1)。+1)(如圖1.2—5所示).

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)x'+9+3x~+3x；(2)2x?+xy-—4x+5y-6.

解：(1)X3+9+3X2+3X=(X3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

+9+3x"+3x—■(x^+3x^+?>x+1)+8—(x+l)'+8—

(X+1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(%2+3).

(2)2x2+xy-y2-4.r+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy->,2)-(4x-5>!)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(a^O)的因式分解.

若關(guān)于x的方程a/+bx+c=0(aK0)的兩個實數(shù)根是內(nèi)、々，則二次三項式

ax2+bx+c(aW0)就可分解為。(工一玉乂》-々).

例3把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解：(1)令f+2x—1=0,則解得玉=—l+JL乙=一1一行，

/.x2+2x-l=[x-(-l+V2)][.r-(-l-V2)]

=(X+1-V2)(X+1+V2).

(2)令爐+4孫-4y2=0,貝I」解得玉=(—2+2&)y,玉=(—2—20)y,

x2+4xy-4y2=[x+2(1-V2)y][x+2(1+血)y].

練習(xí)

1.選擇題：

多項式2/一盯一15y2的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X?+6X+8；(2)8a3一必

(3)X2-2x-1；(4)4(x—y+l)+y(y—2x).

習(xí)題1.2

1.分解因式：