專升本高等數(shù)學(xué)一(常微分方程)模擬試卷1(題后含答案及解析)

專升本高等數(shù)學(xué)一（常微分方程）模擬試卷1(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題1．微分方程(y’)2=x的階數(shù)為()A．1B．2C．3D．4正確答案：A解析：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為該微分方程的階，故此微分方程的階數(shù)為1．知識模塊：常微分方程2．微分方程y2dx一(1一x)dy=0是()A．一階線性齊次方程B．一階線性非齊次方程C．可分離變量方程D．二階線性齊次方程正確答案：C解析：將該微分方程整理可得dx，所以該微分方程是可分離變量方程．知識模塊：常微分方程3．已知函數(shù)y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，則下列正確的是()A．y是該微分方程的通解B．y是微分方程滿足條件y｜x=0=1的特解C．y是微分方程的特解D．以上都不是正確答案：D解析：方程為二階微分方程，則通解中應(yīng)含有兩個任意常數(shù)，因此y=x3一x2+x+C顯然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C為y’’=x－1的解，因含有未知數(shù)，故不是特解，因此選D．知識模塊：常微分方程4．方程xy’=2y的特解為()A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正確答案：B解析：分離變量可得，兩邊積分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次數(shù)也應(yīng)該為2，故選B．知識模塊：常微分方程5．微分方程y’+的通解是()A．a(chǎn)rctanx+CB．(arctanx+C)C．a(chǎn)rctanx+CD．+arctanx+C正確答案：B解析：所求方程為一階線性微分方程，由通解公式可得其中C為任意常數(shù)，故選B．知識模塊：常微分方程6．方程y’’一y’=ex+1的一個特解具有形式()A．Aex+BB．Axex+BC．Aex+BxD．Axex+Bx正確答案：D解析：方程對應(yīng)二階齊次線性微分方程的特征方程為r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是該二階非齊次微分方程的一重特征根，所以特解形式為y*=Axex+Bx．故選D．知識模塊：常微分方程7．某二階常微分方程的下列解中為特解的是()A．y=CsinxB．y=C1sin3x+C2cos3xC．y=sin3x+cos3xD．y=(C1+C2)cosx正確答案：C解析：由特解定義可知，特解中不含有任意常數(shù)，故排除A、B、D項，選C．知識模塊：常微分方程8．下列方程中，可用代換p=y’，p’=y’’降為關(guān)于p的一階微分方程的是()A．+xy’一x=0B．＋yy’一y2=0C．＋x2y’一y2x=0D．＋x=0正確答案：A解析：可降階方程中的y’’=f(x，y’)型可用代換p=y’，p’=y’’，觀察四個選項，只有A項是y’’=f(x，y’)型，故選A．知識模塊：常微分方程填空題9．方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0滿足y｜x=0=1的特解為_______．正確答案：=2解析：分離變量得，兩邊積分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2．知識模塊：常微分方程10．已知微分方程y’+ay=ex的一個特解為y=xex，則a=_______．正確答案：一1解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用對應(yīng)系數(shù)相等解得a=一1．知識模塊：常微分方程11．微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x對應(yīng)齊次微分方程的通解為=_______，它的特解形式為y*=________．正確答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x解析：事實上，原方程對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程為r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齊次微分方程的通解為=C1ex+C2e3x．非齊次方程特解形式的假設(shè)，可分為兩個方程進(jìn)行：y’’一4y’+3y=excosx，①y’’一4y’+3y=xe3x．②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式應(yīng)是y2*=x(ax+b)e3x，則y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式．知識模塊：常微分方程12．非齊次微分方程y’’+9y=cosx，它的一個特解應(yīng)設(shè)為________．正確答案：y=Acosx+Bsinx解析：方程對應(yīng)二階齊次線性微分方程的特征方程為r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，則±i不是該二階齊次微分方程的特征根，所以特解形式為y=Acosx+Bsinx．知識模塊：常微分方程13．設(shè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解為y=C1ex+C2e2x，那么非齊次微分方程y’’+ay’+by=1滿足的條件y(0)=2，y’(0)=一1的解為________．正確答案：y=4ex一解析：二階線性常系數(shù)齊次方程對應(yīng)的特征方程為r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齊次微分方程為y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，設(shè)特解y*=A，則(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解為y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故滿足初始條件的特解為y=4ex一．知識模塊：常微分方程解答題14．求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．正確答案：方程可寫成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，則，于是原方程化為=1+sinμ，就得到了可分離變量方程．分離變量，得=dx，恒等變形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．兩邊積分，得tanμ—secμ=x+C，將μ=x+y+100回代，得方程通解為tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程15．求微分方程xy’一=0的通解．正確答案：方程分離變量得，兩邊積分有+C1，則方程的通解為2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程16．求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，滿足初始條件y｜x=0=的特解．正確答案：方程分離變量得dy，即dx=一cosydy，兩邊積分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始條件y｜x=0=得C=1，則方程的特解為siny＋=1．涉及知識點：常微分方程17．求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．正確答案：將原方程改寫成y’+ysinx=cosxecosx，則y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程18．(1)求微分方程xy’+ay=1+x2滿足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a為常數(shù)．(2)證明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．正確答案：(1)原方程可改寫成y’+，微分方程的通解為(2)設(shè)y0=+lnx，則xy0’=x(x＋)=1+x2，故結(jié)論成立．涉及知識點：常微分方程19．求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．正確答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程20．求微分方程xy’+2y=xlnx滿足y(1)=的解．正確答案：方程xy’+2y=xlnx兩邊同時除以x，得y’＋y=lnx，是一階線性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得涉及知識點：常微分方程21．求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．正確答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，兩邊對x求導(dǎo)，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次對x求導(dǎo)，得y’一y=sinx為一階線性非齊次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解為y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解為y(x)=(ex+sinx+cosx)．涉及知識點：常微分方程22．已知某曲線經(jīng)過點(1，1)，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標(biāo)，求它的方程．正確答案：根據(jù)題意可知，f(1)=1．由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，曲線y=f(x)上任意一點(x0，y0)處的切線方程為：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲線方程相當(dāng)于求=一1滿足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲線方程為y=一xln｜x｜+x．涉及知識點：常微分方程23．求y’’一2y’+y=x3的特解．正確答案：對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一2r＋1=0，解得r=1，為二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，設(shè)特解為y=Ax3+Bx2＋Cx+D，則y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，則A=1，B=6，C=18，D=24，故特解為y=x3+6x2+18x+24．涉及知識點：常微分方程24．求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．正確答案：原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故設(shè)原方程的特解為y=Axe7x，則y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x一14Axe7x=9e7x，則A=1，故特解為y=xe7x．涉及知識點：常微分方程25．求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．正確答案：原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以對應(yīng)的齊次方程的解為=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故設(shè)原方程的特解為y*=x2e2x(Ax+B)，則(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解為y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程26．已知函數(shù)y=(x+1)ex是一階線性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二階常系數(shù)線性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．正確答案：據(jù)題意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，則下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解，特征方程為r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解為y=C1e－x+C2e－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以設(shè)y*=(Ax+B)ex為原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一個特解，則把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比較系數(shù)得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解為y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2為任意常數(shù)．涉及知識點：常微分方程27．求y’’=y