第二節(jié)向量組的線性相關性

§2向量組的線性相關性一、線性組合的概念二、向量組的線性相關性三、小結1向量組:m個n維向量.四維以上無直觀幾何意義.兩個向量之間最簡單的關系是成比例.線性表示.一、線性組合的概念2一般地,就有定義6.對于n維向量若3例1.任一n維向量都可由向量組線性表示.解:4所以任一n維向量線性表示.稱為n維單位向量組.例2.解:顯然換句話說,存在一組不全為0的數(shù)0,3,-1,使5例3.解:6(改寫):變形例4.若其中任一個均不能由其余向量線性表示.78定義7.若存在否則稱為線性無關,即只有當二、向量組的線性相關性9理解:共性.特性:有不全為零的數(shù)0,1,2,-1,使向量組合為零向量.10例5.n維單位向量組

是線性無關的.解:11例6.判斷向量組是否線性相關?解:12其系數(shù)行列式于是有13例7.討論向量組的線性相關性,若線性相關,試寫出其中一向量能由其余向量線性表示的表達式.解:14代入(2)、(3),有于是有15說明:

此例是一個三元的,三個未知數(shù)的方程組.只須看行列式是否為0.16［注］:

設n個n維向量所組成的向量為且則..17例8.證明:則由定義知18而其系數(shù)行列式證畢.19定理一.A線性相關A中至少有一個可由其余向量線性表示.A中至少有一個可由其余向量線性表示.證明:“”∴A線性相關.“”20即有不全為零的數(shù)則證畢.性質1.任意一個包含零向量的向量組必線性相關.證明:21證畢.性質2.

兩個向量線性相關它們的各對應分量成比例.證明:“”22“”證畢.23性質3.部分組相關,則全組相關.證明:證畢.24［注］:部分組線性相關整個向量組線性相關.性質4.整個向量組線性無關部分組線性無關.證明:反證.若部分組線性相關,則由性質3知,整個組也線性相關.矛盾！證畢.25性質５．26定理二.證明:∴有不全為零的數(shù)27證畢.28例9.判別下列各向量組的線性相關性:解:由性質1知,解:又由性質3可知,29例10.判斷向量組解:由性質3可知,30定理三.也線性無關.證明:反證.即有不全為零的數(shù)即31從前r個等式可得矛盾!證畢.32推論:

在r維向量組的每個向量上添加n-r個分量,使之成為n維向量組.如果r維向量組線性無關,則n維向量組也線性無關.［注］:定理三表明:添加分量后仍線性無關.添加分量后線性相關原向量組線性相關.定理四.任意n+1個n維向量都是線性相關的.原向量組線性無關證明:33構造向量組：設n+1個n維向量為:34定理四表明:當m=n+1時,當m>n時,相關(由定理四)則相關[注]:35推論:簡言之:個數(shù)大于維數(shù)的向量組是線性相關的.事實上,36（一）.概念.三、小結37例.單位坐標向量A線性相關38（二）.充要條件(1).若n個n維向量行列式為則39(2).向量組A線性相關A中至少有一個向量可由其余向量線性表示.（三）.判斷法(1).40(2).部分組線性相關整個向量組