新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第二章兩條直線平行和垂直的判定培優(yōu)練習(xí)題

2.1.2兩條直線平行和垂直的判定

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1數(shù).學(xué)抽象：理解直線平行或垂直的判

定條件.

能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.

2邏.輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算：兩條直線平行

與垂直的判定及應(yīng)用.

必備知軍工

知識點(diǎn)一兩條直線(不重合)平行的判定

類型斜率存在斜率不存在

前提

ai=02^90°ai=ot2=9O°

條件

對應(yīng)/l〃/2=兩直線的斜率

11〃120kl=k2

關(guān)系都不存在

ylxh

圖示J13___

I/

0X

微點(diǎn)撥--------------------------------

八〃/2=心=依成立的前提：①兩條直線的斜率存在；②/I與，2不重合.

施1口判斷下列各小題中的直線/1與，2是否平行.

(l)/i經(jīng)過點(diǎn)A(—l,-2),S(2,1),人經(jīng)過點(diǎn)M(3,4),N(~l,-1)；

(2)八的斜率為1,/2經(jīng)過點(diǎn)A(l,1),8(2,2)；

(3必經(jīng)過點(diǎn)4(0,1)，伏1，0),〃經(jīng)過點(diǎn)”(-1,3),M2,0)；

(4必經(jīng)過點(diǎn)A(—3,2),B(-3,10),〃經(jīng)過點(diǎn)M(5,~2),N(5,5).

1—(—2)—1—45

【解】⑴k-——7—=1,ki=——：=公,因為k\手k2,所以Zi

與/2不平行.

2—1

(2)女?=1,fo—Z7=1,因為左1=女2,所以/1〃，2或與，2重合.

Z—1

0—10—3

(3)k\=-.―-=—1,kz=--(—y=—1,因為卜=女2,所以/i〃/2.

1—uz—(—1；

(4)因為/1與/2都與X軸垂直且不重合，所以/1〃/2.

陶題技巧------------------------------

判斷兩條不重合直線是否平行的步驟

［平行

［平行

否

------d不平行］

［注意］若已知直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷直線是否平行時，要考慮直線重合的

情況.

。跟蹤訓(xùn)練

1.已知直線2i過點(diǎn)A(m,1),5(-3,4),直線/2過點(diǎn)C(0,2),0(1,1),

且/i〃，2,則m=.

2—1

解析：因為/1〃，2,且左2—7~7=-1,

U-1

4—1

所以％1=--=-1.所以機(jī)=0.

—3—m

答案：0

2.已知直線/i的傾斜角為60°,直線為經(jīng)過點(diǎn)頌1,小)和根一2,一2/),

試判斷直線/1與/2的位置關(guān)系.

r—2yl3—y［3r

解：由題設(shè)，知方=tan6(r=小,女2=~一：—=小，

-L—1

所以左1=左2,

所以/］〃b或/1與，2重合.

知識點(diǎn)二兩條直線垂直的判定

圖示

p\J二士

對應(yīng)/1_L/2(兩直線的斜率都存/1的斜率不存在，，2的斜率

關(guān)系在)=&速2=—1為00/山2

微點(diǎn)撥-----------------------------

(l)/I_L/20k&2=—l成立的條件是兩條直線的斜率都存在且均不等于o.

(2)當(dāng)兩條直線的斜率都存在時，若M近#—1,則兩條直線一定不垂直.

題2判斷下列各組中的直線/1與/2是否垂直.

(1后的斜率為-10,/2經(jīng)過點(diǎn)4(10,2),3(20,3)；

(2)/i經(jīng)過點(diǎn)A(3,4),8(3,100),/2經(jīng)過點(diǎn)40),N(T0,40).

3—21

【解】(1)直線/1的斜率由=-10,直線/2的斜率多⑺=示，k\k2

ZU—1U1V

=-1,故

(2)由題意得/i的傾斜角為90°,所以/i±x軸.因為直線12的斜率依=

40-40

-—(1八\=0,所以〃〃1軸.所以

1U—1—1U；

［1題技巧------------------------------

判定兩直線垂直的步驟

(1)一看：看每條直線所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率

不存在；若不相等，則進(jìn)行第二步.

(2)二代：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式.

(3)求值：計算斜率的值，進(jìn)行判斷.

［注意］若已知點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時，

要注意討論斜率不存在的情況.

《跟蹤訓(xùn)練

1./i過點(diǎn)A(m,1),3(—3,4),一過點(diǎn)。(0,2),￡)(1,1),且/1JJ2,則加

4—1

解析：因為且/2的斜率的=-1,所以/1的斜率上=_3—〃7=率

所以m=-6.

答案：一6

2.點(diǎn)4—1,1),8(2,-1),C(l,4)為直角三角形的三個頂點(diǎn)，則直角頂

點(diǎn)為.

_1_I2

解析：因為4—1,1),8(2,-1),C(l,4),所以以B==一大，kAC

乙IJLJ

4-1_3

TTT=2,

所以AAB-AAC=-1,所以A8_LAC,所以NA為直角.

答案：A

￡關(guān)鍵能力三爵EJ、

考點(diǎn)平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

碩網(wǎng)已知A(—4,3),8(2,5),C(6,3),0(—3,0)四點(diǎn).若順次連接A,

B,C,。四點(diǎn)，試判定圖形ABC。的形狀.

【解】由題意知A,B,C,D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如圖所示，由斜

5—31

率公式可得GAB=2_(_4)=W

0-31

kcD=-3-6=3，

0-3

kAD=-3-(-4)=—3,

3-5i

kBC=6^2=-2?

所以kAB=kcD,由圖可知A8與CD不重合,

所以AB//CD由攵ADWZBC,

所以與BC不平行.

又因為以6儲。=3X(—3)=—1,

所以ABL4。，

故四邊形ABCD為直角梯形.

圖題技巧------------------------------

利用兩條直線平行或垂直判定

幾何圖形形狀的步驟

［描點(diǎn)卜［在平面直角坐標(biāo)系中描出給定的可

［猜測H根據(jù)描出的點(diǎn)，猜測圖形的形刃

(求斜率H根據(jù)給定的點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜K

~~T~

［結(jié)論H由斜率之間的關(guān)系，判斷形狀)

<跟蹤訓(xùn)練已知在QA3CO中，A(l,2),3(5,0),C(3,4).

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵試判斷口ABCO是否為菱形？

解：⑴設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),

因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以kAB=kcD,kAD—kBC,

ro-2b—4

5-1a—3'a=—1,

所以4解得k.

b-24-0

—13—5'

所以￡)(—1,6).

4-26-0

⑵因為心。===1,kBo=—^=一1,

所以ZAC,&8。=—1,

所以ACL3Z),所以%3CD為菱形.

飛課堂鞏固工自測

1.已知直線/1的傾斜角為30。，且直線則直線/2的斜率為()

A.-坐B,坐

C.一小D.小

.J3

解析：選C.由題意可得直線/1的斜率為為-.由直線得直線/2的斜率

為一小.

3

2.已知直線/i的斜率由=疝,直線［經(jīng)過點(diǎn)4（1，2）,B（a-1,3）.若\〃/2,

則實數(shù)。的值為（）

A.-3B.1

107

—J3—JD-4

解析：選C.因為直線C經(jīng)過點(diǎn)A（l,2）,B{a-1,3）,

所以直線〃的斜率比=」}.

因為/i〃/2,所以，,解得a=￥.故選C.

3.（2022?邯鄲高二月考）下列說法中正確的個數(shù)為（）

①平行的兩條直線的斜率一定存在且相等；

②平行的兩條直線的傾斜角一定相等；

③垂直的兩直線的斜率之積為一1；

④只有斜率相等的兩條直線才一定平行.

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析：選B.對于①，當(dāng)兩直線都與x軸垂直時，兩直線平行，但它們斜率

不存在，所以①錯誤；

對于②，由直線傾斜角的定義可知②正確；

對于③，當(dāng)一條直線平行于x軸，一條平行于y軸時，兩直線垂直，但斜率

之積不為一1,所以③錯誤；

對于④，當(dāng)兩條直線斜率都不存在時，兩直線平行，所以④錯誤.故選B.

4.判斷下列各小題中的直線Zi與/2是平行還是垂直.

(1必經(jīng)過點(diǎn)4一1,-2),B(l,2),/2經(jīng)過點(diǎn)M(—2,-1),N(0,-2)；

(2)(經(jīng)過點(diǎn)A(l,3),B(l,-4),/2經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),N(2,3).

2—(—2)

解：(1)由題意和斜率公式可得/i的斜率k――二一=2,h的斜率k

1—(—1)2

—2—(T)=-3,k\ki=-1,故兩直線垂直.

0—(—2)

1—（—4）

（2）由題意可得人的斜率不存在，/2的斜率不存在，又ZBM=—丁丁一=5,

z—1

兩直線不重合，故兩直線平行.

1

課后達(dá)標(biāo)0檢［測

［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.已知A（2,0）,B（3,3）,直線/〃A3,則直線/的斜率攵等于（）

A.-3B.3

解析：選B.因為/〃A3,且直線48的斜率左=不==3,所以直線/的斜

5-2.

率k=3.

2.已知直線I與過點(diǎn)M（f,V2），N（6，一小）的直線垂直，則直

線/的傾斜角是（）

A.60°B.120°

C.45°D.135°

解析：選C.設(shè)直線/的傾斜角為夕

V2-（一?。?/p>

M_小—啦=T

因為直線/與過點(diǎn)M（一小，6）,N（啦，一?。┑闹本€垂直，

所以k「kMN=-l,即M=l,所以1211。=1.因為0。?心180°,所以9=45°.

3.若點(diǎn)P（m勿與a+1）關(guān)于直線/對稱，則/的傾斜角為（）

A.135°B.45°

C.30°D.60°

。+1-b

解析：選B》PQ=〃_[=-1,kpQ-ki=-1,

所以/的斜率為1,傾斜角為45。.

4.已知四邊形MNP。的頂點(diǎn)分別為M(l,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,

2),則四邊形MNPQ的形狀為()

A.平行四邊形B.菱形

C.梯形D.矩形

解析：選D.因為攵MN=-1,kpQ=—1,所以MN〃PQ.又ICMQ=1,kNp—1,

所以MQ//NP,所以四邊形MNPQ為平行四邊形.又kMN-kMQ=—1,所以

MN1MQ,所以四邊形MNPQ為矩形.故選D.

5.(多選)已知點(diǎn)A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),0(1,0),且直線

AB與C。平行，則實數(shù)〃z的值為()

A.-1B.0

C.1D.2

解析：選BC.當(dāng)〃z=0時，A(0,3),8(0,4),C(l,2),0(1,0),直線

m+1

軸，直線CO_L九軸，此時直線AB與CD平行.當(dāng)時，kAB=—^~,kcD

2fn+1?

=/，因為直線AB與CO平行，所以一齊--,所以〃z=l.故選BC.

6.(多選)已知點(diǎn)P(—4,2),0(6,-4),R(12,6),S(2,12),則下列結(jié)論

正確的是()

A.PQ//SRB.PQLPS

C.PS//QRD.PR±QS

—4—2312—63

解析：選ABCD.由斜率公式知％PQ=久力=-7,ksR=\~7T=-7,

0十4。L—1Z3

12—2512+46—2

2+4=]，近=2—6^-4,.=12+4

所以ABCD均正確.

7.已知41,2),B(m,1),直線AB與直線y=0垂直，則m的值為

解析：因為直線A3與直線y=0垂直，所以直線A3的斜率不存在，故m=

1.

答案：1

8.已知4(一4,2),8(6,-4),C(12,6),0(2,12),給出下面四個結(jié)論:

@AB//CD；?AB±CD；?AC//BD；④ACLBD其中正確的是.(填序

1

解析-

4,KBD=-4.

所以AB〃C￡>,AC±BD.

答案：①④

9.已知直線/i經(jīng)過點(diǎn)A(3,m),2),直線/2經(jīng)過點(diǎn)C(l,2),￡>(-

2,m+2).

(1)當(dāng)"2=6時，直線/1與/2的位置關(guān)系為；

⑵若I山2,則實數(shù)m=.

6—2

解析：(1)當(dāng)陽=6時，4(3,6),5(5,2),C(l,2),D(-2,8).幼=不W=

J—j

2-86-8

—2,k(2=]?2=-2,故kl1—kh.又ZA。=.?.一55所以kAD中kh，從而1\//lz.

加+2-2m

(2)02=_2_]=一1，卜的斜率存在.當(dāng)kh=—y=0時，m=0,則

A(3,0),8(—1,2),直線/1的斜率存在，不符合題意，舍去；當(dāng)力2=—QW0

m—2Yum—2

時，幼=晨吃，故■.口=-1，解得〃2=3或加=一4.綜上，實數(shù)〃，的

值為3或-4.

答案：(1)/1〃/2(2)3或一4

10.試確定機(jī)的值，使過點(diǎn)4(2m，2),8(—2,3陽)的直線與過點(diǎn)P(l,2),

2(-6,0)的直線分別滿足以下條件：

⑴平行；

⑵垂直.

2—023m—2

解：(1)APQ=^-―――=亍,kAB=一^一丁,因為AB//PQ,所以kpQ

1—(—O)I—Z—Z77Z

23m—22

=%AB,j=_2_2m，解得"2=5?

23m—2

⑵由⑴得直線AB斜率存在且不為0,所以kAB-kpQ=-l,]-_2_2ffl=-

1,

9

解得tn——a-

[B能力提升]

11.已知已(1,-1),8(2,2),C(3,0)三點(diǎn)，且有一點(diǎn)。滿足CO_LAB,

CB//AD,則。點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(0,-1)

C.(1,0)D.(0,1)

y—°yy+]2+1

解析：選D.設(shè)。(x,y),則kcD=,kAD=__.心8=1萬=

XJX3X1

2-0

3,kcB=~Z―T=-2,又CO_LAB,CB//AD,

2—3

kcD?kAB=-1,

所以1,

ICAD=kcBy

R3=T,

所以y+1、

H=-2，

x+3y=3,(x=0,

所以，所以，

2光+y=1,[y=1,

即0(0,1).

12.(多選)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以0(0,y

3

0),A(l,1),3(3,0)為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各點(diǎn)2

中能作為平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的是()1d3

~~0-12B4X

A.(-3,1)

B.(4,1)

C.(-2,1)

選BCD.

13.已知直線/i，6的斜率心，也是關(guān)于火的方程2爐一3左一。=0的兩根，

若八」2,則方=；若/1〃/2，貝.

解析：若則Zr%2=—1,即—3=—1，

所以8=2;若/i〃，2,則％1=攵2,所以/=(—3)2—4X2(—")=0,所以/?=

9

-8?

答案：2O

14.如圖，在DOABC中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C(l,3).

(1)求OC所在直線的斜率；

(2)過點(diǎn)C作COLAB于點(diǎn)D,求直線CD的斜率.

解：(1)點(diǎn)。(0,0),C(l,3),所以O(shè)C所在直線的斜率

3-0

%c=]_0=3.

(2)在口OABC中，AB//OC,因為COLAB,所以CO，。。，所以k℃kcD=

kcD~ko