專題02 超幾何分布 (典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題02超幾何分布(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，其中，，，，，，，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．2、公式中個(gè)字母的含義—總體中的個(gè)體總數(shù)—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))—樣本容量—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))注意：(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣；(3)注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.二、典型題型題型一：超幾何分布的概率問題1．（2024上·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）杭州第屆亞運(yùn)會(huì)，是繼年北京亞運(yùn)會(huì)、年廣州亞運(yùn)會(huì)之后，中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運(yùn)會(huì)開幕式隆重舉行.某電商平臺(tái)亞運(yùn)周邊文創(chuàng)產(chǎn)品直播間，主播為當(dāng)晚點(diǎn)前登錄該直播間的前名觀眾設(shè)置了兩輪“慶亞運(yùn)、送吉祥物”的抽獎(jiǎng)活動(dòng).每輪抽獎(jiǎng)都是由系統(tǒng)獨(dú)立、隨機(jī)地從這名觀眾中抽取名幸運(yùn)觀眾，抽中者平臺(tái)會(huì)有亞運(yùn)吉祥物玩偶贈(zèng)送.而直播時(shí)這名觀眾始終在線，記兩次抽獎(jiǎng)中被抽中的幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)為（幸運(yùn)觀眾總?cè)藬?shù)不重復(fù)計(jì)數(shù)，例如若某幸運(yùn)觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.(1)已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；(2)當(dāng)取到最大值時(shí)，求的值.2．（2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動(dòng)力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對(duì)“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)屬地所在的一社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)年齡在的被調(diào)查者中，投贊成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機(jī)選取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）3．（2023·全國·高二課堂例題）某商場為促銷組織了一次幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)．袋中裝有18個(gè)除顏色外其余均相同的小球，其中8個(gè)是紅球，10個(gè)是白球．抽獎(jiǎng)?wù)邚闹幸淮纬槌?個(gè)小球，抽到3個(gè)紅球得一等獎(jiǎng)，抽到2個(gè)紅球得二等獎(jiǎng)，抽到1個(gè)紅球得三等獎(jiǎng)，抽到0個(gè)紅球不得獎(jiǎng)．求得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)的概率．4．（2022上·上海虹口·高二華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)校考期末）某批件產(chǎn)品的次品率為2%，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn).(1)當(dāng)，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？(2)當(dāng)，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？(3)（1）、（2）分別對(duì)應(yīng)哪種分布，并結(jié)合（1）（2）探究兩種分布之間的聯(lián)系.題型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差1．（2024上·山東德州·高二統(tǒng)考期末）為落實(shí)“雙減”政策，提升課后服務(wù)水平，某小學(xué)計(jì)劃實(shí)行課后看護(hù)工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取該小學(xué)三年級(jí)的個(gè)班級(jí)并調(diào)查需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)，分布如下：班級(jí)代號(hào)12345678需看護(hù)學(xué)生人數(shù)2022273025233221(1)若將上述表格中人數(shù)低于人的班級(jí)兩兩組合進(jìn)行看護(hù)，求班級(jí)代號(hào)為、的兩個(gè)班合班看護(hù)的概率；(2)從已抽取的個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取個(gè)班，記個(gè)班中需要課后看護(hù)的學(xué)生人數(shù)低于人的班級(jí)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．2．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間，，，，內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；(2)為了進(jìn)一步了解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動(dòng)，記錄他們?cè)谝?guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：(1)估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再從中抽取3人做進(jìn)一步培訓(xùn)．（?。┯涍@3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．4．（2023上·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）假設(shè)某市大約有800萬網(wǎng)絡(luò)購物者，某電子商務(wù)公司對(duì)該地區(qū)n名網(wǎng)絡(luò)購物者某年度上半年前6個(gè)月內(nèi)的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，若頻率分布直方圖中的a，b，c，d滿足，且從左到右6個(gè)小矩形依次對(duì)應(yīng)第一至六小組，第五小組的頻數(shù)為2400．(1)求a，b，c，d的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣方法從前4組中選出18人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物愛好調(diào)查，①求在各組應(yīng)該抽取的人數(shù)；②在前2組所抽取的人中，再隨機(jī)抽取3人，記這3人來自第一組的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．5．（2023上·甘肅白銀·高三甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某商家2023年1月至7月商品的月銷售量的數(shù)據(jù)如下圖所示，若月份與商品的月銷售量存在線性關(guān)系.

(1)求月份與商品的月銷售量的回歸直線方程；(2)若規(guī)定月銷售量大于35的月份為合格月，在合格月中月銷售量低于50的視為良好，記5分，月銷售量不低于50的視為優(yōu)秀，記10分，從合格月中任取3個(gè)月，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：回歸直線方程，其中.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）火車晚點(diǎn)是人們?cè)诼眯羞^程中最常見的問題之一，針對(duì)這個(gè)問題，許多人都會(huì)打電話進(jìn)行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點(diǎn)率對(duì)每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對(duì)近8年（2015年~2022年）每年火車正點(diǎn)率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.60059243837.293.8(1)求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若預(yù)計(jì)2024年火車的正點(diǎn)率為，試估算2024年顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)；(2)根據(jù)顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評(píng)為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機(jī)抽取3年，記其中評(píng)價(jià)“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，2．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為探究某藥物對(duì)小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.(1)設(shè)其中兩只小鼠中在對(duì)照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對(duì)照組：17.3

18.4

20.1

20.4

21.5

23.2

24.6

24.8

25.0

25.426.1

26.3

26.4

26.5

26.8

27.0

27.4

27.5

27.6

28.3實(shí)驗(yàn)組：5.4

6.6

6.8

6.9

7.8

8.2

9.4

10.0

10.4

11.214.4

17.3

19.2

20.2

23.6

23.8

24.5

25.1

25.2

26.0（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：合計(jì)對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組合計(jì)（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.6353．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第二中學(xué)?？计谀┮阎凶觾?nèi)有大小相同的10個(gè)球，其中紅球有個(gè)，已知從盒子中任取2個(gè)球都是紅球的概率為.(1)求的值；(2)現(xiàn)從盒子中任取3個(gè)球，記取出的球中紅球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.4．（2023·全國·模擬預(yù)測）為落實(shí)節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對(duì)市場上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取型和型設(shè)備各臺(tái)，得到如下頻率分布直方圖．

(1)將使用壽命超過小時(shí)和不超過小時(shí)的臺(tái)數(shù)填入下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷使用壽命是否超過小時(shí)與型號(hào)有沒有關(guān)聯(lián)，說明理由．型號(hào)使用壽命合計(jì)超過小時(shí)不超過小時(shí)型型合計(jì)(2)用分層抽樣的方法從使用壽命不超過小時(shí)的型和型設(shè)備中共抽取臺(tái)，再從這臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取臺(tái)，設(shè)其中型設(shè)備有臺(tái)，求的分布列和．(3)現(xiàn)有一項(xiàng)工作需要臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作小時(shí)才能完成，工作期間若設(shè)備損壞，則立即更換同型號(hào)設(shè)備（更換設(shè)備的時(shí)間忽略不計(jì)）．型和型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為萬元和萬元，型和型設(shè)備每臺(tái)每小時(shí)分別耗電度（度千瓦時(shí)）和度，電價(jià)為元/度．用頻率估計(jì)概率，只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號(hào)的設(shè)備？說明理由．附：，其中．5．（2023·全國·高二課堂例題）一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本．用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．(1)分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率：6．（2022上·上海嘉定·高二?？计谥校┮阎?5張卡牌由5張紅卡、10張其它顏色卡組成，混合后分3輪發(fā)出，每輪隨機(jī)發(fā)出5張卡．(1)求事件“第1輪無紅色卡牌”的概率；(2)求事件“第1輪有至少3張紅色卡牌”的概率；(3)求事件“每輪均有紅色卡牌”的概率．7．（2022·北京·景山學(xué)校?？寄M預(yù)測）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）8．（2020·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某省年開始將全面實(shí)施新高考方案．在門選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門科目采用原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目采用等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為，，，，共個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、和，并按給定的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換賦分．該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門科目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分．（1）某校生物學(xué)科獲得等級(jí)的共有10名學(xué)生，其原始分及轉(zhuǎn)換分如下表：原始分9190898887858382轉(zhuǎn)換分10099979594918886人數(shù)11212111現(xiàn)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中生物轉(zhuǎn)換分不低于分的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)該省此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分服從正態(tài)分布．若，令，則，請(qǐng)解決下列問題：①若以此次高一學(xué)生生物學(xué)科原始分等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線分，試估計(jì)該劃線分大約為多少分？（結(jié)果保留為整數(shù)）②現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名高一學(xué)生的此次生物學(xué)科的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求取得最大值時(shí)的值．附：若，則，．9．（2020·安徽安慶·統(tǒng)考二模）某小區(qū)為了加強(qiáng)對(duì)“新型冠狀病毒”的防控，確保居民在小區(qū)封閉期間生活不受影響，小區(qū)超市采取有力措施保障居民正常生活物資供應(yīng).為做好甲類生活物資的供應(yīng)，超市對(duì)社區(qū)居民戶每天對(duì)甲類生活物資的購買量進(jìn)行了調(diào)查，得到了以下頻率分布直方圖.

（1）從小區(qū)超市某天購買甲類生活物資的居民戶中任意選取5戶.①若將頻率視為概率，求至少有兩戶購買量在（單位：）的概率是多少？②若抽取的5戶中購買量在（單位：）的戶數(shù)為2戶，從5戶中選出3戶進(jìn)行生活情況調(diào)查，記3戶中需求量在（單位：）的戶數(shù)為，求的分布列和期望；（2）將某戶某天購買甲類生活物資的量與平均購買量比較，當(dāng)超出平均購買量不少于時(shí)，則稱該居民戶稱為“迫切需求戶”，若從小區(qū)隨機(jī)抽取10戶，且抽到k戶為“迫切需求戶”的可能性最大，試求k的值.10．（2020上·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）