新教材2021秋高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第一冊學(xué)案：7 . 3 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

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7.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

7.3.1三角函數(shù)的周期性

課程

借助實(shí)例「解：角函數(shù)的周期性

標(biāo)準(zhǔn)

基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)《

概念認(rèn)知

1.函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果存在一個非零常數(shù)T,

使得對于任意的X￡A,都有x+TQA,并且f(x+T)=f(x),那么函

數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正

數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.

2.正、余弦函數(shù)的周期

一般地,函數(shù)y=Asin(cox+(p)及y=Acos(cox+cp)(其中A,①，cp為

常數(shù)，且AM,3>0)的周__期為2由IT一

自我小測

1.今天是星期三，從明天算起，第167天是()

A.星期一B.星期二

C.星期三D.星期四

選B.因?yàn)橹芷赥=7,

又167=23x7+6,

故第167天是星期三的前一天，星期二.

2.函數(shù)y=sin4x的最小正周期是()

71

A.4兀B.2兀C.71D.2

選D.T=^.

3.函數(shù)y=3sinx+5的最小正周期是________.

設(shè)f(x)=3sinx+5,又寸任意xwR,f(x+2n)=3sin(x+2n)+5=3sinx

+5=f(x),所以y=3sinx+5的最小正周期是2兀

答案:2九

4.函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且f(2)=3，則f(8)=.

因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f(x+2)=f(x),

所以f(8)=f(2+3x2)=f(2)=3.

答案：3

5.若函數(shù)f(x)=|cosx舊勺圖象如圖(實(shí)線部分)所示，則其最小正周期

為.

由圖象可知,f(x)=|cosX出勺最小正周期為71.

答案：兀

6.已知f(x+1)=--,求證：f(x)是周期函數(shù)，并求出它的一

f(X)

個周期.

因?yàn)閒(x+2)=f[(x+D+l]

f(X)

所以f(x)是周期函數(shù)，且2是它的一個周期.

》學(xué)情診斷?課時測評也

基礎(chǔ)全面練

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=cos12X+T的周期為()

7171

A.B.2C.7iD.2K

選C.方法一(定義法)：因?yàn)閒(x)=

cos12x+才=cos12x+g+2T

=COS2(X+71)+§=f(X+71),

即f(x+71)=f(x),

所以函數(shù)f(x):cos2x+f的周期T二兀

方法二(公式法)：因?yàn)閥=cos"x+,

2jT271

所以3=2.又T=⑹=n.

所以函數(shù)f(x)=cos|x+2的周期T=兀

2.下列函數(shù)中，周期為5的是()

x

A.y=sin2B.y=sin2x

x

C.y=cosD.y=cos(-4x)

2兀27r

選D.A中，T=1二4兀；B中，T=E=7i；

2

,2瓦_(dá)、,2兀7i

C中，T=〒=87i；D中，T=----=7.

1|-4|2

4

3.已知函數(shù)y=2cos年-3x](3<0)的最小正周期是4兀，則3=()

A.-4B.-C.-1D.-2

2JT

選D.因?yàn)門==4TI,

I-0|

所以阿|二|,因?yàn)閏o<0,所以co=-1.

4.函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(l)=2,則f(5)

=()

A.2B.1C.-2D.-1

選C.因?yàn)閒(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，

所以f(x+3)=f(x)且f(-x)=-f(x),

Xf(l)=2,^f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-l+3)=f(-1)=-f(l)=-

2.

5函數(shù)y=sin畏+(的周期不大于4,則正整數(shù)k的最小值為()

A.2B.3C.4D.5

2jr2JT4冗4Ji

選C.由T=管得T=,?因?yàn)榕f，所以胃04,所以k”所

2

以正整數(shù)k的最小值為4.

6.函數(shù)f(x)=cos2x+|cos2x出勺最小正周期為()

71

A.4兀B.2nC.nD.

選C.由f(x)=cos2x+|cos2x|=

C71兀/

2cos2x,XIK7l-4,K7I+4(k@Z),

<一

(兀，3瓦〕,、

0,xeIk?i+(k@Z),

故所求最小正周期為兀

7.(多選)已知函數(shù)f(x)=sin厚+幻(k為正整數(shù)),要使f(x)的周期

在［I,1內(nèi)，則正整數(shù)k的()

A.最小值為14B.最小值為15

C.最大值為28D.最大值為29

選BC.由周期公式，得T=Y￥,由題意知向<Y<1.因?yàn)閗

3

]]297r

>0,所以同(靈，即Z<k<9兀，所以kmin=15,kmax=28.

8.(多選)已知函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)X滿足條件f(x+2)=-」一

f(X)

(f(x)M),則()

A.函數(shù)f(x)是周期函數(shù)

B.函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)

C.4是函數(shù)f(x)的一個周期

D.若f⑴=-5,則f(f⑸)的值為]

選ACD.因?yàn)閒(x+2)=,

f(x)

所以f(x+4)=-1=-----—=f(x).

f(x+2),——

f(x)

所以f(x)是周期函數(shù)，4就是它的一個周期.

因?yàn)?是f(x)的一個周期.所以f(5)=f(l)=-5,

-1-11

所以f(f(5))=f(-5)=f(-l)="_]+2)=不T=*

二、填空題

9?函數(shù)y=祟的最小正周期是_______?

Ld.IlX

sinxsinx-,,一卬++口牝-

y=T--==cosX,所Cr以XI取B小正周期為2Tl.

ld.llAMilX

COSX

答案:27r

10.已知函數(shù)f(x)對于任意xQR滿足條件f(x+3)=J，且f(D

f(x)

=|，貝Uf(2020)=.

因?yàn)閒(x+6)=f(x;)=3，

所以函數(shù)f(x)的周期為6,

故f(2020)=f(4)=Uy=2.

答案：2

三、解答題

11.若單擺中小球相對靜止位置的位移x(cm)隨時間t⑸的變化而呈

周期性變化，如圖所示，請回答下列問題：

(1)單擺運(yùn)動的周期是多少？

⑵從O點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動？如從

A點(diǎn)算起呢？

⑶當(dāng)t=11s時，單擺小球相對于靜止位置的位移是多少?

⑴從圖象可以看出單擺運(yùn)動的周期是0.4s.

(2)若從O點(diǎn)算起，到曲線上的D點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動；若從

A點(diǎn)算起，到曲線上的E點(diǎn)表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動.

⑶11=0.2+0.4x27,所以小球經(jīng)過11s相對于靜止位置的位移是0

cm.

12.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù).

⑴求f(4)的值；

(2)若-2<x<-1時，f(x)=sin了+1,求2<x<3時，f(x)的解+析式.

⑴因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，所以f(0)=0,

所以f(4)=f(4+0)=f(0)=0.

(2)設(shè)2sxs3,則-22-4+X0-1,

71

所以f(-4+x)=sin2(-4+x)+1

=sm2x+I/

jr

所以f(x)=f(-4+x)=sin2x+I.

綜合突破練

一、選擇題

7T

I設(shè)函數(shù)f(x)(xQR)是以兀為最小正周期的周期函數(shù)目當(dāng)間0,5

時,f(x)=sinx，；■當(dāng)，n時，f(x)=cosx,則

11A/3A/3

A.-2B.2C.2D.-2

2.設(shè)函數(shù)f(x)(xeR)滿足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x)，則函數(shù)y=f(x)

的圖象是（）

AB

5sls&

CD

選B.由f(-x)=f(x)，得f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.

由f(x+2)=f(x)，得f(x)的周期為2.

_7T

3.設(shè)函數(shù)f(x)=sin.x,則f(l)+f(2)+f(3)+...+f(2019)=()

A.坐B.-坐C.y/3D.0

選C.因?yàn)閒(x)=sin1x的周期T=6,

3

所以f(l)+f(2)+f(3)+...+f(2019)

=336[f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+

f(2017)+f(2018)+f(2019)

7i245

=336(sing+sin§兀+sm加+sin］兀+sin§加+sm2n)+f(336x6

71

+1)+f(336x6+2)+f(336x6+3)=336x0+f(l)+f(2)+f(3)=sin§

+sin§7i+sinw加二S.

4.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(3x+，,co>0,x￡(-oo,+oo),且以/

為最小正周期.

若砥+招］=|，貝Ucosa的可取值為()

選CD.因?yàn)閒(x)的最小正周期為3,

2兀

a?0,所以co=—=4.

2

所以f(x)=3sin(4x+.

a57i

由A+24,

93

=-3sina二5,sina=-.

，目4

得cosa二士*

二、填空題

5.若函數(shù)f(x)=2cos13x+2的最小正周期為T,且T￡(l,3),則

正整數(shù)3的最大值是______.

【解題指南】根據(jù)求函數(shù)周期的公式，表示出函數(shù)的周期，再根據(jù)條

件TG(1,3)列出不等式組，求出3的范圍，注意3是正整數(shù)這一條

件.

T=f27T，又T￡(l,3),所以1號771<3,

又cowN*,則3=3,4,5,6,所以3的最大值為6.

答案：6

6.若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(l)=l,f(2)=2,則f(3)

-f(4)=.

因?yàn)閒(x+5)=f(x),f(-x)=-f(x),

所以f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,

所以f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(l)=-1,

所以f(3)-f(4)=-2+1=-1.

答案：-1

7.已知函數(shù)f(x)=sin肝+，,其中k#0,當(dāng)自變量x在任何兩整

數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時，至少含有1個周期，則最小的正整數(shù)k

為.

由正弦函數(shù)的周期公式，得T會二半,由題意知0〈半，解得

KKK

10

kN20g62.8,所以正整數(shù)k的最小值為63.

答案：63

8.欲使函數(shù)y=Asincox(A>0,(o>0)在閉區(qū)間［0,1］上至少出現(xiàn)50

個最小值，則3的最小值為.

函數(shù)y=Asincox的最小正周期為言,因?yàn)樵诿恳粋€周期內(nèi)，函數(shù)y

=Asincox(A>0,3>0)都只有一^^最小值，要使函數(shù)y=Asincox在閉

3

區(qū)間［0,1］上至少出現(xiàn)50個最小值，則y在區(qū)間［0,1］內(nèi)至少含49a

f2K

T=—,

一