第15講等差數(shù)列（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第15講等差數(shù)列【人教A版2019】·模塊一等差數(shù)列的概念·模塊二等差數(shù)列的前n項和公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等差數(shù)列的概念1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.2．等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式為=+(n1)d，其中為首項，d為公差.(2)等差數(shù)列通項公式的變形已知等差數(shù)列{}中的任意兩項，(n,m,m≠n)，則

=(nm)d4．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列.5．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.

(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.

(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列，{}與{}的項數(shù)一致，則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.【考點1等差數(shù)列的基本量的求解】【例1.1】（2023秋·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=1，an+1?3=anA．675 B．674 C．673 D．672【例1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an中，a12=22，a1+A．2 B．52 C．3 D．【變式1.1】（2023春·云南曲靖·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an滿足a1+a4+aA．25 B．35 C．40 D．50【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an的首項與公差d均為正數(shù)，且lga1，lga3，lga6成等差數(shù)列，則lgA．lgd B．lg23 C．lg【考點2等差數(shù)列的通項公式的求解】【例2.1】（2023春·河南鄭州·高二?？计谥校?shù)列an中，a1=1，an+1=2aA．n+12 B．2n+1 C．2nn+1【例2.2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，a1=1，an+A．a(chǎn)n=n C．a(chǎn)n=n,n【變式2.1】（2023春·廣東深圳·高二校考期中）已知等差數(shù)列an的首項a1=1，公差d=10，在an中每相鄰兩項之間都插入4個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列bnA．4043 B．4044 C．4045 D．4046【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn?2=2aA．n+1?2n+1 B．2n C．n?【考點3利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】【例3.1】（2023春·海南儋州·高二校考期末）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a1?a9A．7 B．21 C．14 D．17【例3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=（

）A．6 B．7 C．8 D．9【變式3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列an中，若a4+A．14 B．15 C．16 D．17【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）非零實數(shù)a，b，c，若bca，cab，A．b≤ac B．b≤a+c【考點4等差數(shù)列的判定與證明】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=?12【例4.2】（2023春·高二課時練習(xí)）是否存在數(shù)列an（1）an（2）1a若存在，求出其通項公式；若不存在，請說明理由．【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，a1=3，(1)求證數(shù)列bn(2)求數(shù)列an【變式4.2】（2023秋·江蘇蘇州·高二?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列an中，a1=2(1)證明數(shù)列1an?1(2)若對任意n∈N?，都有a1模塊模塊二等差數(shù)列的前n項和公式1．等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的常用性質(zhì)性質(zhì)1等差數(shù)列中依次k項之和Sk,S2kSk,S3kS2k,…組成公差為k2d的等差數(shù)列性質(zhì)2若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*)，則，，；

若等差數(shù)列的項數(shù)為2n1(n∈N*)，則(an是數(shù)列的中間項)，，性質(zhì)3{an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列性質(zhì)4若{an},{bn}都為等差數(shù)列，Sn,Tn分別為它們的前n項和，則【考點5等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項和Sn，若Sn=1,SA．10 B．20 C．30 D．15【例5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列an中，其前n項和為Sn，若S21:SA．16:1 B．6:1 C．12:1 D．10:3【變式5.1】（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則a5=A．8 B．9 C．10 D．11【變式5.2】（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則（A．若S9>S8，S9>S10，則S17>0，C．若S17>0，S18<0，則a17>0，a18<0 【考點6求等差數(shù)列的前n項和】【例6.1】（2023春·河南開封·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，Sn為其前n項和，a3+aA．516 B．440 C．258 D．220【例6.2】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知Tn為數(shù)列an的前n項積，若1an+2Tn=1A．n2+2n B．?n2+2n 【變式6.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，首項a1>0，若a1012a1013<?1A．2020 B．2022 C．2024 D．2025【變式6.2】（2023春·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．30【考點7等差數(shù)列前n項和的最值】【例7.1】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an是遞減數(shù)列，設(shè)其前n項和為Sn，且滿足a1(1)求an(2)設(shè)數(shù)列Snn+9的前n項和為Tn，求【例7.2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）記數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意n∈N(1)證明：an(2)若當(dāng)且僅當(dāng)n=7時，Sn取得最大值，求a【變式7.1】（2023春·北京·高二?？计谥校┮阎猘n是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，(1)數(shù)列an(2)Sn的最小值，并求Sn取得最小值時條件①：S4=?24；條件②：【變式7.2】（2023·高二課時練習(xí)）如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，an（n為正整數(shù)）滿足條件a1=an，a2=a(1)設(shè)是bn項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且b(2)設(shè)cn是項數(shù)為2k?1（正整數(shù)k>1）的“對稱數(shù)列”，其中ck，ck+1，…，c2k?1是首項為50，公差為?4cn各項的和為S2k?1，當(dāng)模塊模塊三課后作業(yè)1．（2023春·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=anA．673 B．674 C．675 D．6762．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知an為數(shù)列Sn的前n項積，若1Sn?2aA．32n B．3+2n C．1+2n D．12n3．（2023·山東·煙臺二中?？寄M預(yù)測）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5=9A．?2 B．?1516 C．?1 4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD1，CC1，5．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn．若S1=3，S2A．21 B．48 C．75 D．836．（2023春·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1=1，anan+1=2Sn，設(shè)bnA．p=1 B．p=2 C．p=3 D．p=47．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．408．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn有最小值，且?1<a9a10<0A．9 B．10 C．17 D．189．（2023秋·湖南邵陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S2023A．?dāng)?shù)列an是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)Sn取得最大值時，n=1013 D．10．（2023秋·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列an中，Sn是an的前n項和，滿足S20<0，S21>0，則有限項數(shù)列S1aA．S21a21；S20a20 B．S21a21；S1111．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn和Tn，且12．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列an的首項a1=2，公差d=8，在a(1)求數(shù)列bn(2)b29是不是數(shù)列an的項？若是，它是13．（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中