高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義基本不等式教師

課題：基本不等式知識(shí)點(diǎn)一、利用基本不等式證明不等式1．如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）如果，,則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）.2.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0；(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．3.幾個(gè)重要的不等式(1)(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號(hào))；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；4．利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等．【典型例題】【例1】不已知、、都是正數(shù)，求證：【解析】∵、、都是正數(shù)∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）即.【舉一反三】1.已知實(shí)數(shù)求證：。試題解析：證明：由，可知；由，可知；同向不等式相加即可得證?？键c(diǎn)：1、重要不等式；2、不等式的性質(zhì)．2．已知a,b,c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,求證：(1)(1)(1)≥8．試題分析：將代入不等式的左邊，再利用基本不等式，即可證明結(jié)論．試題解析：因a,b,c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,故(1)(1)(1)=知識(shí)點(diǎn)二、利用基本不等式求最值1.已知x＞0，y＞0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)2.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進(jìn)行求解．注意：形如y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函數(shù)求最值時(shí)，首先考慮用基本不等式，若等號(hào)取不到，再利用該函數(shù)的單調(diào)性求解．【典型例題】【例1】若x,y是正數(shù)，且，則有（）A．最小值16B．最小值C．最大值16D．最大值試題分析：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值16，故選A.【例3】已知，則的最小值為（）A．B．C．D．試題分析：因,故應(yīng)選D.【例4】設(shè)常數(shù)，若對(duì)一切正實(shí)數(shù)成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.試題分析：根據(jù)條件,,若對(duì)一切正實(shí)數(shù)成立,則，即，解得，又因?yàn)椋?，故選D【例5】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，∵a＞0，b＞0∴（a+b）（）=5+=5+2≥9∴的最小值是9【舉一反三】1．已知?jiǎng)t的最大值為（）A.C.D.【答案】A試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為2.已知，且，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B試題分析：兩邊除以得，所以.3．已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．B．C．D．試題分析：恒成立，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為4，選A.4．已知，且，求：（1）的最小值；（2）的最小值.【答案】（1）64(2)18試題解析：(1)因?yàn)樗?，則由題意可知所以解之得（6分）(2)，因?yàn)椋?分）【課堂鞏固】1．已知且，若不等式恒成立，則的最大值等于（）A．10B．9C．8D．7試題分析：,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，又因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即的最大值為，故選B.2．已知，且，則的最小值為（）A．4B．C．D．5試題分析：由得，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為，故選C.3．當(dāng)x>1時(shí)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（，+C.（，+試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（4．已知，則的最小值為（）A．B．C．D．試題分析：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選A.5．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證：.6．（1）已知求函數(shù)的最小值．（2）已知，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）6（2）試題解析：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為6（2），，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，【課后練習(xí)】正確率：1．已知，則的最小值是（）A．B．4C．D．5試題分析：，故選C.2．11．若正數(shù)x，y滿足x＋3y5xy=0，則3x＋4y的最小值是（）A．B．C．6D．5【答案】D試題分析：：∵x＋3y5xy=0，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=當(dāng)且僅當(dāng)即x=2y=1時(shí)取等號(hào)3．已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A．10B．9C．8D．7試題分析：由可得,因,所以,故應(yīng)選B.4．已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．或B．或C．D．【答案】D試題分析：恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，即，解之得，故選D.5．若一組數(shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)、方差分別為，且，則的最小值為（）A．B．C．D．20試題分析：由題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，選D.6．若,則的最小值是（）A．2試題分析：.故選D.7．設(shè)，則的最大值是（）A、3B、C、D、1試題分析：因?yàn)椋?，因此最大值是，正確答案為C．8．設(shè)均為正數(shù)，且證明：（1）；（2）.試題解析：（1），，，所以所以（2），，9